自動(dòng)控制原理電子教學(xué)案

1、第一章自動(dòng)控制原理的基本概念主要容：?自動(dòng)控制的基本知識(shí)?開環(huán)控制與閉環(huán)控制?自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類與組成?自動(dòng)控制理論的發(fā)展 1.1 引言控制觀念生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)踐中，要求設(shè)備或裝置或生產(chǎn)過程按照人們所期望的規(guī)律運(yùn)行或工作。同時(shí)，干擾使實(shí)際工作狀態(tài)偏離所期望的狀態(tài)。例如：衛(wèi)星運(yùn)行軌道，導(dǎo)彈飛行軌道，加熱爐出口溫度，電機(jī)轉(zhuǎn)速等控制控制：為了滿足預(yù)期要求所進(jìn)行的操作或調(diào)整的過程。控制任務(wù)可由人工控制和自動(dòng)控制來完成。 1.2 1.2自動(dòng)控制的基本知識(shí)1.2.1 自動(dòng)控制問題的提出一個(gè)簡單的水箱液面，因生產(chǎn)和生活需要，希望液面高度h維持恒定。當(dāng)水的流入量與流出量平衡時(shí)，水箱的液面高度維持在預(yù)定的高度上。當(dāng)

2、水的流出量增大或流入量減小，平衡則被破壞，液面的高度不能自然地維 持恒定所謂控制就是強(qiáng)制性地改變某些物理量（如上例中的進(jìn)水量），而使另外某些特定的物理量（如液面高度h）維持在某種特定的標(biāo)準(zhǔn)上。 人工控制的例子。這種人為地強(qiáng)制性地改變進(jìn)水量，而使液面高度維持恒定的過程，即是人工控制過程。1.2.2 自動(dòng)控制的定義與基本職能元件1 .自動(dòng)控制的定義自動(dòng)控制就是在沒有人直接參與的情況下，利用控制器使被控對(duì)象（或過程）的某些物理量（或狀態(tài)）自動(dòng)地按預(yù)先給定的規(guī)律去運(yùn)行。當(dāng)出水與進(jìn)水的平衡被破壞時(shí)，水箱水位下降（或上升），出現(xiàn)偏差。這偏差 由浮子檢測(cè)出來，自動(dòng)控制器在偏差的作用下，控制閥門開大（或關(guān)小）

3、，對(duì)偏差 進(jìn)行修正，從而保持液面高度不變。2 .自動(dòng)控制的基本職能元件自動(dòng)控制的實(shí)現(xiàn)，實(shí)際上是由自動(dòng)控制裝置來代替人的基本功能，從而實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制的。畫出以上人工控制與動(dòng)控制的功能方框圖進(jìn)行對(duì)照眼睛i咨干肌慶I、手=> 執(zhí)行元件大腦一白動(dòng)抻制黑希望液位 一.控制器一T比較兩圖可以看出，自動(dòng)控制實(shí)現(xiàn)人工控制的功能，存在必不可少的三種代 替人的職能的基本元件：?測(cè)量元件與變送器（代替眼睛）? 自動(dòng)控制器（代替大腦）? 執(zhí)行元件（代替肌肉、手）這些基本元件與被控對(duì)象相連接，一起構(gòu)成一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)。下圖是典型控制系統(tǒng)方框圖。參考輸入輸出擾動(dòng)輸入執(zhí)行元件測(cè)量變.送元件1.2.3自動(dòng)控制中的一些術(shù)語

4、與方框圖1 .常用術(shù)語控制對(duì)象控制器系統(tǒng)系統(tǒng)輸出操作量參考輸入擾動(dòng)特性2 .系統(tǒng)方框圖將系統(tǒng)中各個(gè)部分都用一個(gè)方框來表示，并注上文字或代號(hào)，根據(jù)各方框之間的信息傳遞關(guān)系，用有向線段把它們依次連接起來，并標(biāo)明相應(yīng)的信息。§1.3自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本控制方式控制方式：開環(huán)控制和閉環(huán)控制1.3.1 開環(huán)控制定義：控制量與被控量之間只有順向作用而沒有反向聯(lián)系。開環(huán)控制系統(tǒng)的典型方框圖如圖所示。控制量 1被控量*控制器被控對(duì)象 .37 / 103例如：交通指揮紅綠燈，自動(dòng)洗衣機(jī)，自動(dòng)售貨機(jī)1.按給定控制下圖是一個(gè)直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)。由卦工作原理:以上的控制過程，用方框圖簡單直觀地表示出來。滑

5、臂位置功率放大器一電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速2.按擾動(dòng)控制圖示是一個(gè)按擾動(dòng)控制的直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)功率放大卷電壓放大器控制過程可用方框圖表示成如圖示的形式。負(fù)載變化給定不變電位器T功率放大器轉(zhuǎn)速-把負(fù)載變化視為外部擾動(dòng)輸入，對(duì)輸出轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的影響與控制補(bǔ)償作用，分別沿箭頭的方向從輸入端傳送到輸出端， 作用的路徑也是單向的，不閉合的。有 時(shí)我們稱按擾動(dòng)控制為順饋控制。開環(huán)控制的特點(diǎn)：? 結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)整方便、成本低。? 給定一個(gè)輸入，有相應(yīng)的一個(gè)輸出。? 作用信號(hào)是單方向傳遞的，形成開環(huán)。輸出不影響輸入? 若系統(tǒng)有外界擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)輸出量不可能有準(zhǔn)確的數(shù)值，即開環(huán)控制精度不高，或抗干擾能力差1.3.2閉環(huán)控制定義

6、：凡是系統(tǒng)輸出信號(hào)對(duì)控制作用有直接影響的系統(tǒng)，都叫做閉環(huán)控制系統(tǒng)。常用術(shù)語：反饋控制系統(tǒng) 閉合 閉環(huán)控制系統(tǒng)反饋控制原理：被控變量作為反饋信號(hào)，與希望值比較得到偏差輸入；根據(jù)輸入偏差大小，調(diào)整控制信號(hào)；控制信號(hào)通過執(zhí)行器的操作消除偏差， 實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。反饋：輸出量經(jīng)測(cè)量后的信號(hào)回送到輸入端。反饋連接方式有負(fù)反饋和正反饋。負(fù)反饋：反饋信號(hào)的極性與輸入信號(hào)相反，使被控對(duì)象的輸出趨向希望值。直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制的例子電位器給定位置負(fù)載 擾動(dòng)功率心雨/知|答速 放大器H電動(dòng)機(jī)L測(cè)速發(fā)動(dòng)機(jī)閉環(huán)控制的特點(diǎn)：?由負(fù)反饋構(gòu)成閉環(huán)，利用偏差信號(hào)進(jìn)行控制；?抗干擾能力強(qiáng)，精度高；?存在穩(wěn)定性問題。系統(tǒng)元件參數(shù)配

7、合不當(dāng)，容易產(chǎn)生振蕩，使系統(tǒng)不能正常工作；?自動(dòng)控制理論主要研究閉環(huán)系統(tǒng)。閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型方框圖如圖所示。狗幻 控制器 一A被控對(duì)象 出、|反饋元件卜一、開環(huán)與閉環(huán)控制系統(tǒng)的比較二、復(fù)合控制方法常見的方式有以下兩種：1.附加給定輸入補(bǔ)償輸入補(bǔ)償裝置口控制器輸出被控對(duì)象I-飾入補(bǔ)償裝置控制器擾動(dòng)輸出*被控對(duì)象2.附加擾動(dòng)輸入補(bǔ)償§1-4自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類基本組成1.4.1按給定信號(hào)的特征劃分1 .恒值控制系統(tǒng)：?系統(tǒng)任務(wù)：c(t)= r(t)r(t)常數(shù)?分析設(shè)計(jì)重點(diǎn)：研究干擾對(duì)被控對(duì)象的影響，克服擾動(dòng)液位控制系統(tǒng)，直流電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)等等。2 .隨動(dòng)控制系統(tǒng)：?系統(tǒng)任務(wù)：c(t)=

8、r(t)r(t)隨機(jī)變化?分析設(shè)計(jì)重點(diǎn)：系統(tǒng)跟蹤的快速性，準(zhǔn)確性跟蹤衛(wèi)星的雷達(dá)天線系統(tǒng)3 .程序控制系統(tǒng)：?系統(tǒng)任務(wù)：c(t)= r(t)r(t)按預(yù)先規(guī)定時(shí)間函數(shù)變化?分析設(shè)計(jì)重點(diǎn)：輸出按一定的規(guī)律變化機(jī)械加工中的程序控制機(jī)床等等。1.4.2按系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述劃分1 .線性系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)各元件輸入輸出特性是線性特性，系統(tǒng)的狀態(tài)和性能可以用線性微分(或差分)方程來描述時(shí)，則稱這種系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。2 .非線性系統(tǒng)系統(tǒng)中只要存在一個(gè)非線性特性的元件， 系統(tǒng)就由非線性方程來描述，這種系統(tǒng) 稱為非線性系統(tǒng)。1.4.3按信號(hào)傳遞的連續(xù)性劃分1 .連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)中各元件的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都是時(shí)間

9、的連續(xù)函數(shù)。這類系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用微分方程來描述的。連續(xù)系統(tǒng)中各元件傳輸?shù)男畔⒃诠こ躺戏Q為模擬量，其輸入輸出一般用r(t)和c(t)表示。2 .離散系統(tǒng)控制系統(tǒng)中只要有一處的信號(hào)是脈沖序列或數(shù)碼時(shí)，該系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的狀態(tài)和性能一般用差分方程來描述。1.4.4按系統(tǒng)的輸入與輸出信號(hào)的數(shù)量劃分1 .單變量系統(tǒng)（SISQ2 . 多變量系統(tǒng)（MIMO1.4.5自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本組成在形形色色的自動(dòng)控制系統(tǒng)中，反饋控制是最基本的控制方式之一。一個(gè)典型的反饋控制系統(tǒng)總是由控制對(duì)象和各種結(jié)構(gòu)不同的職能元件組成的。除控制對(duì)象外，其他各部分可統(tǒng)稱為控制裝置。每一部分各司其職，共同完成控制任務(wù)。下面給

10、出這些職能元件的種類和各自的職能。給定 元件聯(lián)正件串校元放大元件執(zhí)行 元件反饋校正元件測(cè)量變送兀件給定元件：其職能是給出與期望的輸出相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸入量，是一類產(chǎn)生系統(tǒng)控制指令的裝置。測(cè)量元件：其職能是檢測(cè)被控量，如果測(cè)出的物理量屬于非電量，大多情況下 要把它轉(zhuǎn)換成電量，以便利用電的手段加以處理。比較元件：其職能是把測(cè)量元件檢測(cè)到的實(shí)際輸出值與給定元件給出的輸入 值進(jìn)行比較，求出它們之間的偏差。放大元件：其職能是將過于微弱的偏差信號(hào)加以放大， 以足夠的功率來推動(dòng) 執(zhí)行機(jī)構(gòu)或被控對(duì)象。執(zhí)行元件：其職能是直接推動(dòng)被控對(duì)象，使其被控量發(fā)生變化。校正元件：為改善或提高系統(tǒng)的性能，在系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上附加

11、參數(shù)可靈活調(diào)整的元件。工程上稱為調(diào)節(jié)器。常用串聯(lián)或反饋的方式連接在系統(tǒng)中。§ 1.5 控制系統(tǒng)的要求和分析設(shè)計(jì)1.5.1 對(duì)系統(tǒng)的要求各類控制系統(tǒng)為達(dá)到理想的控制目的，必須具備以下兩個(gè)方面的性能（基本要求）：1 .使系統(tǒng)的輸出快速準(zhǔn)確地按輸入信號(hào)要求的期望輸出值變化。2 .使系統(tǒng)的輸出盡量不受任何擾動(dòng)的影響對(duì)自控系統(tǒng)性能的要求一般可歸納為三大性能指標(biāo)：(1) 穩(wěn)定性：要求系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定且有一定的穩(wěn)定裕量。(2) 瞬態(tài)質(zhì)量：要求系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)過程具有一定的快速性和變化的平穩(wěn)性。(3)穩(wěn)態(tài)誤差：要求系統(tǒng)最終的響應(yīng)準(zhǔn)確度，限制在工程允許的圍之，是系統(tǒng)控制精度的包量1.5.2控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)

12、1 .系統(tǒng)分析系統(tǒng)給定，在規(guī)定的工作條件下，對(duì)它進(jìn)行分析研究，其中包括穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能分析，看是否滿足要求，以與分析某個(gè)參數(shù)變化時(shí)對(duì)上述性能指標(biāo)的影響，決定如何合理地選取等。2 .系統(tǒng)的設(shè)計(jì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目的，是要尋找一個(gè)能夠?qū)崿F(xiàn)所要求性能的自動(dòng)控制系統(tǒng)。 因此，在 系統(tǒng)應(yīng)完成的任務(wù)和應(yīng)具備的性能已知的條件下， 根據(jù)被控對(duì)象的特點(diǎn)，構(gòu)造出 適合的控制器是設(shè)計(jì)的主要任務(wù)。應(yīng)進(jìn)行的步驟如下：(1)熟悉對(duì)系統(tǒng)性能的要求。(2)根據(jù)要求的性能指標(biāo)綜合確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。(3)若控制對(duì)象是已知的，根據(jù)確定的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和已知部分的數(shù)學(xué)模型，求得控制器的數(shù)模和控制規(guī)律。(4)按綜合確定的數(shù)模進(jìn)行系統(tǒng)分析，驗(yàn)

13、證它在各種信號(hào)作用下是否滿足要求若不滿足，與時(shí)修正。(5)樣機(jī)設(shè)計(jì)制造和試驗(yàn)，驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果。§ 1-6自動(dòng)控制理論的發(fā)展概況三個(gè)時(shí)期：?早期的自動(dòng)控制工作?經(jīng)典控制理論?現(xiàn)代控制理論作業(yè)：1.2 1.3學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)?通過示例介紹了控制系統(tǒng)的基本概念1 .反饋控制原理2 .控制系統(tǒng)的基本組成3 .控制系統(tǒng)的基本類型?給出控制系統(tǒng)的基本要求1 .穩(wěn)2 .準(zhǔn)3 .快第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要容：?數(shù)學(xué)模型的概念、建模原則?線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖?信號(hào)流圖與梅遜公式§ 2-1 引言什么是數(shù)學(xué)模型？所謂的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)部各物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式2.

14、1.1數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)1.相似性2. 簡化性和準(zhǔn)確性3. 動(dòng)態(tài)模型4. 靜態(tài)模型?靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型一、靜態(tài)模型1 .不含時(shí)間變量t的代數(shù)方程2 .平衡狀態(tài)下各變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系3 .變化量不隨時(shí)間而變化二、動(dòng)態(tài)模型1 .表達(dá)式是含時(shí)間變量t的微分方程2 .描述了系統(tǒng)的非平衡過程3 .變量隨時(shí)間而變化4 .靜態(tài)模型包含在靜態(tài)模型中2.1.2數(shù)學(xué)模型的類型1 .微分方程2 .傳遞函數(shù)3 .狀態(tài)空間表達(dá)式2.1.3數(shù)學(xué)模型的建模原則數(shù)學(xué)模型的建立方法：1 .分析法（微分方程和代數(shù)方程）2 .實(shí)驗(yàn)法數(shù)學(xué)模型的建模原則：1 .建模之前，要全面了解系統(tǒng)的自然特征和運(yùn)動(dòng)機(jī)理，明確研究目的和準(zhǔn)確性要 求,選擇合適

15、的分析方法。2 .按照所選分析法，確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的形式。3 .根據(jù)允許的誤差圍，進(jìn)行準(zhǔn)確性考慮然后建立盡量簡化的、合理的數(shù)學(xué)模§2.2系統(tǒng)微分方程的建立2.2.1 列寫微分方程式的一般步驟1 .分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量與部中間變量，搞清 各變量之間的關(guān)系。2 .做出合乎實(shí)際的假設(shè)，以便忽略一些次要因素，使問題簡化。3 .根據(jù)支配系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。4 .列寫各中間變量與其他變量的因果式。5 .聯(lián)立上述方程，消去中間變量。6 .將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)形。2.2.2機(jī)械系統(tǒng)舉例例2-1彈簧-質(zhì)量-阻尼器用聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入

16、量，以質(zhì)量 的位移y(t)為輸出量的運(yùn)動(dòng)方程式。解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：1 .確定輸入量為F(t),輸出量為y(t),作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t),均作為中間變量2 .設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。3 .按牛頓第二定律列寫原始方程，即F F(t)Fk(t) Ff(t)2d y(t)m2dt4 .寫中間變量與輸出量的關(guān)系式Fk(t)k(t)Ff(t)f dy(t)dt5 .將以上輔助方程式代入原始方程，消去中間變量，得d2y(t)dt2ky(t) f 邛 F(t)dt6 .整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形mQn 上皿 y(t) 1k dt2

17、k dtk令Tm2 = n/k, Tf = f/k ,則方程化為t2 d2y(t)m dt2Tf 誓 y(t) 1F2.2.3電路系統(tǒng)舉例例2-2電阻一電感一電容用聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以u(píng)r(t)為輸入量,uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。L-R-C網(wǎng)絡(luò) di u r L i R u C dti C UcL C UcR C Uc UcR11Uc Uc Uc UrLLCLC2階線性定常微分方程2.2.4實(shí)際物理系統(tǒng)線性微分方程的一般特征觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以卜形式：a0dnc(t)dtndn1c(t)dtn 1an 1dc(t)dta

18、nc(t)bodmr(t)b1dm 1r(t)dtm 1dr(t) 1 dtbmr(t)式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。列寫微分方程式時(shí)，一般按以下幾點(diǎn)來寫：1 .輸出量與其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)寫在方程左端，輸入量寫在右端；2 .左端的階次比右端的高。這是因?yàn)閷?shí)際物理系統(tǒng)均有慣性或儲(chǔ)能元件；3 .方程式兩端的各項(xiàng)的量綱應(yīng)一致。利用這點(diǎn)，可以檢查微分方程式的正確 與否。4.方程的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)，是由物理系統(tǒng)自身參數(shù)決定的。§2.3 非線性數(shù)學(xué)模型線性化3.2.1線性化意義和常用方法?為什么要線性化？1 .實(shí)際對(duì)象總存在一定的非線性2 .線性系統(tǒng)具有較完整的理論?線性化條

19、件1 .實(shí)際工作情況在某平衡點(diǎn)附近(靜態(tài)工作點(diǎn))2 .變量變化是小圍的3 .函數(shù)值與各階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，至少在運(yùn)行圍如此。滿足上述條件，則工作點(diǎn)附近小圍各變量關(guān)系近似線性?線性化方法1 .泰勒級(jí)數(shù)展開2 .取線性部分?線性化定義：是指將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，忽略掉高階無窮小量與余項(xiàng)，得到近似的線性化方程，來替代原來的非線性函數(shù)。假如元件的輸出與輸入之間關(guān)系x2=f(x 1)的曲線如圖，元件的工作點(diǎn)為(xq X2o) 0將非線性函數(shù)x2= f(x1)在工作點(diǎn)(x10, x20)附近展開成泰勒級(jí)數(shù):X2f (xi)f (xio)x10(x1x10)1 d2f22! dx2x10(x1x1

20、0 )10當(dāng)(x1x10)為微小增量時(shí)，可略去二階以上各項(xiàng)，寫成:x10)df , x2 f (x10)x10(x1dx1其中為比作f |得10, X20)處的斜率，即此時(shí)以工作點(diǎn)處的切線代替曲線，得到變量在工作點(diǎn)的增量方程，經(jīng)上述處理后，輸出與輸入之間就成為線性關(guān)系。例已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動(dòng)線性化方程。y(x) Eocosx(t)解：在工作點(diǎn)(X0,yo)處展開泰勒級(jí)數(shù)12y(x) y(xo) y(xo)(x %) 2! y (xo)(x x。)取一次近似，且令y(x) y(x) y(x。)Eosin x。(x x。) 既有 y E0 sin x0 x§ 2-4線性

21、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一.復(fù)習(xí)拉氏變換與其性質(zhì)1 .定義 X(s) 0x(t)estdt記 X(s) = Lx(t)2 .進(jìn)行拉氏變換的條件(1) t < 0, x(t)=0;當(dāng) t 3 0, x(t)是分段連續(xù);(2) 當(dāng)t充分大后滿足不等式| x(t )| £ Meet, M c是常數(shù)(3) 質(zhì)和定理(1)線性性質(zhì)L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s)(2)微分定理dxdtsX(s) x(0)L 2s X(s) sx(0) x(0)dt若x(0) x。，則：L 幽 sX(s) dt2L 上裂s2X(s)dt2L dsnX(s)dt(3)積分定律11

22、(八L x(t)dt -X(s) -x( 1)(0) ss若x-1(0)= x- 2(0)= =0 , x(t)各重積分在t=0的值為0時(shí),1L x t dt X s s,，1、，Lx t dt X ss1L x t dt X s s n(4)終值定理若x(t)與其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原點(diǎn)為單極點(diǎn)外，在j軸上與其右半平面應(yīng)沒有其它極點(diǎn)，則函數(shù) x(t)的終值為：lim x(t) lim sX(s) ts 0(5)初值定理如果x(t)與其一階導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，并且sim sX (s)在，則x(0 ) lim sX(s) s(6)延遲定理L x(t -

23、 t)Xlt - t )=et-sX (s)L e-atx (t) = X(s+ a)尺度變換aX(as)(8)卷積定理Xi(s)X2(s)t0x1(t)x2()d4.舉例例2-3求單位階躍函數(shù)x(t)=1( t)的拉氏變換。解:X(s) Lx(t)st., e dt1 ste s例2-4求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變換解:X(s) Lx(t)0te stdtt ste s1 st I,-e dt s例2-5求正弦函數(shù)x(t)=sin的拉氏變換解:sin tej te2jj t j te e stX s e dt02j1112j s j s j22s例2-6求函數(shù)x(t)的拉氏變換x(t)

24、0 tt0t 0,tt0解：x(t) = xi(t) + X2(t)AR(t)- A兇(t -t0 )A A t0s At0s .X(s) e (1 e )s ss例2-7求e at的拉氏變換解:X eate stdt0e(as)t0X(s) L1(t)eat例2-8求e0.2 t的拉氏變換。解:例2-9L x(t)解:x(0),0.2tL elim sX(s) sx() sX(s)55s 1求 x(0) , x(¥)0. s .lim 1s s alim二.復(fù)習(xí)拉氏反變換1 .定義由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)x(t)11 jstx L X 27 jX(s)edt (t 0)2.求拉氏反

25、變換的方法根據(jù)定義，用留數(shù)定理計(jì)算上式的積分值查表法部分分式法一般，象函數(shù)X(s)是復(fù)變量s的有理代數(shù)公式，即X(s)B(s)A(s). m . m 1b°sbisbms bman 1s an通常m < n, ai ,，an； bo ,，bm均為實(shí)數(shù)。首先將X(s)的分母因式分解，則有b0sm hsm1bmiS bm(s s)(s S2) (s Sn)式中Si ,，Sn是A(S) = 0的根，稱為X(S)的極點(diǎn)。分兩種情況討論:A(s) = 0無重根。X(s) (scs)c2(S S2)(SnCnaSn)i 1 (S S)式中ci是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點(diǎn)Si處的留數(shù)。ci

26、 lim(s s)X(s)S Sinnx(t) L1X(砌 Lii1心 ii. A(s) = 0有重根。設(shè)有r個(gè)重根s1 ,則X(s)B(s)r(S s) (S Sr 1) (S Sn)nGCr 1C1a(s G)r (s S)r 1 (s S) i r 1(S S)Mmj!S4ds(j)(sS)rX(s)j = 0,1,，r-1=r+1,cu lim (s s)X(s)，n s six(t) L1X(s)Cr, r 1Cr 1 j 2,s1t1tc2t C1 e1 (r 1)! (r 2)!n&tCiei r 13.舉例例 2-10X(s)4s求原函數(shù)x(t)。解：s2 + 4s +

27、 3 = (s + 3)( s + 1)X(s)s 2(s 3)(s 1)c1C2s 3 s 1c1 lim (s 3)X (s) s 3.slim 一C2sim1(s 1)X(s)lim壬例2-11求x(t) ；(e3tet)X(s)3_2s 2 的原函數(shù)x(t)。解：s2+ 2 s+ 2 = ( s+1)2 + 1 = ( s+1 + j)( s +1 - j)X(s)C1s 1 jC2s 1 jC1slimX(s)4 j2jC2slimX(s)4 j 2jx(t)1L1 X(s)t .e cost44sintje14 j 2j例2-12求X(s)s(ss 21)2(s3)的原函數(shù)x(t)

28、。X(s) - (sC2 1)2Cls 1C3sC4s 3c4lims 3s 3 X(s)11239 / 103C3lim sX(s) 2s 0345 / 1032C2limi s 1 X (s)Cilim s 1 2 X (s) s 1 dsx(t)1et(t 2) 2 e3t233122.4.1. 線性常系數(shù)微分方程的求解用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：1 .對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。2 .求解代數(shù)方程，得到微分方程在s域的解。3 .求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。,2,，、，一、dyUjt) 3-dy-) 2y(t) 5 1(t)例2-13求解方程：dt dt初始條件：y(0

29、)= -1,yq0) =2解：兩邊取拉氏變換Y(s)=5/ s52)2一 .sY(s) -sy (0) -y Q0) + 3 sY(s) - 3y(0) +22L25/s s 2 3 s s 5 s sY(s) 2 -2 s2 3s 2s(s2 3s 2) s(s 1)(s5/253/2y(t) = 5/2-5 e t +3/2 e2t例2-14圖2-5所示的RC電路，當(dāng)開關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓 uc(t)的變化規(guī)律。解：設(shè)輸入量為Ur(t),輸出量為Uc(t)o寫出電路運(yùn)動(dòng)方程Reduce Uc(t) Ur(t)電容初始電壓為uc(0),對(duì)方程兩端取拉氏變換RCsUc(s) RCuc

30、(0) Uc(s) Ur(s)Uc(s)1RCs 1Ur(s)RCRCs 1Uc(0)當(dāng)輸入為階躍電壓ur (t) = u0 1(t)時(shí)，得Uc(s)1 RCs RCs 1uc 0cRCRCs 1一t一Uc(t)U0(1eRC)Uc 0 e RC式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓Ur(t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài)Uc(0) =0時(shí) 的響應(yīng)，故稱零狀態(tài)響應(yīng)；第二項(xiàng)是由電容初始電壓Uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓Ur (t) = 0時(shí)的響 應(yīng)，故稱零輸入響應(yīng)。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將初始電壓 uc(0)視為一個(gè)輸入作用，則可在復(fù)數(shù)域分別研究RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)。若令 Uc(0) = 0

31、，則有Uc(s)RCs 1Ur(S)當(dāng)輸入電壓Ur(t)給定時(shí)，其拉氏變換Ur(S)亦是確定的。于是，輸出電壓便完全由1/( RCj+1)所確定。這時(shí)，上式也可寫成Uc(s)1Ur(s) RCs 1上式表明，輸出電壓Uc(s)與輸入電壓Ur(s)之比，是s的一個(gè)有理分式函數(shù)，它只與電路的結(jié)構(gòu)形式與其參數(shù)有關(guān)，故可以作為在復(fù)數(shù)域描述RC電路輸入-輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，稱為傳遞函數(shù)，記作 «s)。G(s)Uc(s)1Ur(s) RCs 1Uc(s) = G(s) Ur(s)%)2.4.2傳遞函數(shù)的定義定義：在線性(或線性化)定常系統(tǒng)中，初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出的拉氏變換 與輸入的拉氏變換之

32、比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。dnc(t) 0 dtn設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為n 1d c(t)dc(t)aln 1an 1anc(t)dtdt,dmr(t) , dm1r(t), dr(t).b0t b1tmbm1k bmr(t)式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。在零初始條件下，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉氏變換得(a0Sn+ a1Sn,+? + an1S + an ) C(S) =(b0sm+ b1Sm-1+? + bm1s + b m) R；s)求出傳遞函數(shù)為mm 1b0sbiSbm isbmnn 1a0sa1san 1san傳遞函數(shù)的實(shí)際意義 零初始條件有兩方面的含義：一是輸入在 t =0以

33、后才作用于系統(tǒng)，即輸入與其各階導(dǎo)數(shù)在t =0的值為零；二是系統(tǒng)在輸入作用前是相對(duì)靜止的，即輸出量與其各階導(dǎo)數(shù)在t =0的值為零。傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。(零狀態(tài)解)對(duì)于非零初始條件的響應(yīng)，可用疊加原理進(jìn)行處理。§ 2-5典型環(huán)節(jié)與其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)有6種，分述如下：1 .比例環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)方程式c(t) = KX (t)傳遞函數(shù)as) = K單位階躍響應(yīng)C(s) = «s) R(s) = K/sc(t) = K M(t)可見，當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)，輸出量c(t)成比例變化2.慣性環(huán)節(jié)微分方程式:dc(t)T c(t)

34、dtr(t)1 G(s)傳遞函數(shù)：Ts 1式中，T是慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)p =-1/ T,無零點(diǎn)單位階躍響應(yīng):tc(t) 1 e Tt 0階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線37 / 1031C(s) Tr7R(s)11Ts 1 s1 tc(t) T 0r( )d傳遞函數(shù):1G(s) Tss1s 1/T3.積分環(huán)節(jié)微分方程式:11.0 0.8650.632單位階躍響應(yīng)：C(s)-Ts s1c(t) zt當(dāng)輸入階躍函數(shù)時(shí)，該環(huán)節(jié)的輸出隨時(shí)間直線增長，增長速度由1/T決定當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能4.微分環(huán)節(jié)c(t)3微分方程式為：dt傳遞函數(shù)為：

35、0 s尸Ts-10C(s) Ts - Ts單位階躍響應(yīng)：C(t) = Td(t)由于階躍信號(hào)在時(shí)刻t =0有一躍變,其他時(shí)刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對(duì) 階躍輸入的響應(yīng)只在t =0時(shí)刻產(chǎn)生一個(gè)響應(yīng)脈沖5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為:T2 d2c(t)出2C(t)r(t)傳遞函數(shù)為:G(s)1T2s2 2 Ts 1G(s)2n 2 2 ns為阻尼比,式中，T > 0,0 < z <1, wn = 1/T, T稱為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，zw為無阻尼振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對(duì)位于s左半平面的共腕極點(diǎn)：s1,2n j n,-j1n j d1tc(t) 12 e n Sin( dt )單位階躍響應(yīng)：

36、1式中，B =cos1z。響應(yīng)曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振蕩環(huán)節(jié)。6.延遲環(huán)節(jié)微分方程式為：c(t) = r(t - t )傳遞函數(shù)為：« s) = e t-s單位階躍響應(yīng)：C(s) e s 1sc(t) = 1( tt-)|)|c(r)1 139 / 1)3§ 2-6系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖1 .6.1結(jié)構(gòu)圖的定義與基本組成2 .結(jié)構(gòu)圖的定義定義：由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號(hào)流向的系統(tǒng)的方框圖，稱 為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。例如討論過的直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用方框圖來描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，見圖。k放大器 電動(dòng)機(jī) I-叼利速機(jī)把各元件的傳遞函數(shù)代入方框中去，并標(biāo)明兩端對(duì)應(yīng)的變量

37、，就得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。竺些半 'ey * 弓3 .結(jié)構(gòu)圖的基本組成畫圖的4種基本元素如下：信號(hào)傳遞線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，傳遞線上標(biāo)明被傳遞 的信號(hào)。分支點(diǎn)表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置，從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)方面完樣。%),及的- 萬衣相加點(diǎn)對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“+”號(hào)表示相加，可省略不寫,示相減。R . r土 u(t)方框表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算。方框中寫入元部件的傳遞函數(shù)。ff(v) GW)C(s) = G(s)R(s)2.6.2 結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟(1) 列寫每個(gè)元件的原始方程，要考慮相互間負(fù)載效應(yīng)。(2) 設(shè)初始條件為零，對(duì)這些方程進(jìn)行拉氏變換，并將每個(gè)變換后的方程分別以一個(gè)方框的形式將因果關(guān)系表示出來，而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具 有典型環(huán)節(jié)的形式。(3) 將這些方框單元按信號(hào)流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。例2-15畫出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。0-1 I1-0£ R0O解：(1)列寫各元件的原始方程式u1 i R u2 1u 2idtC(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式U1(s) I(s)R U2(s)15(s) I(s)Cs53 / 1032.6.3 結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式1 .三種基本連接形式(1) 串聯(lián)。相互間無負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，依次