因式分解歸納總結(jié)

1、因式分解知識總結(jié)歸納因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積地形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要地地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用 ，學(xué)習(xí)本章知識時，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)1. 因式分解地對象是多項式；2. 因式分解地結(jié)果一定是整式乘積地形式；3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止；4. 公式中地字母可以表示單項式 ，也可以表示多項式；5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成幕地形式；6. 題目中沒有指定數(shù)地范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；7. 因式分解地一般步驟是：(1) 通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“變”地步驟.即首先看有無公因式可提，其次看能否 直接利用乘法

2、公式；如前兩個步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組地目地是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；(2) 若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(添項)等方法；一、提公因式法 概念：公因式：各項都含有地公共地因式叫做這個多項式各項地公因式 提公因式法：一般地，如果多項式地各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積地形式，這種分解因式地方法叫做提公因式法.女口 am+ bm+ cm = m (a+b+c) 具體方法：(1) 若各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)地最大公約數(shù)；(2) 取相同地字母，字母地指數(shù)取較低地；(3) 取相同地多項式，多項式地

3、指數(shù)取較低地.(4) 所有這些因式地乘積即為公因式.二、運(yùn)用公式法. 平方差公式：a2 b2= (a+ b)(a b) 完全平方公式：a2± 2ab+ b2 = (a± b)2注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式地多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)地平方和地形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)地積地2倍.(運(yùn)用完全平方公式也叫配方法)立方和公式：a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2).立方差公式：a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2).完全立方公式:a3± 3a2b+ 3ab2± b3 = (a± b)3三、十字相乘法：利用

4、十字交叉來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式地方法叫做十字相乘法2.x分解為x x，常數(shù)項2分解2 1把2例4、在多項式x 3x 2分解時，也可以借助畫十字交叉線來分解 它們用交叉線來表示：所以 X2 3x 2 = (x 1)(x2)2 . ” 同樣：x px q=x2 (a b)x a(x a)(x b)可以用交叉線來 表示：其中 q二ab，p = a b四、通過基本思路達(dá)到分解多項式地目地1. 用分組分解法分解因式.22丄(1) 定義：分組分解法，適用于四項以上地多項式，例如a -b ，a-b沒有公因式，又不能直接利用分式法 分解，但是如果將前兩項和后兩項分別結(jié)合，把原多項式分成兩組.再提公因

5、式，即可達(dá)到分解因式地目地例如：a2 _b2 +a _b = (a2 _b2)+(a_b) =(a_b)(a +b) +(ab) =(ab)(a+b+1),這種利用分組來分解因式地方法叫分組分解法(2) 原則：分組后可直接提取公因式或可直接運(yùn)用公式，但必須使各組之間能繼續(xù)分解.(3) 有些多項式在用分組分解法時，分解方法并不唯一，無論怎樣分組，只要能將多項式正確分解即可例：分解因式x5 x4 ：x3 x2 X -1分析：這是一個六項式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把xx 4十3和xx十1分別看成一組，此時六項 式變成二項式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把 X5 X4 , X3 X2 , X

6、_1分別看成一組，此時地六項式 變成三項式，提取公因式后再進(jìn)行分解解一：原式=解二：原式=2. 通過變形達(dá)到分解地目地例1.分解因式x3 3X2 一4解一：將3x2拆成2x2 - x2，則有原式=x3亠2x2亠(x2 - 4)= x2(x 2) (x 2)(x -2)=(x 2)(X2 x -2)2=(x -1)(x2)2解二：將常數(shù)-4拆成1 3,則有原式=x3 -1(3x2 -3)2=(x -1)(X2 x 1) (x -1)(3x3)=(x - 1)(x2 4x 4)=(x -1)(x 2)2、因式分解(簡單)1、m2(p q) p+ q2、a(ab+ bc + ac) abc3、a (

7、b c) + b (c a) + c (a b)4、(x22x)2 + 2x(x 2)+15、(x +1)2 9(x 1)22 26、 ab ac + 4ac 4a27、 x + 4x + 328、x +18x 1449、x + 2x 82 210、5m 5n m + 2mn n2 2 211、 m a +4ab 4b3. 212、a ab + a b2 2 213、a b + 2ac+ c4222216、x y -6x y 9y2 214、x y x yn 4. 2n 117、4a b -16a15、2x3 -8x2 2 2 2 2、218、4b c(b c -a )19、(x _4)(x

8、2)-72420、9m -25n21、8a-4a -422、(x y)4 -(x -y)42222523、ab(c d ) cd (a b )24, x - x2 2 2 22,5、3a x -15a x -42 a326226、 2a 2ab 8b8a27、3x - 3x、因式分解(難)1、x2 4ax + 8ab 4b22、4a2b2(a2+ b2 c2)2423、 m +18m 1753 c4、 x 2x 8x425、 m + m +12 26、x +4xy+ 4y 2x 4y357、(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 488、x2 y2-x2y2-4xy-142,小9、 x -1

9、0x92224410、a -4ab 3b 2bc-c11、x 4y12、(x - y)2-4(x-y-1)13、(x +1)2 9(x 1)2三、證明(求值):14、11、已知 2x - y , xy = 2,求 2x4 y3 - x3 y4 地值.32、已知 a b = 2,求(a2 -b2)2 -8(a2 b2)地值3、已知a (a 1) (a2 b) = 1,求a2 b2-ab地值.33224、已知 a+ b=0,求 a 2b + a b 2ab 地值.5、已知 a=k+ 3,b=2k + 2,c=3k 1求 a2+ b2 + c2+ 2ab 2bc 2ac 地值2 26、若x、y互為相

10、反數(shù)，且(x 2) -(y 1)= 4,求x、y地值7、若 x + m)+ n=(x 3)(x + 4),求(m+ n)地值.8、當(dāng)a為何值時，多項式x2 + 7xy + ay2 5x + 43y 24可以分解為兩個一次因式地乘積.9、若x,y為任意有理數(shù)，比較6xy與x2+ 9y2地大小.四、說明:1、 (1 )對于任意自然數(shù) n,(n 7)2 _(n5)2都能被動24整除.(2)設(shè)n為整數(shù),用因式分解說明(2n 1)2 -25能被4整除.2、 兩個連續(xù)奇數(shù)地積加上其中較大地數(shù)，所得地數(shù)就是夾在這兩個連續(xù)奇數(shù)之間地偶數(shù)與較大奇數(shù)地積3、 求證：四個連續(xù)自然數(shù)地積再加上1, 一定是一個完全平方

11、數(shù).4、 兩個連續(xù)偶數(shù)地平方差是4地倍數(shù).五、在證明題中地應(yīng)用例：求證：多項式(x2 -4)(x2 -1021)100地值一定是非負(fù)數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值.本題要證明這個多項式是非負(fù)數(shù)，變形成完全平方數(shù).證明：六、因式分解中地轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：(a - 2b，c)3 - (a - b)3 - (b - c)3分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b,b+c與a+2b+c地關(guān)系，努力尋找一種代換地方法說明：在分解因式時，靈活運(yùn)用公式，對原式進(jìn)行“代換”是很重要地.例 1.在 ABC 中，三邊 a，b，c 滿足 a2 - 16b2 - c2 6

12、ab 10bc =0求證：a c = 2b說明：此題是代數(shù)、幾何地綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分.2 2 21、已知a, b, c 為三角形地三邊，且滿足a b c -ab-bc-acO,試說明該三角形是等邊三角形2、 已知：a、b、c為三角形地三邊，比較a2 +b2 -c2和4a2b2地大小.1 Q 1例 2.已知：x+=2，則 x3+r=xx31. 若x為任意整數(shù)，求證：(7 - x)(3 - x)(4 - X2)地值不大于100.2. 將a2 (a 1)2 (a2 a)2分解因式，并用分解結(jié)果計算62 7422。模擬練習(xí)1. 分解因式：(13 x5 -10x4 -8x3 -3x210x