2003考研數(shù)三真題及解析

1、2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(1) 設(shè) 其導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是.(2) 已知曲線與軸相切，則可以通過(guò)表示為 .(3) 設(shè)，而表示全平面，則= .(4) 設(shè)維向量；為階單位矩陣，矩陣， ，其中的逆矩陣為，則 .(5) 設(shè)隨機(jī)變量 和的相關(guān)系數(shù)為0.9, 若，則與的相關(guān)系數(shù)為 .(6) 設(shè)總體服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于 .二、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)

2、.(1) 設(shè)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù) ( )(A) 在處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點(diǎn).(C) 在處右極限不存在. (D) 有可去間斷點(diǎn). (2) 設(shè)可微函數(shù)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 ( )(A) 在處的導(dǎo)數(shù)等于零. (B)在處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C) 在處的導(dǎo)數(shù)小于零. (D) 在處的導(dǎo)數(shù)不存在.(3) 設(shè)，則下列命題正確的是 ( )(A) 若條件收斂，則與都收斂.(B) 若絕對(duì)收斂，則與都收斂.(C) 若條件收斂，則與斂散性都不定.(D) 若絕對(duì)收斂，則與斂散性都不定. (4) 設(shè)三階矩陣，若的伴隨矩陣的秩為1，則必有 ( )(A) 或. (B) 或.(C) 且.

3、(D) 且. (5) 設(shè)均為維向量，下列結(jié)論不正確的是 ( )(A) 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無(wú)關(guān).(B) 若線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有(C) 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) 線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān). (6) 將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：=擲第一次出現(xiàn)正面，=擲第二次出現(xiàn)正面，=正、反面各出現(xiàn)一次，=正面出現(xiàn)兩次，則事件( )(A) 相互獨(dú)立. (B) 相互獨(dú)立. (C) 兩兩獨(dú)立. (D) 兩兩獨(dú)立. 三 、(本題滿分8分)設(shè)，試補(bǔ)充定義使得在上連續(xù).四 、(本題滿分8分)設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又, 求五

4、、(本題滿分8分)計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域六、(本題滿分9分)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及其極值.七、(本題滿分9分)設(shè), 其中函數(shù)在內(nèi)滿足以下條件： ，且, (1) 求所滿足的一階微分方程；(2) 求出的表達(dá)式.八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在0，3上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且.試證：必存在，使九、(本題滿分13分)已知齊次線性方程組其中 試討論和滿足何種關(guān)系時(shí)，(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解. 在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.十、(本題滿分13分)設(shè)二次型，中二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為-12.(1) 求的值；(2) 利用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正

5、交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.十一、(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為是的分布函數(shù). 求隨機(jī)變量的分布函數(shù).十二、(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，其中的概率分布為 ，而的概率密度為，求隨機(jī)變量的概率密度.2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(1)【答案】【分析】無(wú)窮小量乘以有界函數(shù)的極限仍是無(wú)窮小量.【詳解】是參變量，是函數(shù)的自變量，要使該式成立，必須，即. 當(dāng)時(shí)，要使在處連續(xù)，由函數(shù)連續(xù)的定義應(yīng)有由該式得出. 所以在處右連續(xù)的充要條件是(2)【答案】【詳解】設(shè)曲線與軸相切的切點(diǎn)為，則. 而，有又在此點(diǎn)坐標(biāo)為0(切點(diǎn)在軸上)，于是有，故，所以 (3)【答案】【詳解】

6、本題積分區(qū)域?yàn)槿矫妫挥挟?dāng)時(shí)，被積函數(shù)才不為零，則二重積分只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分商積分即可，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可=(4)【答案】-1 【詳解】這里為階矩陣，而為數(shù)，直接通過(guò)進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可由題設(shè)，有=，于是有，即，解得 已知，故(5)【答案】【詳解】利用方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，又因?yàn)閮H是減去一個(gè)常數(shù)，故方差不會(huì)變，與的協(xié)方差也不會(huì)變，因此相關(guān)系數(shù)也不會(huì)變，且 又，所以(6)【答案】【分析】本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)方差一致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值：【詳解】本題

7、中滿足大數(shù)定律的條件，且=，因此根據(jù)大數(shù)定律有依概率收斂于二、選擇題(1)【答案】 【詳解】方法1：直接法：由為奇函數(shù)知，；又由，知在處沒(méi)定義，顯然為的間斷點(diǎn)，為了討論函數(shù)的連續(xù)性，求函數(shù)在的極限存在，故為可去間斷點(diǎn)方法2：間接法：取，此時(shí)=可排除三項(xiàng)(2)【答案】【詳解】由函數(shù)在點(diǎn)處可微，知函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，又由二元函數(shù)極值的必要條件即得在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都等于零 從而有選項(xiàng)正確(3)【答案】【詳解】由，知，若絕對(duì)收斂，則收斂. 再由比較判別法，與都收斂，后者與僅差一個(gè)系數(shù)，故也收斂，選(B)(4)【答案】(C)【分析】 的伴隨矩陣的秩為1， 說(shuō)明的秩為2，由此可確定應(yīng)滿足的條件

8、【詳解】方法1：根據(jù)與其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系知秩()=2，它的秩小于它的列數(shù)或者行數(shù)，故有有或當(dāng)時(shí)，顯然秩， 故必有 且 應(yīng)選(C)方法2：根據(jù)與其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系，知，. 對(duì)作初等行變換當(dāng)時(shí)，從矩陣中可以看到的秩為，與秩，不合題意(排除(A)、(B)故，這時(shí)故，且時(shí)，秩()=2，故應(yīng)選(5)【答案】(B) 【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的等價(jià)表現(xiàn)形式應(yīng)注意是尋找不正確的命題【詳解】(A): 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有 ，則必線性無(wú)關(guān). 因?yàn)槿艟€性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)，使得 ，矛盾 可見(jiàn)(A)成立(B): 若線性相關(guān)，則存在一組(而不是

9、對(duì)任意一組不全為零的)數(shù)，都有 (B)不成立(C) 線性無(wú)關(guān)，則此向量組的秩為；反過(guò)來(lái)，若向量組的秩為，則線性無(wú)關(guān)，因此(C)成立(D) 線性無(wú)關(guān)，則其任一部分組線性無(wú)關(guān)，則其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，可見(jiàn)(D)也成立綜上所述，應(yīng)選(B)【評(píng)注】 原命題與其逆否命題是等價(jià)的 例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則線性相關(guān) 其逆否命題為：若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無(wú)關(guān) 在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價(jià)性(6)【答案】C【分析】(1) 兩事件相互獨(dú)立的充要條件：(2) 三事件相互獨(dú)立的充要條件：(i)兩兩相互獨(dú)立； (ii)【詳解】方法1：因?yàn)椋?/p>

10、，可見(jiàn)有，故兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選(C)方法2：由三事件相互獨(dú)立的定義可知：相互獨(dú)立必兩兩獨(dú)立；反之，兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立可見(jiàn)(A)不正確，因?yàn)槿绻_，則(C)也正確，但正確答案不能有兩個(gè)；同理，(B)也不正確. 因此只要檢查(C)和(D)故(D)錯(cuò)，應(yīng)選(C)三【詳解】為使函數(shù)在上連續(xù)，只需求出函數(shù)在的左極限，然后定義為此極限值即可令，則當(dāng)時(shí)，所以定義，從而有，在處連續(xù) 又在上連續(xù)，所以在上連續(xù)四【詳解】由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得從而所以 =五【詳解】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算作極坐標(biāo)變換：設(shè)，有記，則=因此 ，六【分析】(1) 和函數(shù)一

11、般經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q后，考慮對(duì)其逐項(xiàng)求積分后求和，再求導(dǎo)即可得和函數(shù)；或者先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)本題可直接采用后者(2) 等比級(jí)數(shù)求和公式【詳解】先對(duì)和函數(shù)求導(dǎo)對(duì)上式兩邊從0到積分由， 得為了求極值，對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)，令，求得唯一駐點(diǎn) 由于， 由極值的第二充分條件，得在處取得極大值，且極大值為 七【分析】題目要求所滿足的微分方程，而微分方程中含有其導(dǎo)函數(shù)，自然想到對(duì)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程即可【詳解】(1) 方法1：由，有=可見(jiàn)所滿足的一階微分方程為相應(yīng)的初始條件為方法2：由，有=又由 有，于是可見(jiàn)所滿足的一階微分方程為相應(yīng)的初始條

12、件為(2) 題(1)得到所滿足的一階微分方程，求的表達(dá)式只需解一階微分方程又一階線性非齊次微分方程的通解為所以 = =將代入上式，得. 所以 八【分析】題目要證存在，使得其一階導(dǎo)數(shù)為零，自然想到用羅爾定理. 而羅爾定理要求函數(shù)在某閉區(qū)間連續(xù)，且端點(diǎn)處函數(shù)值相等題目中已知，只需要再證明存在一點(diǎn)，使得，然后在上應(yīng)用羅爾定理即可 條件等價(jià)于問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1介于的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的【詳解】方法1：因?yàn)樵?，3上連續(xù)，所以在0，2上連續(xù)，則在0，2上必有最大值和最小值(連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理)，于是，三式相加 從而 由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使因?yàn)椋?且在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理

13、知，必存在，使方法2：由于，如果中至少有一個(gè)等于1，例如，則在區(qū)間上對(duì)使用羅爾定理知，存在使 如果中沒(méi)有一個(gè)等于1，那么它們不可能全大于1，也不可能全小于1即至少有一個(gè)大于1，至少有一個(gè)小于1，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使在區(qū)間對(duì)用羅爾定理知，存在，使證畢九【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征：所有行對(duì)應(yīng)元素相加后相等可先將所有行對(duì)應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一行的(-1)倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值【詳解】方程組的系數(shù)行列式=(1) 當(dāng)，即且時(shí)，秩，方程組僅有零解(2) 當(dāng)時(shí)，原方程組的同解方

14、程組為 由可知，不全為零不妨設(shè)，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，(3) 當(dāng)時(shí)，. 這時(shí)，原方程組的系數(shù)矩陣可化為由此得原方程組的同解方程組為， 原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為十【分析】 特征值之和等于的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積等于的行列式，由此可求出 的值；進(jìn)一步求出的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣【詳解】(1)二次型的矩陣為 設(shè)的特征值為，由題設(shè)得，解得(2) 求矩陣的特征值，令，得矩陣的特征值對(duì)于 解齊次線性方程組，系數(shù)矩陣為，得基礎(chǔ)解系，對(duì)于，解齊次線性方程組，系數(shù)矩陣為，得基礎(chǔ)解系由于已是正交向量組，

15、為了得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得，令矩陣，則為正交矩陣 在正交變換下，有，且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為【評(píng)注】本題求也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定：二次型的矩陣對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為設(shè)的特征值為，則 由題設(shè)得，解得第一步求參數(shù)見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P361重要公式與結(jié)論4，完全類(lèi)似例題見(jiàn)文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷數(shù)學(xué)三P47第九題十一【分析】先求出分布函數(shù)的具體形式，從而可確定 ，然后按定義求的分布函數(shù)即可注意應(yīng)先確定的值域范圍，再對(duì)分段討論【詳解】易見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù) 顯然，當(dāng)時(shí)，=0；當(dāng)時(shí)，=1 對(duì)于，有于是，的分布函數(shù)為十二【分析】本題屬新題型，求兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布，其中一個(gè)是連續(xù)型一個(gè)是離散型，要求用全概率公式進(jìn)行計(jì)算，類(lèi)似問(wèn)題以前從未出現(xiàn)過(guò)