由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法

1、時(shí)間：二O二一年七月二十九日由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法之馬矢奏春創(chuàng)作時(shí)間：二O二一年七月二十九日已知數(shù)列的遞推公式，求取其通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類(lèi)罕見(jiàn)的題型，這類(lèi)題型如果純真的看某一個(gè)具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，可是此類(lèi)題目也有很強(qiáng)的規(guī) 律性，存在著解決問(wèn)題的通法，本文就高中數(shù)學(xué)中罕見(jiàn)的幾類(lèi)題型 從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老師的教學(xué) ，不涉及具 體某一題目的共同解法與技巧.一、ani an f(n)型數(shù)列，(其中f(n)不是常值函數(shù))此類(lèi)數(shù)列解決的法子是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為an 1 an f (n),從而就有將上述n 1個(gè)式子累加，釀成a。&

2、amp; f (1) f(2) . f(n 1),進(jìn)而求 解.例 1.在數(shù)列an中，a1 2,an1 an 2n 1,求an.解：依題意有逐項(xiàng)累加有an a1 1 3 2n 3 (1 2n 3)(n 1)(n 1)2 n2 2n 1, 從而22 an n 2n 3.注：在運(yùn)用累加法時(shí)，要特別注意項(xiàng)數(shù)，計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易犯錯(cuò).變式練習(xí)：已知an滿足a1 1,an1 a0 ,求an的通項(xiàng)公式.n(n 1)二、an1 an f(n)型數(shù)列，(其中f(n)不是常值函數(shù))時(shí)間：二O二一年七月二十九日此類(lèi)數(shù)列解決的法子是累積法,具體做法是將通項(xiàng)變形為f(n),從而就有將上述n 1個(gè)式子累乘，釀成包aif(1)

3、 f(2)f(n 1),進(jìn)而求解.例2.已知數(shù)列an中& 1,an 2n an 1(n 2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公 3 2n 1式.解：那時(shí)n 2,也1,曳3,電5,，星 型_二將這n 1個(gè)式子累乘 a15a27a3 9an 12n 1獲得 曳 L2一，從而an 3 1,那時(shí)14n2 1a1(2n 1)(2n 1)(2n 1)(2n 1) 3 4n2 1n 1, -11 a1,所以 an4n2 13注：在運(yùn)用累乘法時(shí)，還是要特別注意項(xiàng)數(shù)，計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易犯 錯(cuò).變式練習(xí)：在數(shù)列 出中，an>0, a1 2,同2 (n 1居；an自，求an.提不：依題意分解因式可得(n 1)an 1

4、nan(an 1 an) 0 ,而an >0,所以(n 1)an 1 nan 0,即 a"1 n.an n 1三、an 1pan q型數(shù)列此類(lèi)數(shù)列解決的法子是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用 等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的法子有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)am m p(an m),展開(kāi)整理an 1 pan pm m，比力系數(shù)有 的等比數(shù)列.Pm m b，所以m上，所以anP 1a12.二是用作差法直接構(gòu)造P 1an pan 1 q ,兩式相減有an 1 an上是等比數(shù)列，公比為p,首項(xiàng)為p 1an 1 pan q,p(an an1),所以an1 an是公比為 p例3.在數(shù)列a

5、n中，ai 1,那時(shí)n 2,有為 3am 2,求回的通項(xiàng)公 式.解法 1 :設(shè) an m 3(an i m),即有 an 3an i 2m比較4 3am 2,得m 1,于是得4 1 3(1i 1),即巴3an 11所以數(shù)列an 1是以a1 1 2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列則 an 2 3n1 1.解法2:由已知遞推式，得an1 3an 2,an 3an 1 2,(n 2),上述兩式相減，得an 1 an 3(an an 1),即冬冬3an an 1因此，數(shù)列an 1 an是以a2 q 4為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù) 列.所以 an 1 an 4 3n 1,即 34 2 % 4 3n 1 ,所以

6、 an 2 3n1 1.變式練習(xí)：已知數(shù)列 an滿足8 1,am 24 1(n N*).求數(shù)列 國(guó)的通 項(xiàng)公式.注：根據(jù)題設(shè)特征恰本地構(gòu)造輔助數(shù)列，利用基本數(shù)列可簡(jiǎn)捷地求出通項(xiàng)公式.四、ampanfn型數(shù)列(p為常數(shù))此類(lèi)數(shù)列可變形為 牛 且 粵，則亙 可用累加法求出，由 PnPnPnPn此求得an.例4已知數(shù)列an滿足a1,an 1 3an 2n :求為 .解：將已知遞推式兩邊同除以2n 1得4 3霽1,設(shè)bn空，故有22 222A 2n 1bn1 2 3 (bn 2), bn -23 2,從而 4 5 3n 1 2nl.注：通過(guò)變形，構(gòu)造輔助數(shù)列，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列的問(wèn)題，是我們 求解陌生的遞

7、推關(guān)系式的經(jīng)常使用方法若f (n)為n的一次函數(shù)，則an加上關(guān)于n的一次函數(shù)構(gòu)成一個(gè) 等比數(shù)列；若f(n)為n的二次函數(shù)，則為加上關(guān)于n的二次函數(shù)構(gòu) 成一個(gè)等比數(shù)列.這時(shí)我們用待定系數(shù)法來(lái)求解.例5.已知數(shù)列an滿足ai 1,當(dāng)n 2時(shí),an - an 1 2n 1,求an.2anAnB,則anbnAnB, an-bn -A(n 1) B代入已知遞推式中得：bn11111a 令2-A2-bn1 (-A 2)n (-A -B 1). 222211 .這時(shí) bn Qbn1 且 bn an 4n 6顯然，bn -31，所以 an -37 4n 6.2 n2n注：通過(guò)引入一些待定系數(shù)來(lái)轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，經(jīng)

8、過(guò)變形和比力把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列，從而使問(wèn)題得以解決.變式練習(xí)：(1)已知an滿足ai 2,ani 2加2n 1,求an.(2)已知數(shù)列小, S暗示其前n項(xiàng)和，若滿足S % n2 3n 1, 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.提示：(2)中利用anS1 n 1，把已知條件轉(zhuǎn)化成遞推式.n Sn Sni, n 2五、an型數(shù)列(A,B,C為非零常數(shù))Ban C這種類(lèi)型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù)，把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列，即可順利地轉(zhuǎn)化為ani pan q型數(shù)列.例6.已知數(shù)列an滿足a1 2,ani ,求4 .an 2時(shí)間:O二一年七月二十九日解：兩邊取倒數(shù)得1an 1工，所以工2（n 1） 11故有an 2anai222變式練習(xí)：數(shù)列劣中,an 12n 12n 1an,a1 an2,求an的通項(xiàng).an n六、 an 2Pan