對磁場中雙桿模型問題的解析

1、對磁場中雙桿模型問題的解析南京市秦淮中學(xué) 汪忠兵研究兩根平行導(dǎo)體桿沿導(dǎo)軌垂直磁場方向運動是力電知識綜合運用問題，是電磁感應(yīng)部分的非常典型的習(xí)題類型，因處理這類問題涉及到力學(xué)和電學(xué)的知識點較多，綜合性較強(qiáng)，所以是學(xué)生練習(xí)的一個難點，下面就這類問題的解法舉例分析。在電磁感應(yīng)中，有三類重要的導(dǎo)軌問題：1發(fā)電式導(dǎo)軌；2電動式導(dǎo)軌；3雙動式導(dǎo)軌。導(dǎo)軌問題，不僅涉及到電磁學(xué)的基本規(guī)律，還涉及到受力分析，運動學(xué)，動量，能量等多方面的知識，以及臨界問題，極值問題。尤其是雙動式導(dǎo)軌問題要求學(xué)生要有較高的動態(tài)分析能力電磁感應(yīng)中的雙動式導(dǎo)軌問題其實已經(jīng)包含有了電動式和發(fā)電式導(dǎo)軌，由于這類問題中物理過程比較復(fù)雜，狀態(tài)

2、變化過程中變量比較多，關(guān)鍵是能抓住狀態(tài)變化過程中變量“變”的特點和規(guī)律，從而確定最終的穩(wěn)定狀態(tài)是解題的關(guān)鍵，求解時注意從動量、能量的觀點出發(fā)，運用相應(yīng)的規(guī)律進(jìn)行分析和解答。一、在豎直導(dǎo)軌上的“雙桿滑動”問題1.等間距型如圖1所示，豎直放置的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌置于垂直導(dǎo)軌向里的勻強(qiáng)磁場中，兩根質(zhì)量相同的金屬棒a和b和導(dǎo)軌緊密接觸且可自由滑動，先固定a，釋放b，當(dāng)b速度達(dá)到10m/s時，再釋放a，經(jīng)1s時間a的速度達(dá)到12m/s，則：A、 當(dāng)va=12m/s時，vb=18m/sB、當(dāng)va=12m/s時，vb=22m/sC、若導(dǎo)軌很長，它們最終速度必相同D、它們最終速度不相同，但速度差恒定【解析】因

3、先釋放b，后釋放a，所以a、b一開始速度是不相等的，而且b的速度要大于a的速度，這就使a、b和導(dǎo)軌所圍的線框面積增大，使穿過這個線圈的磁通量發(fā)生變化，使線圈中有感應(yīng)電流產(chǎn)生，利用楞次定律和安培定則判斷所圍線框中的感應(yīng)電流的方向如圖所示。再用左手定則判斷兩桿所受的安培力，對兩桿進(jìn)行受力分析如圖1。開始兩者的速度都增大，因安培力作用使a的速度增大的快，b的速度增大的慢，線圈所圍的面積越來越小，在線圈中產(chǎn)生了感應(yīng)電流；當(dāng)二者的速度相等時，沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生，此時的安培力也為零，所以最終它們以相同的速度都在重力作用下向下做加速度為g的勻加速直線運動。在釋放a后的1s內(nèi)對a、b使用動量定理，這里安培力是個

4、變力，但兩桿所受安培力總是大小相等、方向相反的，設(shè)在1s內(nèi)它的沖量大小都為I，選向下的方向為正方向。當(dāng)棒先向下運動時，在和以及導(dǎo)軌所組成的閉合回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。釋放棒后，經(jīng)過時間t，分別以和為研究對象，根據(jù)動量定理，則有： 對a有：( mg + I ) · t = m va0,對b有：( mg I ) · t = m vbm vb0聯(lián)立二式解得：vb = 18 m/s，正確答案為：A、C。在、棒向下運動的過程中，棒產(chǎn)生的加速度，棒產(chǎn)生的加速度。當(dāng)棒的速度與棒接近時，閉合回路中的逐漸減小，感應(yīng)電流也逐漸減小，則安培

5、力也逐漸減小。最后，兩棒以共同的速度向下做加速度為g的勻加速運動。 2.不等間距型 圖中和為在同一豎直平面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌所在的平面(紙面)向里。導(dǎo)軌的段與段是豎直的距離為小，段與段也是豎直的，距離為。與為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為和，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸。兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為。F為作用于金屬桿上的豎直向上的恒力。已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。(04全國2)【解析】設(shè)桿向上運動的速度為，因桿的運動，兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少，從

6、而磁通量也減少。由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢的大小 回路中的電流 電流沿順時針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿的安培力為 方向向上，作用于桿的安培力 方向向下。當(dāng)桿作勻速運動時，根據(jù)牛頓第二定律有 解以上各式，得 作用于兩桿的重力的功率的大小 電阻上的熱功率 由、式，可得二、在水平導(dǎo)軌上的“雙桿滑動”問題一、等間距水平導(dǎo)軌，無水平外力作用（安培力除外）夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為l，導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖2所示，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余電阻不計，整個導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)

7、強(qiáng)度為B，設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦的滑行，開始時棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0, 若兩導(dǎo)體棒在運動中始終不接觸，求：1、運動中產(chǎn)生焦耳熱最多是多少？2、當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的加速度是多少？【解析】ab棒向cd棒運動時，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積變小，穿過它的磁通量也變小，在回路中產(chǎn)生了感應(yīng)電流，用楞次定律和安培定則判斷其方向如圖3所示，又由左手定則可判斷ab棒受到的與運動方向相反的安培力作用，作減速運動，cd棒受到安培力作用作加速運動，在ab棒速度大于cd棒的速度時，兩棒間的距離總會減小，回路中總有感應(yīng)電流，ab會繼續(xù)減速，cd會繼續(xù)加速，當(dāng)兩棒的速度相等時

8、，回路的面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒此時不受安培力作用，以相同的速度向右作勻速直線運動。1、從初始至兩棒達(dá)到速度相同的過程中，兩棒組成的系統(tǒng)受外力之和為零，系統(tǒng)的總動量守恒，有：mv0 = 2mv，所以最終作勻速直線運動的速度為：v = v0 /2兩棒的速度達(dá)到相等前，兩棒機(jī)械能不斷轉(zhuǎn)化為回路的電能，最終電能又轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。兩棒速度相等后，兩棒的機(jī)械能不變化，根據(jù)能量守恒定律得整個過程中產(chǎn)生的焦耳最多時是兩棒速度相等時，而且最多的焦耳熱為兩棒此時減小的機(jī)械能：2、設(shè)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的速度為，又由動量守恒定律得：（1） 因ab和cd切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電

9、動勢方向相反，所以此時回路中的感應(yīng)電動勢為：（2）由閉合電路歐姆定律得此時通過兩棒的感應(yīng)電流為：（3）此時cd棒所受的安培力為：F = BI l ，聯(lián)立解得加速度為：二、不等間距水平導(dǎo)軌，無水平外力作用（安培力除外）如圖所示，光滑導(dǎo)軌、等高平行放置，間寬度為間寬度的3倍，導(dǎo)軌右側(cè)水平且處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，左側(cè)呈弧形升高。、是質(zhì)量均為的金屬棒，現(xiàn)讓從離水平軌道高處由靜止下滑，設(shè)導(dǎo)軌足夠長。試求： (1)、棒的最終速度；(2)全過程中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱。 【解析】下滑進(jìn)入磁場后切割磁感線，在電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，、各受不同的磁場力作用而分別作變減速、變加速運動，電路中感應(yīng)電流逐漸減小，當(dāng)感應(yīng)

10、電流為零時，、不再受磁場力作用，各自以不同的速度勻速滑動。(1)自由下滑，機(jī)械能守恒： 由于、串聯(lián)在同一電路中，任何時刻通過的電流總相等，金屬棒有效長度，故它們的磁場力為： 在磁場力作用下，、各作變速運動，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢方向相反，當(dāng)時，電路中感應(yīng)電流為零()，安培力為零，、運動趨于穩(wěn)定，此時有：所以  、受安培力作用，動量均發(fā)生變化，由動量定理得：    聯(lián)立以上各式解得：，(2)根據(jù)系統(tǒng)的總能量守恒可得：三、等間距水平導(dǎo)軌，受水平外力作用（安培力除外）兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平面上，磁感強(qiáng)度的勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計。導(dǎo)軌

11、間的距離，兩根質(zhì)量均為的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為。在時刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行，大小為0.20N的恒力作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動。經(jīng)過，金屬桿甲的加速度為，求此時兩金屬桿的速度各為多少？【解析】設(shè)任一時刻兩金屬桿甲、乙之間的距離為，速度分別為和，經(jīng)過很短時間，桿甲移動距離，桿乙移動距離，回路面積改變由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢：回路中的電流：桿甲的運動方程：由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等、方向相反，所以兩桿的動量變化（時為0）等于外力F的沖量：聯(lián)立以上各式解得代入數(shù)據(jù)得8.15m/s&

12、#160; 1.85m/s三、繩連的“雙桿滑動”問題兩金屬桿ab和cd長均為l ，電阻均為R，質(zhì)量分別為M和m，M>m，用兩根質(zhì)量和電阻均可忽略的不可伸長的柔軟導(dǎo)線將它們連成閉合回路，并懸掛在水平光滑不導(dǎo)電的圓棒兩側(cè)，兩金屬桿處在水平位置，如圖4所示，整個裝置處在一與回路平面相垂直的勻強(qiáng)磁場中，磁感強(qiáng)度為B，若金屬桿ab正好勻速向下運動，求運動速度?！窘馕觥吭O(shè)磁場垂直紙面向里，ab桿勻速向下運動時，cd桿勻速向上運動，這時兩桿切割磁感線運動產(chǎn)生同方向的感應(yīng)電動勢和電流，兩棒都受到與運動方向相反的安培力，如圖5所示，速度越大，電流越大，安培力也越大，最后ab和cd達(dá)到力的平衡時作勻速直線運

13、動?；芈分械母袘?yīng)電動勢：回路中的電流為：ab受安培力向上，cd受安培力向下，大小都為：設(shè)軟導(dǎo)線對兩桿的拉力為T，由力的平衡條件：對ab有：T + F = Mg 對cd有：T = mg F所以有：，解得： 小結(jié)：從以上的分析可以看出處理“雙桿滑動”問題要注意以下幾點：1、在分析雙桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢時，要注意是同向還是反向，可以根據(jù)切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電流的方向來確定，若同向，回路的電動勢是二者相加，反之二者相減。一般地，兩桿向同一方向移動切割磁感線運動時，兩桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢是方向相反的，向反方向移動切割磁感線時，兩桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢是方向相同的，線圈中的感應(yīng)電動勢是“同向減，反向

14、加”。2、計算回路的電流時，用閉合電路歐姆定律時，電動勢是回路的電動勢，不是一根導(dǎo)體中的電動勢，電阻是回路的電阻，而不是一根導(dǎo)體的電阻。3、要對導(dǎo)體桿進(jìn)行兩種分析，一是正確的受力分析，根據(jù)楞次定律可知安培力總是阻礙導(dǎo)體桿的相對運動的。也可先判斷出感應(yīng)電流方向，再用左手定則判斷安培力的方向。二是正確的進(jìn)行運動情況分析。這兩步是正確選用物理規(guī)律基礎(chǔ)。4、合理選用物理規(guī)律，包括力的平衡條件、動能定理、動量定理、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、歐姆定律、焦耳定律、楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律等。處理這類問題可以利用力的觀點進(jìn)行分析，也可以利用能的觀點進(jìn)行分析，還可以利用動量的觀點進(jìn)行分析。在利用能的觀點進(jìn)行分析時，要注意導(dǎo)體克服安培力作功的過程是把其它形