簡單振子的振動ppt課件

1、 莫爾斯：整個聲學可以說就是振動學莫爾斯：整個聲學可以說就是振動學 集中參數(shù)系統(tǒng)集中參數(shù)系統(tǒng) ，質點，尺度和波長比，質點，尺度和波長比 簡單振子，小振幅，線性理論簡單振子，小振幅，線性理論 簡單振子是研究復雜系統(tǒng)的基礎簡單振子是研究復雜系統(tǒng)的基礎 二、自由振動二、自由振動 質量 m彈性系數(shù) K : 位移 x 從平衡位置算起順性系數(shù)，力順： fKx 1mCK振動方程 線性常系數(shù)齊次常微分方程圓頻率(角頻率)慣性 和 彈性 200 xx20Km011122mKfmmCdxxdtmxKx mxfx 定解問題 運動方程 初始條件200 xx0(0)xx0(0)xv線性 1x t 2xt 12x txt

2、01x01v02x02v0102vv0102xx200 xx0(0)xx0(0)xv 22000(0)0 xxx 2220002nnnnnd xdxxdtdt 21120021nnndxvdt 2311000026x txtxt xt x 2210000000112!21 !nnnnnnttx txvnntvtxx00000sincos通解 兩個任意常數(shù) 簡諧振動， 位移振幅(常數(shù)) ，xa，初相位 振速)cos(sincos000txtBtAxa0000sincosvxAtBt )2cos()sin(000tvtxaa 振速振幅 初相位 固有頻率 初始條件 得到特解，兩個初始條件 aaxv0

3、200111222mKfmmC0t0 xx 0vv 0 xA 0vB 22BAxaAB1tantvtxx00000sincos能量能量 動能 勢能，狀態(tài)的能量， 狀態(tài)的函數(shù)，位移的函數(shù) 總能量 212mvxKxKxdx0221222222001111sin ()cos ()2222aaaamvtKxtmvKx 221cossin2tt彈簧質量的影響 彈簧的長度 l 彈簧的動能 ： 總的能量 三分之一彈簧質量計入總質量2220111226lmxvxm dxvxm vllll 2211232mmvKxE 對時間求導得到 03mmvvKxx2203md xmKxdt2211232mmvKxE彈簧的串

4、聯(lián) 21111KKK彈簧的并聯(lián)21KKK例： 擺 sin0mlmg0lg20gl小角度慣性 彈性船舶橫搖 重心是G，浮心F 相距l(xiāng) 向右傾斜 F右移d, 浮力力矩dkmg dlmg kl 船舶穩(wěn)定 200rg kl020g klrkl振動問題的復數(shù)解 廣泛用于電工分析等領域的簡諧波問題 titexpRecostittisincosexpexpxXi tReexpRecosImsinxXi tXtXtexpxXi texpxiXi t 1expxdtXi ti200 xx2200X0expi t 是微分算子和積分算子的特征函數(shù)，本征函數(shù) eigenfunctionMxx阻尼運動阻尼運動 衰減 阻

5、尼力 粘滯摩擦 輻射 阻力 阻力系數(shù)，力阻 mfR v mR運動方程 衰減因子 20 xxmmvR v 2mRm0exp()vvt001 exp22vxxt201exp42TmvtE2202exp4mfvR vm vt W = 阻尼振動方程 2020 xxx0mmxR xKx通解 復頻率0i 220000exp()exp()xXtit0exp()cos()xXttexp()xXi t20mmiRK特征方程 000000exp()cos()sin()vxxtxtt 振幅以負指數(shù)衰減 經過時間 幅度衰減到 衰減模量 力學品質因素 )exp(t10.371e0exp)exp(TtQtm21mmR00

6、0mmmmmmKKQRRRT能量221122KxmvE22200001exp( 2)cos ()sin()cos()2axtKtmtt222011exp( 2)exp( 2)22aaKxtmxt 如果質點對外的作用力與位移有關 做功轉化為勢能 如果質點對外的作用力與速度成正比 做功是正的，消耗能量 在運動方程中位移的一階導數(shù)項與衰減對應。2211222122xxxxkxkxfdxkxdx22112ttmttfvdtR v dt相平面相平面( (空間空間) ) 系統(tǒng)狀態(tài)由位移和速度確定 用 平面的 點表示 質點運動時滿足 是一個橢圓),(xx 221122mvKxE衰減振動的相平面穩(wěn)態(tài)受迫振動穩(wěn)

7、態(tài)受迫振動 振動方程 線性非齊次常微分方程 源項 復振幅F( )exp()f tFi t( )mmxR xKxf texp()mmxR xKxFi t穩(wěn)態(tài)解 語速快，每秒鐘10個音，語音頻率幾百到幾千赫茲，每個音有十來個周期 音樂變化更慢 一般的振動是穩(wěn)態(tài)振動的組合exp()xXi t 代入方程得 穩(wěn)態(tài)解 （位移傳遞函數(shù) 特征方程 exp()xXi t 2mFXHFmi RK21mHmi RK通解：對應齊次方程的通解(包括任意常數(shù)) +穩(wěn)態(tài)解特解，滿足初始條件，瞬態(tài)解 0exp()cos()xAtt力阻抗力阻抗 力阻抗力阻抗 力阻，力抗力阻，力抗 ，質量抗，力順抗，質量抗，力順抗 exp()e

8、xp()mmFi tFKZRimVi ti X1mHi Z02211aFQvVKQff當 f /f0=1，極大值 Q011FQVKiQff0fff 頻率響應 當兩頻率滿足 振速幅度相同 當 幅度下降 倍 這兩個頻率是 帶寬和品質因素成反比 品質因素反映共振性質211ff Qff112QQf2141122, 1Qfff121位移速度加速度222022111FFfAififKKffQQ211FXifKfQ位移速度加速度無阻尼共振 當 假設 這時的方程是 特解 與時間成正比 0mR 0ff 0exp()mxKxFit00exp()2FxtitimmQ 01iFVKffav 能量 振速 外力 外力的功

9、率 exp()cos()aVi tvtexp()exp()Fi tZVi t)sin()cos()(cos222ttXvtRvaa)sin()cos(tXvtRvaa 有功功率 時間平均值 有功功率等于阻尼消耗的功率 無功功率 時間平均為零 )(cos22tRva221aRv)(2sin21)sin()cos(22tXvttXvaa復功率 實部是有功功率平均值的兩倍 虛部是無功功率幅度的兩倍 *exp()exp()Fi t Vi t*22()aaV RiX VRviXv*2aVVv應用例應用例: :電聲器件原理電聲器件原理 質量控制： 高頻，加速度與頻率無關 彈性控制： 低頻，位移與頻率無關

10、力阻控制： 高頻，速度與頻率無關 2mFXmi RKmiFVKmiR2mFAiRKm壓強式電容傳聲器 輸出電壓 選取彈性控制 0XEED1Q動圈式揚聲器 質量控制區(qū) 聲輻射功率與加速度平方成正比 FAm壓強式動圈傳聲器 輸出電壓 選取力阻控制 低 BlvE Q隔振 00()()0mmxRxxK xx02()()mmi RK XXmi RK當 有隔振效果共振頻率時振動擴大消聲室 02 ff 主動隔振 和隔振公式雷同 expmxRxKxFi t2expexpmmFi tFi txmi RKi Z0mFR xKx2expmmi RKFi tmi RK拾振 振動測量，固導傳聲器 與加速度成正比 1mm

11、xR xKxmx 212mmXXmiRK分析力學拉格朗日方程）分析力學拉格朗日方程） 系統(tǒng)的(廣義)坐標 x ，(廣義)速度 拉格拉日量：動能減去勢能 運動方程 x ( , , )TVx x t LEE0ddtxxLL質點振動系統(tǒng) 2211( , , )22x x tmxKxL單擺 221cos2mrmglL2sin0dmrmgldtLL沖激脈沖力作用的受迫振動沖激脈沖力作用的受迫振動 沖激脈沖，沖激相應 0 0( ) 0ttt1 0 ( )0 0SSt dtS -()f ttt dtf t tt1 ()0 tttt dtt -()f ttt dtft 沖量定律 原本靜止， 受脈沖 沖量 初速

12、度1 產生位移是格林函數(shù) 0t f tmt-( )f t dtm001exp()sin()xtt格林函數(shù) f tmtt00expsin , 0 ttttttg t ttt 格林函數(shù)是沖激響應, 滿足方程 時間平移不變系統(tǒng),因果性 不考慮衰減 000sin , 0 ttttgt ttt, , , mmg t tR g t tKg t tmttg tt初始位移、速度和沖激脈沖外力初始位移、速度和沖激脈沖外力 不計衰減自由振動的解 0000 xgt xgt v傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 周期函數(shù)可以表示為傅里葉級數(shù)周期函數(shù)可以表示為傅里葉級數(shù) 0122cossinnnnnntntf tabTT 001Ta

13、f t dtT 022cosTnntaf tdtTT 022sinTnntbf tdtTT 指數(shù)形式 2expnnintf tcT 012expTnintcf tdtTT例子 mf tttmT12expnintcTT21expmnin ttttmTTT傅里葉變換一般外力激勵問題 ( )( )exp()Ff ti t dtf tF11( )( )exp()( )2f tFi t dFF)(F為頻譜 /2/22sin2exp()exptti t dti t()exp()tti tF( )1tF11()exp()exp( )22ttittdittd周期函數(shù) 周期函數(shù)的頻譜 ，線譜 脈沖串，梳狀譜 2

14、2expexp()nnnnintnf tcci t dTT 222( )expnintnFTTT 12expnintcTT mf tttmT平移 f tif t FF求導()exp( )f tti tf tFF調制 expf titFF 12121( )( )2ft ftFFF 11212( )( )FFftftF調制和卷積高斯信號及其頻譜受一般外力作用的受迫振動受一般外力作用的受迫振動兩邊作傅里葉變換dttitfF)exp()()(dtiFtf)exp()(21)(dttitxX)exp()()(dtiXtx)exp()(21)( )mmxR xKxf t 2mmi RK XF XHF 21

15、mHmi RK 2201Hm不計衰減傳遞函數(shù) 2exp1( )2mf tittx tdt dmi RK 1( )x tHf tFF1xHf FF例: 方波激勵 tittiitiRIIRexpexpexp)exp(復頻率 ，虛部對應衰減 應用留數(shù)定理求瞬態(tài)解 220exp()1( )22Fi tx tdmi0i極點 沖擊響應方法沖擊響應方法 -()f tf ttt dt 1( )x tf tg ttdtm 1( )x tg tf tm()mttg tt頻域和時域方法頻域和時域方法 XHF 1Hf tFF1gHm = FF g tmHGF 1( )x tg tf tmGmH 1Xg tf tmFF頻域和時域方法頻域和時域方法 022000sin1exp()ti t dt 022000expsin1exp()2tti t dti 220000