微分方程數(shù)值解

1、數(shù)學與計算科學學院實 驗 報 告實驗項目名稱 常微分方程數(shù)值解 所屬課程名稱 微分方程數(shù)值解法 實 驗 類 型 驗證 實 驗 日 期 班 級 學 號 姓 名 成 績 一、實驗概述：【實驗?zāi)康摹空莆涨蠼獬Ｎ⒎址匠痰臍W拉法，Runge-Kutta方法（二階的預(yù)估校正法，經(jīng)典的四階R-K法）【實驗原理】1，歐拉法的格式如下： yn+1=yn+hfxn,yn y0=y(x0)其中n從0開始取值，fxn,yn為微分方程中的dy/dx的值，而y0是我們根據(jù)題目設(shè)定的初值。2，預(yù)估校正法格式如下：yn+10=yn+hfxn,yn yn+1=yn+h2fxn,yn+f(xn+1,yn+10)y0=f(x0)

2、其中第一個式子為預(yù)報格式，第二個式子為校正格式，第三個式子也是給定的初值。3，經(jīng)典四階Runge-Kutta格式，亦即R-K法格式如下：yn+1=yn+h6（k1+2k2+2k3+k4）k1=f(xn,yn)k2=f(xn+h2,yn+hk12)k3=f(xn+h2,yn+hk22)k4=f(xn+h,yn+hk3)【實驗環(huán)境】Microsoft Visual C+6.0二、實驗內(nèi)容：【實驗方案】用歐拉法，預(yù)估校正法, 經(jīng)典的四階龍格庫塔方法求解初值問題 dy/dx=，初值y（0）=1； 將計算結(jié)果與精確解為比較在區(qū)間0,1上分別取步長h=0.1; 0.05時進行計算。對三個算法的收斂性進行分

3、析比較，【實驗過程】（實驗步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析）1，部分算法代碼：(1)歐拉算法代碼void ruler(double xn+1,double yn+1,double h)/歐拉法 int j;for(j=0;j<n;j+) yj+1=yj+h*f(xj,yj); (2)預(yù)步校正法代碼void yugu_jz(double xn+1,double yn+1,double h)/預(yù)估校正法double yyn+12;int j;yy01=y0; for(j=0;j<n;j+) yyj+10=yyj1+h*f(xj,yyj1); yyj+11=yyj1+h/2*(f(xj,yyj1)

4、+f(xj,yyj+10);/預(yù)估校正法的解 yj+1=yyj+11; (3)Runge_Kutta法代碼void Runge_Kutta(double xn+1,double yn+1,double h)/Runge_Kutta法double k1,k2,k3,k4;int i;for(i=0;i<n;i+)k1=f(xi,yi);k2=f(xi+h/2,yi+h/2*k1);k3=f(xi+h/2,yi+h/2*k2);k4=f(xi+h,yi+h*k3);yi+1=yi+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);(4)目標函數(shù)及解析解double f(double a,doubl

5、e b)/目標函數(shù)double fun;fun=a*exp(-a)-b;return fun;void precise(double xn+1,double yn+1)/精確解int j;for(j=0;j<n;j+) yj+1=(pow(xj+1,2)+2)*exp(-xj+1)/2; 2，結(jié)果分析：根據(jù)下面的實驗結(jié)果，可以得出：當步長取0.1時，三種算法收斂性的關(guān)系為：歐拉法<預(yù)步校正法<Runge_Kutta法，相應(yīng)的預(yù)步校正法精確度為普遍在10-2，略高于歐拉法，Runge_Kutta法的精確度達到10-7，遠遠優(yōu)于歐拉法和預(yù)步校正法。當步長取0.05時，三種算法收斂

6、性的關(guān)系不變，但三種方法的精確度均有提高，相對于步長0.1時，Runge_Kutta法收斂速度高于另外兩種，可得其誤差項階數(shù)高于歐拉法和預(yù)步校正法，即結(jié)果均與理論相符。【實驗結(jié)論】（結(jié)果）當步長為0.1時，結(jié)果及誤差如下：當步長為0.05時，結(jié)果及誤差如下：【實驗小結(jié)】（收獲體會） 通過本次實驗，我熟悉了歐拉法，預(yù)步校正法以及Runge_Kutta法的算法思想，還有它們之間的收斂性差異，精確度差異，同時對也提高了自己的上機編程能力，感受到了理論與實踐相結(jié)合的樂趣。三、指導教師評語及成績：評 語評語等級優(yōu)良中及格不及格1.實驗報告按時完成,字跡清楚,文字敘述流暢,邏輯性強2.實驗方案設(shè)計合理3.

7、實驗過程（實驗步驟詳細,記錄完整,數(shù)據(jù)合理,分析透徹）4實驗結(jié)論正確. 成 績： 指導教師簽名： 批閱日期：附錄1：源 程 序#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 10void precise(double xn+1,double yn+1);/精確解void ruler(double xn+1,double yn+1,double h);/歐拉法void yugu_jz(double xn+1,double yn+1,double h);/預(yù)估校正法void Runge_Kutta(double xn+1,double

8、yn+1,double h);/Runge_Kutta法double f(double a,double b);/定義函數(shù)void main() printf("*該程序解決微分方程y=x*e(-x)-y的數(shù)值解問題*n"); printf("*區(qū)間為0,1，步長h=0.1nn"); double xn+1,y4n+1; double h; int i,k; h=0.1;/步長賦值 /初值賦值 x0=0.0; for(i=0;i<4;i+) yi0=1; for(i=1;i<n+1;i+) xi=x0+h*i; precise(x,y0);

9、ruler(x,y1,h); yugu_jz(x,y2,h); Runge_Kutta(x,y3,h); printf(" x 精確解 歐拉法的解 預(yù)估校正法 Runge_Kuttan"); for(k=0;k<n+1;k+)/打印結(jié)果 printf(" %-3.2lf %-12.8lf %-12.8lf %-12.8lf %-12.8lfn",xk,y0k,y1k,y2k,y3k); printf(" x 精確解 歐拉法誤差 預(yù)校法誤差 R_K法誤差n"); for(k=0;k<n+1;k+)/打印誤差 printf(&

10、quot; %-3.2lf %-12.8lf %e %e %en",xk,y0k,fabs(y1k-y0k),fabs(y2k-y0k),fabs(y3k-y0k); void precise(double xn+1,double yn+1)/精確解int j;for(j=0;j<n;j+) yj+1=(pow(xj+1,2)+2)*exp(-xj+1)/2; void ruler(double xn+1,double yn+1,double h)/歐拉法 int j;for(j=0;j<n;j+) yj+1=yj+h*f(xj,yj); void yugu_jz(dou

11、ble xn+1,double yn+1,double h)/預(yù)估校正法double yyn+12;int j;yy01=y0; for(j=0;j<n;j+) yyj+10=yyj1+h*f(xj,yyj1); yyj+11=yyj1+h/2*(f(xj,yyj1)+f(xj,yyj+10);/預(yù)估校正法的解 yj+1=yyj+11; void Runge_Kutta(double xn+1,double yn+1,double h)/Runge_Kutta法double k1,k2,k3,k4;int i;for(i=0;i<n;i+)k1=f(xi,yi);k2=f(xi+h

12、/2,yi+h/2*k1);k3=f(xi+h/2,yi+h/2*k2);k4=f(xi+h,yi+h*k3);yi+1=yi+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);double f(double a,double b)/目標函數(shù)double fun;fun=a*exp(-a)-b;return fun;附錄2：實驗報告填寫說明 1實驗項目名稱：要求與實驗教學大綱一致。2實驗?zāi)康模耗康囊鞔_，要抓住重點，符合實驗教學大綱要求。3實驗原理：簡要說明本實驗項目所涉及的理論知識。4實驗環(huán)境：實驗用的軟、硬件環(huán)境。5實驗方案（思路、步驟和方法等）：這是實驗報告極其重要的內(nèi)容。概括整個實驗過程。對于驗證性實驗，要寫明依據(jù)何種原理、操作方法進行實驗，要寫明需要經(jīng)過哪幾個步驟來實現(xiàn)其操作。對于設(shè)計性和綜合性實驗，在上述內(nèi)容基礎(chǔ)上還應(yīng)該畫