第4章_彈性力學(xué)廣義變分原理

1、第4章 彈性力學(xué)廣義變分原理4.1 兩類變量的廣義勢(shì)能原理根據(jù)前面的介紹,對(duì)于最小勢(shì)能原理,我們可以有以下兩種理解:(1) 自變函數(shù)為位移。要求事先滿足位移邊界條件，上 (4.1.1)同時(shí)要求具有足夠的連續(xù)（可微）性，從而可以由下式求得應(yīng)變，內(nèi) (4.1.2)這樣可得到用位移表示的應(yīng)變能密度函數(shù)用位移表示的應(yīng)力 在此條件下，彈性力學(xué)的精確解應(yīng)該使下面的總勢(shì)能取到最小值這樣，由最小勢(shì)能原理可以得到應(yīng)力表示的平衡方程和應(yīng)力邊界條件內(nèi)上(2) 自變函數(shù)為位移和應(yīng)變，但把式(4.1.1) 、(4.1.2) 看成約束條件。這樣，把原問(wèn)題視為在約束條件(4.1.1) 、(4.1.2) 下，使得下列總勢(shì)能最

2、小的問(wèn)題。注意這里總勢(shì)能表達(dá)式與最小勢(shì)能原理中勢(shì)能的差異。為了解除最小勢(shì)能原理中這兩個(gè)約束條件，引進(jìn)兩個(gè)Lagrange乘子函數(shù)(向量)，內(nèi)，上來(lái)構(gòu)造一個(gè)新泛函在新泛函中, 都是獨(dú)立的自變函數(shù)，也就是說(shuō)位移不需要事先滿足邊界約束條件（4.1.1）, 位移和應(yīng)變之間也不需要滿足變形協(xié)調(diào)條件（4.1.2）。 新泛函所對(duì)應(yīng)的變分為在恒等式(3.2.1)中取，得到 因此有由可以得到，內(nèi)，內(nèi)，內(nèi)， 上，上 ， 上由此得到Lagrange乘子滿足，內(nèi)Lagrange乘子為上得到Lagrange乘子函數(shù)后, 把它們?cè)俅胄路汉谋磉_(dá)式中,得到兩類變量(位移和應(yīng)變)的廣義勢(shì)能為 (4.1.3)對(duì)于線彈性體有,

3、從而 (4.1.4)這是關(guān)于位移和應(yīng)變（兩類變量）的廣義勢(shì)能（泛函）。 在該泛函中位移和應(yīng)變是獨(dú)立的自變函數(shù), 不需要滿足位移的邊界條件和變形協(xié)調(diào)條件，從而使得與變分原理相對(duì)應(yīng)的數(shù)值計(jì)算在處理某些特殊問(wèn)題的時(shí)候變得更加簡(jiǎn)單，更加有效。兩類變量的廣義勢(shì)能原理(位移和應(yīng)變) 彈性力學(xué)的精確解應(yīng)該使得廣義勢(shì)能（）的泛函取駐值。 下面我們分析一下從該變分原理中能得到什么？計(jì)算 在恒等式(3.2.1)中取，得到 因此有 令,根據(jù)變分引理得到(用應(yīng)變表示的應(yīng)力) 內(nèi) 內(nèi) 上 上也就是說(shuō)得到的是變形協(xié)調(diào)條件、平衡方程和所有邊界條件。再加上本構(gòu)關(guān)系，就是彈性力學(xué)的所有方程。如果用應(yīng)力來(lái)替換泛函(5.1.4)中

4、的自變函數(shù)()，得到(4.1.5)這是關(guān)于位移和應(yīng)力(包括邊界上的約束力)的兩類變量廣義勢(shì)能泛函。上述泛函稱為Hellinger-Reissner泛函，是Hellinger和Reissner分別于1953年和1954年提出來(lái)。用位移和應(yīng)力表示兩類變量的廣義勢(shì)能原理（Hellinger-Reissner 兩類變量廣義變分原理） 彈性力學(xué)的精確解，應(yīng)使上述廣義勢(shì)能的泛函（4.1.5）取駐值。下面我們分析一下從該變分原理中能得到什么在恒等式（3.2.1）中取，得到 因此有令,根據(jù)變分引理得到 內(nèi) 內(nèi) 上 上也就是說(shuō)得到的是變形協(xié)調(diào)條件、平衡方程和所有邊界條件，再結(jié)合本構(gòu)關(guān)系，就是彈性力學(xué)的所有方程。

5、4.2 兩類變量的廣義余能原理從前面介紹中我們知道，最小余能原理要求自變函數(shù)事先滿足，內(nèi)，上在此條件下，彈性力學(xué)的精確解使得下面的總余能取極小值 因?yàn)橐獙ふ覞M足平衡方程和應(yīng)力邊界條件的自變函數(shù)存在一定困難，對(duì)自變函數(shù)的約束條件使得與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)值計(jì)算變得十分麻煩。為了消除最小余能定義中應(yīng)力約束條件的影響，我們引進(jìn)入Lagrange乘子函數(shù)，內(nèi)，上來(lái)構(gòu)造一個(gè)新的泛函在新泛函中,都是獨(dú)立的自變函數(shù)。新泛函的變分為在恒等式(3.2.1)中取，得到因此也就是說(shuō)要求，根據(jù)變分引理，可以得到 ，在區(qū)域上 ，在區(qū)域上 ， 在位移邊界上，在應(yīng)力邊界上 ，在應(yīng)力邊界上如果是精確解的話，那么 ，在區(qū)域上 ， 在位

6、移邊界上因此，可以選擇位移，從而在上也應(yīng)該是位移。我們可以把得到的拉格朗日乘子函數(shù)和用位移代入到泛函的表達(dá)式中，得到二類變量的廣義余能表達(dá)式 (4.2.1)對(duì)于線彈性體有 (4.2.2) (比較一下二類變量的廣義勢(shì)能表達(dá)式: )在二類變量的廣義余能表達(dá)式中，和是獨(dú)立的變量，它們事先不需要滿足任何約束條件。二類變量廣義余能泛函比最小余能泛函多了一類自變函數(shù)，最小余能中自變函數(shù)只有應(yīng)力，而在二類變量廣義余能中，自變函數(shù)為應(yīng)力和位移。因此，通過(guò)引進(jìn)拉格朗日函數(shù)，我們把有約束的最小余能定理轉(zhuǎn)化成了一個(gè)沒(méi)有約束的自由變分問(wèn)題，也就是二類變量廣義余能原理。二類變量的廣義余能原理 彈性力學(xué)的精確解應(yīng)該使得上

7、述二類變量的廣義余能(4.2.1)取駐值。下面我們來(lái)看，從二類變量廣義余能定理中，我們能得到些什么樣的方程和什么樣的邊界條件? 在恒等式(4.2.1)中取，得到因此有根據(jù)我們有， 在區(qū)域上，在區(qū)域上， 在位移邊界上，在應(yīng)力邊界上也就是說(shuō)，從二類變量廣義余能定理中我們能夠得到幾何方程、平衡方程、位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。二類變量廣義勢(shì)能原理和二類變量廣義余能原理統(tǒng)稱為二類變量廣義變分原理，它們分別是最小勢(shì)能原理和最小余能原理的推廣，是最小勢(shì)能原理和最小余能原理的無(wú)條件變分問(wèn)題。如果位移事先滿足幾何關(guān)系和位移邊界條件，那么廣義變分原理退化成最小勢(shì)能原理。如果應(yīng)力滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，那么廣

8、義變分原理退化成最小余能原理。在上面二類變量廣義勢(shì)能原理和二類變量廣義余能原理中，由于泛函不再是自變函數(shù)的正定二次型形式，因此不再具有極值性質(zhì)，而只能是駐值性質(zhì)。在廣義勢(shì)能中，當(dāng)在位移邊界上滿足（滿足位移邊界條件）后，固定調(diào)整使得盡可能大，這樣得到了總勢(shì)能；然后再利用最小勢(shì)能原理可得真實(shí)的解是使得廣義勢(shì)能取極大-極小值 (4.2.3)在廣義余能中， （4.2.4）固定, 那么對(duì)取極小值（假定本構(gòu)關(guān)系事先滿足，即）， （4.2.5）代入（4.2.1） （4.2.6）即 （4.2.7）而固定，對(duì)沒(méi)有極小性質(zhì)。對(duì)于彈性力學(xué)的精確解，可以證明 （4.2.8）4.3 三類變量的廣義勢(shì)能原理由最小勢(shì)能原理

9、，勢(shì)能表達(dá)式 中，要求位移滿足， 內(nèi)， 上此外，還隱含應(yīng)力要求由本構(gòu)關(guān)系得到 在最小勢(shì)能原理中引進(jìn)Lagrange乘子函數(shù)， ， 內(nèi)， 上消除位移約束后得到一個(gè)新的泛函其對(duì)應(yīng)的變分為在恒等式(3.2.1)中取，得到 從而有由得到，內(nèi)，內(nèi)，內(nèi)，上，上，上從上述方程可知，對(duì)彈性力學(xué)的精確解來(lái)說(shuō)，Lagrange乘子有明確的力學(xué)意義，內(nèi)， 上因此泛函可寫成 (4.3.1)我們稱新泛函為三類變量的廣義勢(shì)能，也稱該H-Z泛函，是由胡海昌1954年和鷲津一郎1955年分別提出來(lái)。 在三類變量的廣義勢(shì)能中有三類自變函數(shù),它們都是獨(dú)立的。由此得到三類變量的廣義勢(shì)能原理（胡-鷲津變分原理） 彈性力學(xué)的精確解應(yīng)使

10、上述的廣義勢(shì)能取駐值。由三類變量的廣義勢(shì)能原理可以得到，內(nèi)，內(nèi)，內(nèi)， 上，上也就是彈性力學(xué)的所有方程和邊界條件（當(dāng)然也包括本構(gòu)關(guān)系）。如果H-Z泛函中和并非獨(dú)立,而是由本構(gòu)關(guān)系確定,譬如說(shuō)滿足 那么代入的表達(dá)式此即為H-R變分原理中的泛函 (4.3.2)如果H-Z泛函中事先滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件, 也就是說(shuō)，內(nèi)， 上同時(shí)應(yīng)用恒等式 可以得到 此即為最小余能原理中的泛函(負(fù)值)。4.4 三類變量的廣義余能原理在兩類變量的廣義余能原理中，泛函為要求由本構(gòu)關(guān)系得到應(yīng)變或者由幾何關(guān)系得到應(yīng)變?nèi)绻獬摷s束條件(可以從兩類變量的廣義變分原理推廣得到， 也可以直接從最小余能原理推廣得到)，可以得到三類

11、變量的廣義余能泛函為 (4.4.1)在三類變量的廣義余能中有三類自變函數(shù),它們都是獨(dú)立的。由此得到三類變量的廣義余能原理：彈性力學(xué)的精確解應(yīng)使上述的廣義余能取駐值。由三類變量的廣義余能原理也可以得到彈性力學(xué)的所有方程和邊界條件。下面我們來(lái)看三類變量廣義勢(shì)能泛函和三類變量廣義余能泛函之間的關(guān)系。把(4.3.1) 和(4.4.1)相加有最后等式可從恒等式(3.2.1) 得到。這意味著三類變量的廣義勢(shì)能原理和三類變量的廣義余能原理是等價(jià)的。4.5 各種變分原理綜述變分原理連續(xù)條件應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系平衡條件應(yīng)變能形式應(yīng)變余能形式最小勢(shì)能原理先補(bǔ)反最小余能原理反補(bǔ)先兩類變量廣義變分原理(余能)反補(bǔ)反三類變量

12、廣義變分原理(勢(shì)能)反反反注: 先指先決條件，補(bǔ)指補(bǔ)充條件，反指反應(yīng)的規(guī)律。4.6 廣義變分原理的一個(gè)注意點(diǎn)廣義變分原理的獲得為數(shù)值計(jì)算帶來(lái)了方便，但是有一點(diǎn)要注意，在各種變分原理中，能量的表達(dá)方式不是任意，廣義勢(shì)能原理中能量要用應(yīng)變的方式來(lái)表示，廣義余能原理中能量要用應(yīng)力的方式來(lái)表示。舉個(gè)例子例4.1: 如圖所示, 等截面桿的長(zhǎng)度為,橫截面面積為,材料的楊氏模量為，其中一邊固定,一邊受軸向集中力作用.用廣義變分原理求解。圖4.1等截面桿的拉伸如果用最小勢(shì)能原理求解，設(shè) 那么 代入到勢(shì)能表達(dá)式 根據(jù)最小勢(shì)能原理從而得到 如果用三類變量廣義變分原理，假設(shè)位移，應(yīng)變和應(yīng)力的試函數(shù)為 取應(yīng)變能為，那

13、么由 得到六個(gè)方程，求解后得到 因此 這就是精確解。如果取應(yīng)變能為，那么由無(wú)法確定相應(yīng)的解。4.7 廣義變分原理歷史的簡(jiǎn)介1 REISSNER EOn a variational theorem in elasticity, Journal of Mathematics and Physics，1950，29(2)：90-98Reissner的論文推動(dòng)了變形體力學(xué)中廣義變分原理的研究。2 胡海昌論彈性體力學(xué)與受范性體力學(xué)中的一般變分原理，物理學(xué)報(bào)，1954，10(3)：259-289, 三類變量的廣義變分原理。3 WASH IZU KOn the variational principles of elasticity and plasticity. Technical Report 2518，Massachusetts Institute of Technology，1955用拉格朗日乘子法得到了三類變量的廣義變分原理。2和3建立了彈性力學(xué)和塑性力學(xué)邊值問(wèn)題的廣義變分原理，為后來(lái)發(fā)展起來(lái)的雜交有限元和混合有限元法提供了理論依據(jù)。4 GURT