巴特沃斯低通濾波器設(shè)計

1、計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院數(shù)字信號處理課程作業(yè)學(xué)號： S315060063專業(yè)：計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)生：董程鳳任課教師：麗穎教授2015年 12月巴特沃斯低通濾波器設(shè)計摘要 ：本文分析了國外數(shù)字濾波器技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢， 介紹了低通濾波 器的基本結(jié)構(gòu)和常見的幾種低通濾波器的設(shè)計比較， 重點介紹了巴特沃斯低通濾 波器。首先分析了巴特沃斯低通濾波器的特性，然后用 MATLAB 的信號處理工 具箱提供的函數(shù)設(shè)計了巴特沃斯低通濾波器， 使得巴特沃斯濾波器的設(shè)計變得更 加簡單、快捷、直觀。關(guān)鍵詞 ：低通濾波器，巴特沃斯低通濾波器， MATLAB1. 引言在信號處理過程中， 所處理的信號往往混有噪音， 從接

2、受到的信號中消除或 減弱噪音是信號傳輸和處理中十分重要的問題。根據(jù)有用信號和噪音的不同特 性，提取有用信號燈過程成為濾波， 實現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)稱為濾波器。 在近代電 信設(shè)備和各類控制系統(tǒng)中， 濾波器應(yīng)用極為廣泛， 例如，濾波器最早應(yīng)用于語音 處理，除此之外，還應(yīng)用于圖像處理、通信、音視頻壓縮和生物醫(yī)學(xué)信號處理等 領(lǐng)域中。濾波技術(shù)是數(shù)字信號分析、處理技術(shù)的重要分支。無論是信號的獲取、 傳輸，還是信號的處理和交換都離不開濾波技術(shù)， 它對信號安全可靠和有效靈活 地傳輸是至關(guān)重要的。根據(jù)濾波器的選頻作用可以將它分為低通濾波器、 高通濾波器、 帶通濾波器 和帶阻濾波器。 低通濾波器和高通濾波器是濾波器的

3、兩種最基本的形式， 其它的 濾波器都可以分解為這兩種類型的濾波器， 例如：低通濾波器與高通濾波器的串 聯(lián)為帶通濾波器， 低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)為帶阻濾波器。 根據(jù)“最佳逼 近特性”標(biāo)準(zhǔn)還可以把濾波器分為巴特沃斯濾波器、 切比雪夫濾波器和貝塞爾濾 波器。巴特沃斯濾波器是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器， 它廣泛應(yīng)用 于通信領(lǐng)域、 電測中，目前人們已經(jīng)成功地將巴特沃斯低通濾波器應(yīng)用于電動測 試中。2. 低通濾波器2.1 濾波器的基本概念從輸入信號中濾出噪聲和干擾以提取有用信息的過程稱為濾波， 相應(yīng)的裝置 稱為濾波器。 濾波器是一種選頻裝置， 可以使信號中特定的頻率成分通過， 而極 大地衰

4、減其它頻率成分。 在測試裝置中， 利用濾波器的這種選頻作用， 可以濾除 干擾噪聲或進行頻譜分析。廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視 為是一種濾波器。 因為，任何裝置的相應(yīng)特性都是激勵頻率的函數(shù)， 都可用頻域 函數(shù)描述其傳輸特性。因此，構(gòu)成測試系統(tǒng)的任何一個環(huán)節(jié)，諸如機械系統(tǒng)、電 氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等，都將在一定頻率圍，按其頻域特性，對所 通過的信號進行變換與處理。 如果濾波器的輸入和輸出均為離散信號， 稱該濾波 器為數(shù)字濾波器。 當(dāng)濾波器的輸出信號為輸入端的線性函數(shù)時， 該濾波器稱為線 性濾波器，否則稱為非線性濾波器。2.2 常見濾波器下面介紹幾種常見的濾波器： 低通濾

5、波器從0f2頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號中低于 f2的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而高于 f 2的頻率成分受到極大地衰減。 高通濾波器與低通濾波器相反，從頻率fi ，其幅頻特性平直。它使信號中高于fi的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而低于 f1 的頻率成分將受到極大地衰減。 帶通濾波器它的帶通頻帶在fi f2之間。它使信號中高于fi而低于f2的頻率成分可以不受衰減地通過，而其它成分受到衰減。 帶阻濾波器與帶通濾波器相反，阻帶在頻率fi f2之間。它使信號中高于fi而低于f2的 頻率成分受到衰減，其余頻率成分的信號幾乎不受衰減地通過。2.3 低通濾波器低通濾波是一種過濾方式， 規(guī)則為低頻信

6、號能正常通過， 而超過設(shè)定臨界值 的高頻信號則被阻隔、減弱?？梢院唵蔚恼J為：設(shè)定一個頻率點，當(dāng)信號頻率高 于這個頻率時不能通過， 在數(shù)字信號中， 這個頻率點也就是截止頻率， 當(dāng)頻域高 于這個截止頻率是， 則全部賦值為 0.因為在這一處理過程中， 讓低頻信號全部通 過，所以稱為低通濾波。對不同濾波器而言，每個頻率的信號的減弱程度不同，當(dāng)使用音頻應(yīng)用時， 它有時稱為高頻剪切濾波器， 或高音消除濾波器。 低通濾波器是指車載功放中能 夠讓低頻信號通過而不讓中、 高頻信號通過的電路， 起作用是濾去音頻中的中音 和高音成分， 增強低音成分以驅(qū)動揚聲器的低音單元。 由于車載放大部分都是全 頻功放，通常采用

7、AB 類放大設(shè)計，功率損耗比較大，所以濾除低頻段的信號， 只推動中高頻揚聲器是節(jié)省功率、保證音質(zhì)的最佳選擇。低通濾波器的工作原理很簡單， 就是利用電容通高頻阻低頻、 電感通低頻阻 高頻的原理。對于需要截止的高頻， 利用電容吸收電感、 阻礙的方法不使它通過； 對于需要放行的低頻，利用電容高阻、電感低阻的特點讓它通過。低通濾波器概念有許多不同的形式， 其中包括電子線路 （如音頻設(shè)備中使用 的hiss濾波器、平滑數(shù)據(jù)的數(shù)字算法、音障、圖像模糊處理等等，這兩個工具都通過剔除短期波動、保留長期發(fā)展趨勢提供了信號的平滑形式。低通濾波器在信 號處理中的作用等同于其它領(lǐng)域中移動平均數(shù)所起的作用；低通濾波器有很

8、多 種。其中，最通用的就是巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器。低通濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)：1 .通帶增益通帶增益是指濾波器在通頻帶的電壓放大倍數(shù)。性能良好的LPF通帶的幅頻特性曲線是平坦的，祖帶的電壓放大倍數(shù)基本為零。2.通帶截止頻率其定義與放大電路的上限截止頻率相同。 通帶與阻帶之間稱為過渡帶，過渡 帶越窄，說明濾波器的選擇性越好。3. 巴特沃斯低通濾波器3.1巴特沃斯低通濾波器的簡介巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種，特點是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最大限 度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。這種濾波器最先由英國工程師 斯替芬巴特沃斯在1930年發(fā)表在英國無線電工程期刊的一篇論文中提出的， 可以

9、構(gòu)成低通、高通、帶通和帶阻四種組態(tài)，是目前最為流行的一類數(shù)字濾波器。 經(jīng)過離散化可以作為數(shù)字巴特沃斯濾波器， 較模擬濾波器具有精度高、穩(wěn)定、靈 活、不要求阻抗匹配等眾多優(yōu)點，因而在自動控制、語音、圖像、通信、雷達等 眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器。3.2巴特沃斯低通濾波器的特性巴特沃斯低通濾波器的平方幅度響應(yīng)為2H(j )12n1 C其中，n為濾波器的階數(shù)，c為低通濾波器的截止頻率。該濾波器具有一些特殊 的性質(zhì)：2 對所有的n，都有當(dāng) 0時，H jO|1;2 1 對所有的n，都有當(dāng) c時，H(j J 1，即在c處有3dB的衰2減；2 |H(j )是的單調(diào)遞減函

10、數(shù)，即不會出現(xiàn)幅度響應(yīng)的起伏；2H (j )在該 n時，巴特沃斯濾波器趨向于理想的低通濾波器； 在3 =0處平方幅度響應(yīng)的各級導(dǎo)數(shù)均存在且等于0,因此點上取得最大值，且具有最大平坦特性。圖1展示了 2階、4階、8階巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性?？梢婋A數(shù) n 越高，其幅特性越好，低頻檢測信號保真度越高。圖1巴特沃斯低通濾波器幅頻特性從表1可以看出，巴特沃斯濾波器在帶通和過渡區(qū)域的線性相位、 衰減斜率、 加載特性以及跳躍反應(yīng)方面具有特性均衡的優(yōu)點。 因此在實際使用中，巴特沃斯 濾波器已被列為首選。表1巴特沃斯與貝塞爾、切比雪夫濾波器的特性差異比較濾波器類型帶通過渡區(qū)域階躍響應(yīng)巴特沃斯濾波器帶通中最

11、大的平坦幅 度比貝塞爾濾波器陡 峭,但不如切比雪夫 濾波器性能好有一些過沖和振鈴， 但低于切比雪夫濾波 器切比雪夫濾波器帶通中的紋波比巴特沃斯濾波器和 貝塞爾濾波器陡峭過沖和振鈴合理貝塞爾濾波器帶通中的平坦幅度響 應(yīng)比巴特沃斯濾波器和 切比雪夫濾波器慢與巴特沃斯和切比雪 夫濾波器相比，過沖 和振鈴非常小3.3巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計原理2巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù) H(j )，用下式表示：2 1H(j )石1 C2 2N為濾波器的階數(shù)。當(dāng)Q =0時，H(j ) =1；Q = c時，H(j ) =1/2， c是3dB截止頻率。Q = c時，Q逐漸增大，幅度下降非常迅速。Q和 N同幅度特性關(guān)

12、系圖如圖1所示。N決定了幅度下降速度，N越大，通帶就越平坦，過渡帶也 隨之變窄，阻帶幅度同過渡帶下降的速度越迅速， 總體頻響特性同理想低通濾波器的實際誤差越小。2用S代替j ，把幅度平方函數(shù)|H(j )變成S的函數(shù):12nsj cs j ，此公式說明了幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點Sk可以用下面的公式來表達:jt(2k 1)2N sk(jce).tce尾cek 0,1,2,.,2n 1,2n個極點等間隔分布在半徑為c的圓上，間隔是/nrad。如圖2所示。圖2三階巴特沃斯濾波器極點分布為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點只取S平面左半面的N個極點構(gòu)成H (s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成H( s)H (

13、s)的表達式為nH(s)苗 (sk 0Sk)例如N=3，.2s) ce3當(dāng)n=3時,通過下式可以計算出6個極點:.4ce3，S35 ce抵6個極點中位于左半平面的三個分別是:.2J3sc ce 3 ，s!，sice ，sj 2ce ，s57 cJce ，S2.4cej3取S平面左半面平面的極點s0, s , s2組成H (s):3H(s) c2L4 j韋(sc)(sc3 )(s c3 )將H(s)茴1(k 0 c對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的H(s)表示為:L)c1H(s)十s s(乂)k 0 cc，p稱為歸一化拉式復(fù)變量。/ c ,入稱為歸一化頻率。經(jīng)過歸一化后巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)

14、為:1H(p) k(P Pk)k 0式中，Pk Sk/ c為歸一化極點，sk為位于左半平面的極點用下式表示: j (1 絲)Pk e 2 2n ，k 0,1,., n 1把極點表達式代入歸一化后的巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)，得到的H (p)的分母是p的n階多項式，用下式表示:H(P)1bobip . bn 1pn ()2n 10p/10 pn下面來確定n，由技術(shù)指標(biāo)p， p， s和s確定。在定義2 2 1p 10lg H(j p)，|H(j )茁中，將 p和s分別代入1 C2 2 2 2 幅度平方函數(shù)，得到H(j p)和H(j s)|，再將H(j p)和H(j s)代入2p 10lg H(j p

15、)中，整理得：聯(lián)立這兩個式子可得:p/ios/101(Tn 10s/10c10 p/10 110 s/10 1令sp ，ksp 0：/1。1，則n的表達式為：N的最小整數(shù)。經(jīng)過總結(jié)，巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計步驟大致為：蟲，取大于等于Nlg sp通過p， s和s的值，用公式N業(yè)算出濾波器的階數(shù)noig spH(p)根據(jù)J2爲(wèi)),k 0,1,.,n 1，求出歸一化極點Pk，將Pk代入n 1(P Pk)k 0中，得出歸一化傳輸函數(shù)H(P)。將H(P)去歸一化。將p s/ c代入H(P)中，從而得到實際的濾波器傳輸函數(shù)H (s) o4. MATLAB仿真及分析4.1 MATLAB 簡介MATLAB語言

16、是一種面向科學(xué)與工程計算的預(yù)言，它編程效率高，測試程 序手段豐富，擴展能力強，涵豐富。它的信號處理工具箱提供了設(shè)計巴特沃斯濾 波器的函數(shù)。本文充分利用這些函數(shù)，進行了巴特沃斯濾波器的程序設(shè)計，并將其作為函數(shù)文件保存，可方便地進行調(diào)用。4.2 MATLAB仿真及分析用buttord函數(shù)設(shè)計歸一化的巴特沃斯低通濾波器。 buttord函數(shù)可在給定濾 波器性能的情況下，選巴特沃斯濾波器的階數(shù)n和截止頻率c，從而可用butter 函數(shù)設(shè)計巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)。n, c buttored ( p, c,Rp,Rs,s)可得到足性能的模擬巴特沃斯濾波器的最小階數(shù)n及截止頻率c，其中p為通帶的拐角頻率，

17、s為阻帶的拐角頻率,和s的單位均為rad/s ; Rs為通帶區(qū)的最大波動系數(shù)，Rp和&阻帶區(qū)的最小衰減系數(shù)，尺和Rp的單位都為dB。b,abutter (n, c,s)可設(shè)計截止頻率為s的n 階低通模擬巴特沃斯濾波器，其傳遞函數(shù)為：H(s)B(s) b(1)sn b(2)sn1 A b(n 1)A(s)sn a(2)sn 1 A a(n 1)令c=1rad/s，得到巴特沃斯濾波器歸一化結(jié)果，如表2所示表2 n=18階的巴特沃斯濾波器系數(shù)nb7b5b4b3b2blbO11. oooc21.41421. 000032. 00002.0000L 000042* 61313. 41422.6131L

18、000053.23615,23615. 23613.23611. 000063- 86377.4641g. me7. 46413. &6371. 000074. 494010.097814. 591814.591810.09784. 49401. 000085.125813.137121,846225. 84fi22 L 846213.13715.12581. oooo濾波器的性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率fp =2400HZ，通常最大衰減p =3dB，阻帶截止頻率fs =5000HZ,阻帶最小衰減 s=25dB。MATLAB程序如下：%采樣率 f_N=16000;%設(shè)計要求指標(biāo) f_p=2400

19、; f_s=5000; R_P=3； R_s=25;%計算歸一化角頻率 Ws=f_s/(f_N/2); Wp=f_p/(f_N/2);%計算階數(shù)和截止頻率 n, Wn=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);%計算H (Z) b,a=butter( n, Wn);%作出H (Z)的幅頻相頻圖，freqz(b，a,計算點數(shù)，采樣率) freqz(b,a,1000,8000) subplot(2,1,1); axis(0 4000 -30 3)利用MATLAB工具箱里的函數(shù)，仿真設(shè)計巴特沃斯低通濾波器的仿真結(jié)果 如圖3所示。-10-300-20500100015002000250030003

20、5004000Freque ncy (Hz)esach-3000-100-2005001000150020002500300035004000Freque ncy (Hz)圖3假定的輸入信號的頻譜和濾波器的輸出信號的頻譜5. 結(jié)論本文主要介紹利用MATLAB對巴特沃斯濾波器進行仿真實驗和分析。在本 文的第一章為大家引入了濾波器的概念和發(fā)展?fàn)顩r。在第二章主要介紹了低通濾 波器的基本概念、特性和常用的幾種濾波器。在第三章和第四章是本文的重點， 介紹了巴特沃斯低通濾波器，包括巴特沃斯濾波器的特性、設(shè)計理念以及利用 MATLAB仿真和分析巴特沃斯濾波器。雖然巴特沃斯低通濾波器相對于切比雪 夫和貝塞爾濾