常微分方程的ppt課件

1、)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 二階線性微分方程二階線性微分方程時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 特點特點未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次冪未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次冪高階線性微分方程高階線性微分方程本節(jié)只討論二階線性微分方程本節(jié)只討論二階線性微分方程)()()(xfyxQyxPy 所得概念和結(jié)論很容易推廣到高階方程的情形所得概念和結(jié)論很容易推廣到高階方程的情形一、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)一

2、、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu): :) 1 (0)()( yxQyxPy定定理理1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的兩兩個個解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常數(shù)數(shù)） 問題問題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？2211yCyCy 定義：設(shè)定義：設(shè)nyyy,21為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的n個個函數(shù)如果存在函數(shù)如果存在n個不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)個不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)x在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立 02211 nnykykyk

3、， 那么稱這那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)線性相關(guān)線性相關(guān) 否則稱否則稱線線性無關(guān)性無關(guān) 例如例如時，時，當(dāng)當(dāng)),( xxxxeee2, ，線性無關(guān)線性無關(guān)xx22sin,cos1，線性相關(guān)線性相關(guān) 若若在在 I 上上有有常常數(shù)數(shù)， )()(21xyxy則則函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy在在 I 上上線線性性無無關(guān)關(guān).定理定理 2 2： 如果： 如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個線性的兩個線性無關(guān)的特解無關(guān)的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的的通解通解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常

4、數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 特別地特別地:2.2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu): :定定理理 3 3 設(shè)設(shè)*y是是二二階階非非齊齊次次線線性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一個個特特解解, , Y是是與與( (2 2) )對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二階階非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .非齊線性方程的任何兩個解之差是相應(yīng)齊方程的解非齊線性方程的任何兩個解之差是相應(yīng)齊方程的解定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2

5、)的右端的右端)(xf是幾個函是幾個函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的疊加原理解的疊加原理是是若若*2*1*jyyy )()()()(21xjfxfyxQyxPy 的特解的特解那么那么的的特特解解是是)()()(1*1xfyxQyxPyy 的的特特解解是是)()()(2*2xfyxQyxPyy 即即特解的實部是實部方程的特解特解的實部是實部方程的特解特解的虛部是

6、虛部方程的特解特解的虛部是虛部方程的特解定理定理5二、降階法與常數(shù)變易法二、降階法與常數(shù)變易法1.1.齊次線性方程求線性無關(guān)特解齊次線性方程求線性無關(guān)特解-降階法降階法的的一一個個非非零零特特解解，是是方方程程設(shè)設(shè))1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy, 0)(2(111 uyxPyuy即即,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy0)(2(111 vyxPyvy的一階方程的一階方程 v降階法降階法解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydx

7、xP Liouville公式公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為2211yCyCy (3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設(shè)設(shè)0)()(2211 yxcyxc(4)22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyx

8、cyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系系數(shù)數(shù)行行列列式式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy例例.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對應(yīng)齊方程

9、一特解為對應(yīng)齊方程一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對應(yīng)齊方通解為對應(yīng)齊方通解為.21xeCxCY 設(shè)原方程的通解為設(shè)原方程的通解為,)()(21xexcxxcy 應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程組組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(21，11)(Cxxc 22)(Cexexcxx 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxeCxCyx補充內(nèi)容補充內(nèi)容0)()( yxQyxPy可觀察出可觀察出一個特解一個特解, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(

10、1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解0)()4( xQ若若特解特解 y = 1 0)()() 1() 5(2 xQxxmxPmm若若特解特解 y = xm 0)()()6(2 xQxP 若若xey 特特解解三、小結(jié)三、小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；降階法與常數(shù)變易法；降階法與常數(shù)變易法；練練 習(xí)習(xí) 題題 一、一、 驗證驗證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數(shù)是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是是任任意意常常數(shù)數(shù)cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .三三、已已知知xexy )(1是是齊齊次次線線性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一個個解解, ,求求此此方方程程的的通通