第二章插值法與數(shù)值微分

1、第二章 插值法與數(shù)值微分1. 設(shè),在三處的值是很容易求得的,試以這三個點建立的二次插值多項式,并用此多項式計算的近似值,且給出誤差估計.用其中的任意兩點,構(gòu)造線性插值函數(shù),用得到的三個線性插值函數(shù),計算的近似值,并分析其結(jié)果不同的原因.解: 已知,建立二次Lagrange插值函數(shù)可得:所以.誤差,所以 利用前兩個節(jié)點建立線性插值函數(shù)可得:所以.利用后兩個節(jié)點建立線性插值可得:所以.利用前后兩個節(jié)點建立線性插值可得:所以.與的真實值比較,二次插值比線性插值效果好,利用前兩個節(jié)點的線性插值比其他兩個線性插值效果好.此說明,二次插值比線性插值效果好,內(nèi)插比外插效果好.2. 利用(2.9)式證明證明:

2、 由(2.9)式當(dāng)時,所以3. 若為互異節(jié)點,且有證明證明: 由于且和都為k次多項式,而且在k+1個不同的節(jié)點處的函數(shù)值都相同 , 所以馬上有.4. 設(shè)給出在上的數(shù)值表,用二次插值進行計算,若希望截斷誤差小于,問函數(shù)表的步長最大能取多少?解: 記插值函數(shù)為p(x),則所以 ;令,設(shè),得又的最大值為,所以有所以 .5. 用拉格朗日插值和牛頓插值找經(jīng)過點的三次插值公式.解: Lagrange插值函數(shù):牛頓插值:首先計算差商也可以利用等距節(jié)點構(gòu)造,首先計算差分可得前插公式和后插公式6. 確定一次數(shù)不高于4的多項式,使.解: 利用重節(jié)點計算差商則可構(gòu)造Hermite插值函數(shù)滿足題設(shè)條件:7. 尋找過個

3、點的次多項式,滿足條件:解: 和Lagrange插值函數(shù)的構(gòu)造類似,可將插值函數(shù)寫成其中,基函數(shù)滿足條件 (1); (2)則可由已知條件,可得;.所以可得8. 過0,1兩點構(gòu)造一個三次Hermite插值多項式,滿足條件:解: 計算重節(jié)點的差商馬上可得9. 過給定數(shù)組75 76 77 78 79 802.768 2.833 2.903 2.979 3.062 3.153(1) 作一分段線性插值函數(shù).(2) 取第二類邊界條件,作三次樣條插值多項式.(3) 用兩種插值函數(shù)分別計算的函數(shù)值.解: (1)做分段線性插值函數(shù)可得:其中, (2)把已知節(jié)點值帶入M關(guān)系式可得:由邊界條件可得,所以上面方程組變

4、為可求解方程組解得.所以可得在每個區(qū)間上的三次樣條函數(shù)的表達式:(3)當(dāng)時, ;當(dāng)時, ;10. 若給出的函數(shù)表:1.5671.5681.5691.5700.999 992 80.999 996 10.999 998 40.999 999 70.003 796 30.002 796 30.001 796 30.000 796 3263.411 25357.611 06556.690 981 255.765 59用表上的數(shù)據(jù)和任一插值公式求:(1) 用表格直接計算.(2) 用和來計算.并討論這兩個結(jié)果中誤差變化的原因.解: 利用Lagrange插值直接用tan表計算得;利用Lagrange插值計

5、算sin得;利用Lagrange插值計算cos得;最后利用sin/cos計算tan得.出現(xiàn)小除數(shù),誤差被放大.11. 求三次樣條函數(shù),已知0.25 0.30 0.39 0.45 0.530.500 0 0.547 7 0.624 5 0.670 8 0.728 0和邊界條件解: 把表中數(shù)據(jù)帶入M關(guān)系式可得由邊界條件還可得到兩個方程:聯(lián)立兩個方程組可解得: 帶入M表達式便可得所求三次樣條函數(shù).12. 稱n階方陣具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢,若(1) 試證明:具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢的方陣必可逆.(2) 證明:方程組(2.62)解存在唯一.證明: (1)設(shè)矩陣A按行嚴(yán)格對角占優(yōu),如果A奇異,則存在非零向量x使得Ax=0,寫成分量形式為令指標(biāo)使得,則因此