圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強度條件

1、內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院材料力學(xué)講義第9講 教學(xué)方案圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強度條件基本內(nèi)容教學(xué)目的重點難點 本節(jié)重點：圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力計算公式、推導(dǎo)過程和方法。 本節(jié)難點：圓軸扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè)及其在公式推導(dǎo)中的應(yīng)用。 1、掌握圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力計算公式、推導(dǎo)過程和方法。 2、理解圓軸扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè)及其在公式推導(dǎo)中的應(yīng)用。 3、掌握圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件，利用強度條件進(jìn)行相關(guān)計算。 4、熟知圓軸和空心圓軸的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)。 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力計算、強度條件的建立與強度計算第 九 講§4-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強度條件1 平面假設(shè)及變形幾何關(guān)系如圖4-9a 所示受扭圓軸，與薄圓筒相似，

2、如用一系列平行的縱線與圓周線將圓軸表面分成一個個小方格，可以觀察到受扭后表面變形有以下規(guī)律： (1 各圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動一微小轉(zhuǎn)角，但大小，形狀及相互間距不變；(2 由于是小變形，各縱線平行地傾斜一個微小角度，認(rèn)為仍為直線；因而各小方格變形后成為菱形。平面假設(shè)：變形前橫截面為圓形平面，變形后仍為圓形平面，只是各截面繞軸線相對“剛性地”轉(zhuǎn)了一個角度。從圖4-9a 取出圖4-9b 所示微段dx , 其中兩截面pp,qq 相對轉(zhuǎn)動了扭轉(zhuǎn)角d , 縱線ab 傾斜小角度而在半徑(od 處的縱線cd 根據(jù)平面假設(shè)，轉(zhuǎn)過d 后成為cd（其相應(yīng)傾角為，成為ab，' 見圖4-9c ）由于是小變形，從圖

3、4-9c 可知：d d =r dx =d 。于是=d （a ） dx對于半徑為R 的圓軸表面（見圖4-9b ），則為=R d （b ） dx2 物理關(guān)系與受扭薄壁圓筒相同，在半徑為處截出厚為d 的薄圓筒（圖4-9b ），用一對相距dy 而相交于軸線的徑向面取出內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院材料力學(xué)講義小方塊（正微六面體）如圖4-9c 此為受純剪切單元體。由剪切胡克定理和式（a ）得=G =G 這表明橫截面上任意點的剪應(yīng)力與該點到圓心的距離成正比，即 d （c ） dx當(dāng)=0, =0；當(dāng)=R ，取最大值。由剪應(yīng)力互等定理，則在徑向截面和橫截面上，沿半徑剪應(yīng)力的分布如圖4-10。3靜力平衡關(guān)系在圖4-

4、11所示平衡對象的橫截面內(nèi)，有dA =2d ，扭矩T =條件m o =0，得 dA ，由力偶矩平衡AT =m = dA =2G A A d d =G dx dx A 2dA令 I p =A 2dA （4-9）此處d /dx為單位長度上的相對扭角，對同一橫截面，它應(yīng)為不變量。I p 為幾何性質(zhì)量，只與圓截面的尺寸有關(guān)，稱為極慣性矩；單位為m 4或cm 4。則T =G（4-10）式代回（c ）式，得d T d = （4-10） I p 或 dx GI p dx第 九 講=T （4-11） I p則在圓截面邊緣上，為最大值R 時，得最大剪應(yīng)力為max =TR T = （4-12） I p Wt（4-

5、13） 此處 W t =I pRW t 稱為抗扭截面系數(shù)，單位為m 3或cm 3。由此得圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件max =T （4-14） W t它由危險剪應(yīng)力o 除以安全系注意到此處許用剪應(yīng)力不同于剪切件計算中的剪切許用應(yīng)力。數(shù)n 得到，與拉伸時相類似：s /n s 塑性材料= =n b /n b 脆性材料os b 由相應(yīng)材料的扭轉(zhuǎn)破壞試驗獲得，大量試驗數(shù)據(jù)表明，它與相同材料的拉伸強度指標(biāo)有如下統(tǒng)計關(guān)系：塑性材料脆性材料 s =(0. 50. 6 s b =(0. 81. 0 b4. I p 、W t 計算對實心圓軸 dA =2d 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院材料力學(xué)講義D D 422I p =A d

6、A =02d =323 （4-15） I p D =W t =16對空心圓軸D D 4d 4D 422I p =dA =d 2d =(14 =A 3232 （4-16） 443I p D d D W t =(14, =d =D 216D 16(例4-2 AB 軸傳遞的功率為N =7. 5kW ，轉(zhuǎn)速n =360r/min 。如圖4-12所示，軸AC 段為實心圓截面，CB 段為空心圓截面。已知D =3cm ，d =2cm 。試計算AC 以及CB 段的最大與最小剪應(yīng)力。解：（1）計算扭矩 軸所受的外力偶矩為 m =9550由截面法 N 7. 5=9550=199N m n 360T =m =199N m（2）計算極慣性矩 AC 段和CB 段軸橫截面的極慣性矩分別為I P 1=I P 2=D 432=7. 95cm 4 4(D 32d 4=6. 38cm 4 （3）計算應(yīng)力 AC 段軸在橫截面邊緣處的剪應(yīng)力為AC AC max =外=AC min =0 T D =37. 5×106Pa =37. 5MPa I P 12第 CB 段軸橫截面內(nèi)、外邊緣處的剪應(yīng)力分別為 CB CB min= 內(nèi) = 九 講