一階微分方程(1)ppt課件

1、習(xí)題課一階微分方程一階微分方程一基本要求：1 1 了解微分方程的基本概念了解微分方程的基本概念: : 微分方程的定義、階、解、通解、積微分方程的定義、階、解、通解、積分曲線、特解、初始條件、初值問題；分曲線、特解、初始條件、初值問題；2 2 會(huì)判斷變量可分離方程、齊次方程、會(huì)判斷變量可分離方程、齊次方程、一階線性方程、一階線性方程、 伯努利方程；伯努利方程；3 3 掌握變量可分離方程和一階線性方程掌握變量可分離方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程和伯努利方程；的解法，會(huì)解齊次方程和伯努利方程；1 1 基本概念基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫

2、微分方程的方程叫微分方程微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程階數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程階微分方程的解代入微分方程能使方程成微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解 二 要點(diǎn)提示通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解同，這樣的解叫做微分方程的通解特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解的

3、解，叫做微分方程的特解初始條件用來確定任意常數(shù)的條件初始條件用來確定任意常數(shù)的條件. .初值問題求微分方程滿足初始條件的初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題解的問題，叫初值問題dxxfdyyg)()( 形形如如(1) (1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法2 2 一階微分方程的解法一階微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) (2) 齊次方程齊次方程解法解法xyu 作變量代換作變量代換)()(xQyxPdxdy 形形如如(3) (3) 一階線性微分方程一階線性微分方程, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)方程稱為齊次的方程稱

4、為齊次的方程稱為非齊次的方程稱為非齊次的. ., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（分離變量法）（分離變量法）解法解法非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC （常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法）(5) (5) 伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程. .時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程. .時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法 需經(jīng)過變量代換化為線性

5、微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程,1 nyz 令令(1) ( )(1) ( )( )(1).n P x dxn P x dxeQ xnedx c 1 nyz 三三 問題與思考問題與思考 yxyxyxyy212sinsin22 是是二二階階微微分分方方程程. .是是可可分分離離變變量量方方程程. .問題問題1. 1. 判斷正誤：判斷正誤：正確正確錯(cuò)錯(cuò)2cos2sin2sinsin sinsin2cossin22 coscos2coscos22coscos2sinsin22 xyx dxydyyyxxCyxx231lnln04tansin22cos.3cos 是是齊齊次次方方程程. .的的通

6、通解解為為正確正確正確正確問題問題1. 1. 判斷正誤：判斷正誤：四典型題目四典型題目dyxydx(1)tan5 例例1 1求解下列一階微分方程：求解下列一階微分方程：yxexdyxy dx(2)(1)()0 yxyydxxyydyyyxxy223(3)(41) (4)cos(2cos )sin0(5)()/2 解解(1)tan5 dyxydx方法方法1 1 看作一階線性微分方程看作一階線性微分方程利用通解公式，得利用通解公式，得cot5cotyx yx 變變形形cotcot5cotxdxxdxyex edx C sincscsin5xxCCx sin5cotcscxxxdxC 方法方法2 2

7、 看作可分離變量方程看作可分離變量方程分離變量：分離變量：cot5dyxdxy 兩邊積分，得兩邊積分，得ln5ln sinlnyxC sin5yCx 即即注注 解題前要注意觀察分析，解題前要注意觀察分析， 選擇最簡方法選擇最簡方法 (2)(1)()0yxexdyxy dx 解解 原方程化為原方程化為11yxdyyedxx ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入方程得代入方程得 11uduexuudx 1uudxeduxue 即即 ux ueC 積積分分得得將將 代回，得所求通解代回，得所求通解yux yxyxeC2(3)(41) yxy 利用線性變換利用線性變換41,uxy 41,uxy令令=

8、4dydudxdx 則則24dudxu 即arctan22uxC解解得得 412tan 2xyxC 回回代代，得得 2tan 241yxCx 或或可將方程變?yōu)榭煞蛛x變量方程可將方程變?yōu)榭煞蛛x變量方程(4)cos(2cos )sin0ydxxyydy tan2sindxy xydy變變形形關(guān)于關(guān)于 的一階線性微分方程的一階線性微分方程xtantan2sinydyydyxeyedyC 2cosln coscosxyyCy 即即23(5)()/2yyxxy 21122xyyyx 變變形形2,zy 令令則原方程變?yōu)閯t原方程變?yōu)?1zzxx 由通解公式得由通解公式得22xzxC代回，得代回，得222xyxC1 的的伯伯努努利利方方程程n求解一階微分方程要特別注意：求解一階微分方程要特別注意：1 1正確