一元二次方程韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)答案

1、韋達(dá)定理與根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題、填空題1、關(guān)于x的方程2x2 3x m 0 ,當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)正數(shù)根；當(dāng)m 時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根；當(dāng)m 時(shí)，方程有一個(gè)根為 0o2、已知一元二次方程2x2 3x 1 0的兩根為、X2,則xi X2 .3、如果xi, x2是方程x2 5x 6 0的兩個(gè)根，那么xi x2 .4、已知xi, x2是方程x2 6x 3 0的兩實(shí)數(shù)根，則x2上的值為. xi x25、設(shè)x1、x2是方程2x2 4x 3 0的兩個(gè)根，則(xi i)(x2 i) .6、若方程2x2 4x 3 0的兩根為、，則a2 2a0g.i -7、已知K、x2是關(guān)于x的方程(a i)x x a i

2、 0的兩個(gè)頭數(shù)根，且k + x2 = -，則k x2 =38、已知關(guān)于x的一元二次方程mx2 4x 6 0的兩根為xDx2,且x x22 ,則 m , xi x2" 。9、若方程2x2 5x k 0的兩根之比是2: 3,則k .i0、如果關(guān)于x的方程x2 6x k 0的兩根差為2,那么k 。ii、已知方程2x2 mx 4 0兩根的絕對(duì)值相等，則 m 。i2、已知方程x2 mx 2 0的兩根互為相反數(shù)，則 m 。i3、已知關(guān)于x的一元二次方程(a2 i)x2 (a i)x i 0兩根互為倒數(shù)，則a 。i4、已知關(guān)于x的一元二次方程x2 2(m i)x m2 0。若方程的兩根互為倒數(shù)，則

3、 m 若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則 m 。i5、一元二次方程px2 qx r 0 (p 0)的兩根為0和一i,則p:q 。i6、已知方程3x2 x i 0,要使方程兩根的平方和為 小，那么常數(shù)項(xiàng)應(yīng)改為 。9i7、已知方程x2 4x 2m 0的一個(gè)根 比另一個(gè)根 小4,則 ; m 。i8、已知關(guān)于x的方程x2 3x k 0的兩根立方和為0,則k ii3 一i9、已知關(guān)于x的方程x 3mx 2(m i) 0的兩根為xi > x2,且一 一 一，則m 。xi x2420、若方程x2 4x m 0與x2 x 2m 0有一個(gè)根相同，則m 。21、一元二次方程2x2 3x 1 0的兩根與x2

4、 3x 2 0的兩根之間的關(guān)系是 。22、請(qǐng)寫出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1,兩實(shí)根之和為3的一元二次方程：.23、已知一元二次方程的兩根之和為 5 ,兩根之積為6 ,則這個(gè)方程為。24、若、為實(shí)數(shù)且|3| (2)2 0,則以、 為根的一元二次方程為。(其中二次項(xiàng)系數(shù)為1)25、求作一個(gè)方程，使它的兩根分別是方程 x2 3x 2 0兩根的二倍，則所求的方程為 。二、解答題1、已知m, n是一元二次方程x2 2x 5 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求2m2 3n2 2m的值。2、設(shè)x1、x2是方程2x2 4x 1 0的兩個(gè)根，求|x1 x2 |的值。3、已知x1、x2是方程x2 2x a 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1 2x2

5、 3 22 .(1)求 x1、x2及 a 的值；(2)求 x3 3x12 2x1 x2 的值.4、已知x1、x2是一元二次方程x2Ymxn0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12x；(x1x2)23,馬馬5 ,X x2求m和n的值。5、已知 a2 1 a , b2 1 b,且 a b,求(a 1)(b 1)的值。6、設(shè)：3a2 6a 11 0, 3b2 6b 11 0且 a b,求 a b 的值。7、已知：、是關(guān)于x的二次方程：(m 2)x2 2(m 4)x m 4 0的兩個(gè)不等實(shí)根。(1)若m為正整數(shù)時(shí)，求此方程兩個(gè)實(shí)根的平方和的值；(2)若22 6時(shí)，求m的值。8、已知關(guān)于x的二次方程x2 mx 1 0的

6、一個(gè)根是J2 1,求另一個(gè)根及m的值.9、已知方程5x2 mx 10 0的一根是一5,求方程的另一根及m的值。10、已知2 J3是x2 4x k 0的一根，求另一根和k的值。11、(1)方程x2 3x m 0的一個(gè)根是4萬(wàn)，則另一個(gè)根是 。(2)若關(guān)于y的方程y2 my n 0的兩個(gè)根中只有一個(gè)根為0,那么m、n應(yīng)滿足。12、如果x 1是方程2x2 3mx 1 0的一個(gè)根，則m ,另一個(gè)根為。13、已知關(guān)于x的方程2x2 5x m的一個(gè)根是一2,求它的另一個(gè)根及m的值14、已知關(guān)于x的方程3x2 1 tx的一個(gè)根是一2,求它的另一個(gè)根及t的值。15、在解方程x2 px q 0時(shí)，小張看錯(cuò)了 p

7、,解得方程的根為1與3;小王看錯(cuò)了 q,解得方程的根為4與-2。這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么？16、已知一元二次方程8y2 (m 1)y m 5 0。(1) m為何值時(shí)，方程的一個(gè)根為零？(2) m為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)？(3)證明：不存在實(shí)數(shù)m ,使方程的兩個(gè)相互為倒數(shù)。17、方程x2 3x m 0中的m是什么數(shù)值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足：(1) 一個(gè)根比另一個(gè)根大2;(2) 一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍；(3)兩根差的平方是17。18、已知一元二次方程8x2 (2m 1)x m 7 0,根據(jù)下列條件，分別求出 m的值：(1)兩根互為倒數(shù)；(2)兩根互為相反數(shù)；(3)有一根為零；(4)有一根為

8、1;20、已知關(guān)于x的一元二次方程x2 mx 12 0的兩根之差為11,求m的值。21、已知關(guān)于x的二次方程x2 2(a 2)x a2 5 0有實(shí)數(shù)根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求a的值。22、已知方程x2 bx c 0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，兩根之差等于3,兩根的平方和等于29,求b、c的值。23、已知關(guān)于x的方程2x2 (m 1)x m 1 0的兩根滿足關(guān)系式、x? 1,求m的值及兩個(gè)根。24、已知關(guān)于x的方程x2 (k 1)x k 2 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于6,求k的值.25、 是關(guān)于x的一元二次方程(m 1)x2 x 1 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足(1)(1) m 1 ,求實(shí)數(shù)m的化

9、26、 是關(guān)于x的方程4x2 4mx m2 4m 0的兩個(gè)實(shí)根，并且滿足(1)(1) 1 -9-,求m的值。10027、已知：、 是關(guān)于x的方程x2 (m 2)x 1 0的兩根，求(1 m2)(1 m2)的值。28、已知關(guān)于x的方程x2 2(m 2)x m2 0,問(wèn)：是否存在正實(shí)數(shù)m ,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于56,若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.29、關(guān)于x的一元二次方程3x2 (4m2 1)x m(m 2) 0的兩實(shí)根之和等于兩個(gè)實(shí)根的倒數(shù)和，求 m的值。30、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0 ( a 0)的兩根之比為2:1,求證：2b2 9ac。31、已知方程

10、x2 mx 4 0和x2 (m 2)x 16 0有一個(gè)相同的根，求m的值及這個(gè)相同的根。32、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0的兩根為、，且兩個(gè)關(guān)于x的方程x2 (1)x2 0與x2 (1)x2 0有唯一的公共根，求a、b、c的關(guān)系式。33、已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2px q 0的兩根x11、x21是關(guān)于x的方程x2qx p 0的兩根，求常數(shù)p、q的值。34、已知方程x2 mx 12 0的兩實(shí)根是x1和x2,方程x2 mx n 0的兩實(shí)根是x1 7和x2 7 , 求m和n的值。35、已知2s2 4s 7 0, 7t2 4t 2 0, s、t為實(shí)數(shù)，且st 1.求下列各式的值：

11、st 13st 2s 3(1) -p；(2)t。36、已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2 m2x n 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；y1、y2是關(guān)于y的方程y2 5my 7 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1 y1 2 , x2 y2 2,求m、n的值。37、關(guān)于x的方程m2x2 (2m 3)x 1 0有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根，x2 2(a m)x 2a m2 6m 4 0有大于0且小于2的根，求a的整數(shù)值。38、已知關(guān)于x的方程mx2 nx 2 0兩根相等，方程x2 4mx 3n 0的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍。求證：方程x2 (k n)x (k m) 0 一定有實(shí)數(shù)根。39、已知關(guān)于x的一元二次方程x2 (4m 1)x 2

12、m 1 0 .(1)求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩根為x1、x2 ,且滿足 工 工，求m的值.1c40、關(guān)于x的萬(wàn)程x2 2mx -n2 0 ,其中m、n分別是一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)。(1)求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(2)若方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值是8,等腰三角形的面積是12,求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。41、已知關(guān)于y的方程y2 2ay 2a 4 0(1)證明：不論a取何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) a為何值時(shí)，方程的兩根之差的平方等于16?42、已知方程2x 5mx 3n 0的兩根之比為2:3,方程x2 2nx 8m 0的兩根相等(mn

13、 0)。求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)k,方程mx2 (n k 1)x k 1 0包有實(shí)數(shù)根。43、如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2 2(m 3)x m2 3 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，那么(1)2 (1)2的最小值是多少？44、已知方程x2 ax b 0的兩根為x1、x2 ,且4x1 x2 0 ,又知根的判別式 25,求a、b的值。45、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是 2 和2層。46、已知方程x2 5x 7 0,不解方程，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程的兩 個(gè)根的負(fù)倒數(shù)。47、已知方程2x2 3x 3 0的兩個(gè)根分別為a、b,利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個(gè)一元二次方程,使它的兩個(gè)根分別是：(

14、1) a 1、b 1(2) 生、當(dāng)a b48、已知兩數(shù)之和為7,兩數(shù)之積為12,求這兩個(gè)數(shù)。49、已知兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。50、一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的和為 6cm1面積為cm2,求這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng) 。251、已知關(guān)于x的方程x2 (2a 1)x 4(a 1) 0的兩個(gè)根是斜邊長(zhǎng)為5的直角三角形的兩條直角邊的 長(zhǎng)，求這個(gè)直角三角形的面積。52、試確定使x2 (a b)x a 0的根同時(shí)為整數(shù)的整數(shù)a的值。53、已知一元二次方程(2k 3)x2 4kx 2k 5 0,且4k 1是腰長(zhǎng)為7的等腰三角形的底邊長(zhǎng)，求：當(dāng)k取何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根。54、已知關(guān)于x

15、的一元二次方程x2 2x p2 0有兩個(gè)實(shí)根人和*2(為x2),在數(shù)軸上，表示x2的點(diǎn)在表示Xi的點(diǎn)的右邊，且相距p 1 ,求p的值。答案一、填空題94、105、526、107、-18、 -2 ; -89、3 10、811、0 12、0 13、J2 （ 42舍去）14、-1 （ 1 舍去）；1（1 £舍去）15、116、-217、-4; 0; 018、319、1 320、 3或 021、互為倒數(shù)22、x2 3x 0,（答案不唯一）23、x2 5x 6 0,（答案不唯一）24、x2 3x 2 025、x2 6x 8 0,（答案不唯一）二、解答題1、m2 2m 5、n2 2n 5原式=2

16、m2 3n2 2m 6m 6n 25 372、| x1 x2 | d(x1 x2)2 4x1x2 <2x1 x2 2x1 123、 (1) x1x2 a解之 x2 1 22x1 2x232a 1(2) x2 2x1 1 ;原式=x1 x24、x1 x222(x1x2)2x1x22m 2n 31212m mm 2(x1x2)2x1x22(m 2n)5 斛之2或10(xx2)2n2n 1 n 3 5S)1 1*'m、x1x2n ,5、(a 1)(b 1)ab (a b) 1 16、 a b2.4237、0> m 4 ,且 m 2(1) m 1 時(shí)，x2 6x 3 0 ,22 3

17、0 ;m 3時(shí)，x2 2x 1 0 ,22 6;22 (2)2 26,即誓/ 2黑6,化簡(jiǎn)得m2m 6 0,解得m13, m28、x2.2 1, m 2-29、x2m 23510、x2 2 .3, k 111、(1) 3 金;12、1213、x2, m 2211114、x2 1, t 116215、 q 1 ( 3)3所以原方程為x2 2x 3 0,解得為1, x2 3p 4 ( 2) 216、 (1)方程的一個(gè)根為0,即c 0,止匕時(shí)m 5;(2)方程的兩根互為相反數(shù)，即b 0,止匕時(shí)m 1；(3)方程的兩根互為倒數(shù)，即a c,止匕時(shí)m 13,原方程為8y2 14y 8 0,(60 0)17

18、、18、x1 x2x1x2m(1)方程的兩根互為倒數(shù)，即a(2)方程的兩根互為相反數(shù)，即/ 、27, 、2) m ；3) m 2167 2 一 一c ,此時(shí) m 15,4(m 一)2 176 021b 0 ,此時(shí)m 1 ;2(3)方程的一個(gè)根為0,即c 0,止匕時(shí)m 7;19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、（4）方程的一個(gè)根為1,止匕時(shí)8 2m 1 m 7 0;解得m 0;XiX1X2x2m12,X1 x2 11解之不相等的兩正根，則(X1 X2)2 (X1 X2)22X1XiX2X22X1X110m11時(shí),1時(shí),X2(Xi1)(1)(mx2X2X2X1X1

19、(X1X111X2X2綜上所述,不妨設(shè)Xi(m5xX2)21)1) 112113由題意可得4x1x211)(m(m2X1 x2 2(a 2)X1X2X1X2a2 52 X1即a2 54(a 2),解得a 1或a3 (舍)由題意解得1)21) 0解得XX27102x1 x2(k2x ,則有X2 )2x1 X2X20時(shí),0時(shí),4m減3;1)2 2(k 2) 6,化簡(jiǎn)得k2(舍)2 (舍)2(mXiX2X1X224m 11, X1X2Xi則有即（不0,0,X2X1X22m 4m42)22m2X2)(1) X1X2解得X1X22x2原式=256,化簡(jiǎn)得8m 200,(舍)(舍)10 (舍)m(m 2)

20、33X2（1）2 解得m（舍）；得反ac, 即 2b2 9ac31、方法一：-得：(2m 2)x 20 0,即 mx x 10代入中得：x26 0 ,解得xi3、 x2 2當(dāng)x 3時(shí)，m133,方程的解為3 4；方程的解為 3竺，符合題意; 33當(dāng)x 2時(shí)，m4,方程的解為2、2;方程的解為2 8,符合題意;綜上所述，當(dāng)m13 丫時(shí)相同根為 3;3當(dāng)m 4時(shí)相同根為2;方法二:-得：（2m2)x 20 0,代入中得:210210m2(1 m) 1 m0 ,化簡(jiǎn)為3m213解得m -或313 . _m 一時(shí)由，相同根為33；當(dāng)m 4時(shí)相同根為2;32、-得：( )x ( 22) 0由題意得代入中

21、化簡(jiǎn)得：2（)20,b 0, a22b ac ab33、1, q 334、7, n 5435、7t24t 2t2得4t20,所以s、1是同一方程2x2 4x 7 t0的兩根。2、1t1t(2)t3st 2s 32；3s2s3 ( 2)36、因?yàn)閤y12、X2y2兩式相加得:(xix2) (yi y2) 437、即(m2) ( 5m)整理得5m 40,解得m 4或m 1 (舍).方程有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根,一 x1x211,解得m 1或m 1 (舍) m當(dāng)m 1時(shí)，方程化為2(a1)x 2a即(x 1)x (2 a 1) 0（不符合題意，舍去）所以0(2a 1) 2 ,解得又;a是整數(shù)，.二a 1

22、38、方程有兩根相等，.n28m 0、且 m 0X1X24x239、40、41、42、43、方程中不妨設(shè)x13x2 ,則有cX1X2aa3x2222彳曰b16m162w ,即 m(2)ac 3n3(k(1)1(2) 1X1(1)m 2、n 4 ;此時(shí)原方程化為x2(2) |X1(k 4)x4)2 4 (k 2) (k 2)2 20 0 ,所以該方程一定有實(shí)數(shù)根。(4m 1)2 4 (2m 1) 16m2 5 0 ,所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;1x1 x2(4m 1)x2x1x22m 1212(2m)4 n (2m42,X2 | ,(Xi x2)4xiX2m2£%n)(2m n)

23、解得n 6, m 5,所以三角形周長(zhǎng)(1)( 2a)2 4 ( 2a 4) 4(a 1)2(2) (x1 x2)2(x1 x2)2 4x1X2(2a)22X1 x2方程不妨設(shè)X12X2,則有3方程中有兩根相等,_2-(3 k) 4 2 (k2(m 3)2 一'm2 3原式=()2 2120,所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;2m n 160,2ab 5 x2a 32 23x24n2 4 8m 0,即所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;4)此時(shí)原方程化為2x2 (3 k)x1) (k4(m2(當(dāng)m 1時(shí)，原式最小，為44、因?yàn)?4x1 x2 3x1 ( a) 016 ,解得a 0,或a2叱得日(2)ac25m26n252，即 m n68m1)2 0 ,所以該方程一定有實(shí)數(shù)根。3)2 4(m2 3) 24m 24 0,即 m)2 4(m 3)2 2(m2 3) 2(m 3)2X36-54=182，即