中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、基本要求（1）深刻理解羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，會(huì)利用微分中值定理做一些證明題。（2）熟練掌握洛必達(dá)法則。（3）掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法。（4）理解函數(shù)極值的概念，并掌握其求法。（5）理解函數(shù)最值得概念，并掌握其求法，能解決較簡(jiǎn)單的最值應(yīng)用問(wèn)題。（6）理解曲線凹凸性和拐點(diǎn)的概念，會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求拐點(diǎn)。（7）能描繪函數(shù)的圖形（包括漸近線）。（8）知道弧微分概念，并會(huì)求弧微分。（9）了解曲率、曲率半徑的概念。二、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：微分中值定理的應(yīng)用；洛必達(dá)法則；函數(shù)最值及其求法。難點(diǎn)：微分中值定理的應(yīng)用；泰勒公式。三、釋疑解難 問(wèn)題

2、3.1 羅爾定理中“函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)”這兩個(gè)條件，是否可以合并成“函數(shù)在閉區(qū)間可導(dǎo)”這一條件，這樣不是更簡(jiǎn)便嗎？ 答 “在可導(dǎo)”不僅包含了“在連續(xù)，在可導(dǎo)”，而且包含了與都存在。這樣，條件增強(qiáng)了，必然引起羅爾定理適用范圍的縮小。例如，滿足“在連續(xù)，在可導(dǎo)”，于是，存在，使得，可以看出，但是，在不可導(dǎo)，不滿足“在可導(dǎo)”。 在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，應(yīng)力求將命題的條件減弱，以擴(kuò)大其適用范圍。問(wèn)題3.2 羅爾定理的結(jié)論為存在，使，那么，是否一定是的極值點(diǎn)？答 羅爾定理中的在可以有多個(gè)，其中有的可以是的極值點(diǎn)，有的可以不是的極值點(diǎn)。例如，在滿足羅爾定理的條件。令，得。不是的極值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn)。

3、問(wèn)題3.3 使用洛必達(dá)法則可很快求得，如果以此代替兩個(gè)重要極限的證明，可以嗎？答 不可以，由于在使用洛必達(dá)法則時(shí)，所用的導(dǎo)數(shù)公式，都是在這兩個(gè)重要極限的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，如果要用洛必達(dá)法則證明這兩個(gè)重要極限，就犯了邏輯上循環(huán)論證的錯(cuò)誤。問(wèn)題3.4 任何或型未定式都可用洛必達(dá)法則求極限嗎？答 不一定。由于使用洛必達(dá)法則必須滿足三個(gè)條件，而或型未定式未必都滿足三個(gè)條件。例如，是型未定式，但是不存在，不滿足洛必達(dá)法則的第三個(gè)條件，所以不能使用此法則。 正確方法為 。另外，使用洛必達(dá)法則時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)循環(huán)情形從而無(wú)法求出極限。例如，正確方法為 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，一般做題時(shí)不可能在驗(yàn)證滿足洛必達(dá)法則的條件之后

4、再進(jìn)行，若滿足洛必達(dá)法則的條件，便可使用洛必達(dá)法則，此時(shí)，若求出極限或極限為，則可得出結(jié)論；若求不出極限或極限不存在，則對(duì)此問(wèn)題洛必達(dá)法則失效，應(yīng)換其他方法。問(wèn)題3.5 數(shù)列極限可以直接用洛必達(dá)法則求嗎？答 不可以。因?yàn)閿?shù)列沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，所以不能直接用洛必達(dá)法則求數(shù)列的極限。但對(duì)于和型的數(shù)列極限可以間接地用洛必達(dá)法則來(lái)求。例如，求。因?yàn)?，所以根?jù)數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得。為了運(yùn)算方便，可以將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特殊情形來(lái)求。因?yàn)橛?jì)算函數(shù)極限的方法較多（如等價(jià)無(wú)窮小代換，洛必達(dá)法則等），所以，這樣處理可帶來(lái)計(jì)算上極大的方便。問(wèn)題3.6 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有（或），其中使等號(hào)成立的只有有限個(gè)孤立的點(diǎn)

5、，即，問(wèn)這時(shí)能判定在時(shí)單調(diào)遞增（或減）嗎？答 能斷定在時(shí)單調(diào)遞增（或減），證明如下：設(shè)為中任意兩點(diǎn)，則在只有有限個(gè)點(diǎn)使，其余點(diǎn)處均為，從而在上均單調(diào)遞增，故，可見(jiàn)，對(duì)于中的任意兩點(diǎn)，必有，因此在時(shí)單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)的情形可同理證明。問(wèn)題3.7 什么是駐點(diǎn)？是否只有駐點(diǎn)才能是極值點(diǎn)？怎樣尋找可能極值點(diǎn)？答 滿足的點(diǎn)叫做的駐點(diǎn)。不是只有駐點(diǎn)才是極值點(diǎn)。例如，是的極小值點(diǎn)，但它不是駐點(diǎn)。可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，因此，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)從駐點(diǎn)中尋找。但不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，因此，函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。問(wèn)題3.8 如果，是否一定在點(diǎn)取得極值？反之，如果在點(diǎn)取得極值，是否一定有？答 在的點(diǎn)處

6、，不一定取得極值。但例如，不是的極值。反之，若在點(diǎn)取得極值，也不一定有。例如，在取得極小值，但不存在，更談不上有了。四、典型例題 例3.1 設(shè)函數(shù)在具有三階導(dǎo)數(shù)，且，記，證明：存在，使。證法一：由題意知，在上連續(xù)，在可導(dǎo)，因?yàn)?，所以由羅爾定理知，存在，使得。又因?yàn)椋闪_爾定理知，存在，使得。又因?yàn)椋闪_爾定理知，存在，使得。 證法二：由于，則，且，由的二階麥克勞林公式得：，令，由，得。 例3.2 設(shè)函數(shù)在有界，且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：存在，使得.分析：可用反證法，假設(shè)在無(wú)零點(diǎn)，即保持同號(hào)，不妨設(shè)，即單調(diào)增加，任取，使（或），在點(diǎn)處將函數(shù)展開(kāi)成一階泰勒公式。即 ，在與之間。假設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，令，

7、得，與有界性矛盾。當(dāng)時(shí)，令，與有界性矛盾。故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立。例3.3 設(shè)在連續(xù)，在可導(dǎo)，證明：存在使。證法一：用羅爾定理證明。分析：有結(jié)論：存在使，即從而構(gòu)造輔助函數(shù)。證明：令，顯然，在連續(xù)，在可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，存在使，即，從而。證法二：用拉格朗日中值定理證明。分析：欲證，即。從而，構(gòu)造輔助函數(shù)，對(duì)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理。證明：令，顯然，在連續(xù)，在可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，存在使，即，因?yàn)?，所以。證法三：用柯西中值定理證明。分析：欲證，只要證，注意到，左分子式是在上的增量，分母是在上應(yīng)用柯西中值定理。證明：因?yàn)?，在連續(xù)，在可導(dǎo)，且，所以由柯西中值定理知，存在使，即因?yàn)椋?。?/p>

8、3.4 設(shè)在連續(xù)，在可導(dǎo)，且，證明：在存在，使。分析：由結(jié)論，存在，使得，可構(gòu)造輔助函數(shù)，但是在并不滿足羅爾定理的條件，注意到，在兩端點(diǎn)變號(hào)，由零點(diǎn)定理可知，使，不難想到，在上對(duì)應(yīng)用羅爾定理可證。證明：令，則在連續(xù)，在可導(dǎo)，因?yàn)椋杂闪泓c(diǎn)定理可知，使，在上對(duì)應(yīng)用羅爾定理可知，使，即。 例3.5 設(shè)在有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證明：（1） 對(duì)于內(nèi)任一個(gè)，存在唯一的，使成立；（2） 。分析：對(duì)于（1）用拉格朗日中值定理證明；對(duì)于（2）有多種證法，分別介紹。證明：（1）先證存在性，任給，由拉格朗日中值定理得： ， 再證唯一性，如果存在，使： ， ， 則 ， 由羅爾定理知，使與矛盾，于是。 （2）方法一

9、： 則。 方法二：因?yàn)椋甥溈藙诹终归_(kāi)式得，以上兩式相減得：，在與之間，又因 所以，。方法三：對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理得： ， 代入得： 由麥克勞林展開(kāi)式得： ， 在與之間， 聯(lián)立得：，令，由的連續(xù)性知：，即 于是 例3.6設(shè)，證明：（1），其中；（2）；。證明：（1）任給，由拉格朗日中值定理得：，。上式兩邊平方得：，顯然， 因?yàn)?，所以 ，從而 ，故 。（2），例3.7設(shè)在可導(dǎo)，且存在，證明：。證明：因?yàn)榇嬖?，所以，使在有界。則存在，當(dāng)時(shí)，于是，對(duì)于任意的，由拉格朗日中值定理知，使，即，從而 ，由夾逼準(zhǔn)則知，。 例3.8 設(shè)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域連續(xù)，除外可導(dǎo)，且，證明：在可導(dǎo)，且。證明：設(shè)為上述領(lǐng)域

10、內(nèi)任一點(diǎn)，且，由拉格朗日中值定理知，存在在與之間，使，從而， 注：（1）在滿足本例的條件下，在的導(dǎo)數(shù)（或左、右導(dǎo)數(shù)）等于導(dǎo)函數(shù)在的極限（或左、右極限），這為我們提供了求某些分段函數(shù)在分段點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的方法。例如，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，在可導(dǎo)且。（2）當(dāng)不存在時(shí)，可能存在。例3.9 設(shè)，證明：。證法一：利用函數(shù)的單調(diào)性證明。分析： 。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)在單增。證明：令，則，因?yàn)闀r(shí)，單增，因此當(dāng)時(shí)，。即 。證法二：利用拉格朗日中值定理證明，分析：先利用拉格朗日中值定理得到，然后求在的最小值。證明：由拉格朗日定理知，存在，使得，記，因?yàn)闀r(shí)，所以時(shí)，單減，從而時(shí)，于是，從而 。例3.9 設(shè)在二階可導(dǎo)

11、，且，求，。解：，當(dāng)時(shí)，可知，。例3.10 試確定常數(shù)和，使當(dāng)時(shí)，為的盡可能高階的無(wú)窮小，并求此階數(shù)。解：歸結(jié)為求，及盡可能的大的，使存在但不為0，若用洛必達(dá)法則，會(huì)帶來(lái)大量計(jì)算，現(xiàn)用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式。，其中，分子，于是，可取，使，得，分子成為盡可能高階的無(wú)窮?。?階），故取，于是，此時(shí)當(dāng)時(shí)，為的7階無(wú)窮小。注：如果題中所給的條件允許，那么用皮亞諾余項(xiàng)泰勒展式代替原式求極限，特別是討論無(wú)窮小的階，要比洛必達(dá)法則方便不少，值得注意。例3.11 求下列極限。（1）， （2）， （3），（4）， （5）， （6），（7）， （8），（9）， （10）。解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式

12、=（4）這是型未定式，應(yīng)先通分，再用等價(jià)無(wú)窮小代換及洛必達(dá)法則。 原式=（5）這是型未定式，利用倒代換，令，應(yīng)先通分后再用洛必達(dá)法則。原式=（6）這是型未定式，應(yīng)先提出因子，然后用等價(jià)無(wú)窮小代換再用洛必達(dá)法則。原式=（7）令，則，因?yàn)樗裕?（8）令，則，因?yàn)樗裕?（9）令，則，因?yàn)?所以， （10）因?yàn)?所以， 小結(jié) 使用洛必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)只有對(duì)型或型未定式才能直接使用洛必達(dá)法則.對(duì)于型和型應(yīng)先化成型或型未定式才能使用洛必達(dá)法則；對(duì)于型、型和型應(yīng)先取對(duì)數(shù)，然后化成型或型才能使用洛必達(dá)法則.(2)每次使用洛必達(dá)法則前，都要驗(yàn)證是否滿足洛必達(dá)法則的條件，只要滿足洛必達(dá)法則

13、的條件，就可以連續(xù)使用洛必達(dá)法則.(3)使用洛必達(dá)法則時(shí)，應(yīng)及時(shí)化簡(jiǎn).通過(guò)代數(shù)、三角恒等變形約去公因子，將極限不為零的因子分離出來(lái)，利用等價(jià)無(wú)窮下代換、變量代換等.(4)洛必達(dá)法則的條件是充分的，不是必要的.因此，當(dāng)不存在（不含的情形）時(shí)，并不能肯定也不存在，此時(shí)，要用其他方法求極限.(5) 洛必達(dá)法則用于求連續(xù)變量的未定式的極限，對(duì)于數(shù)列的未定式，要轉(zhuǎn)化成函數(shù)的情形才可用洛必達(dá)法則.(6) 洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效的方法，若能與其他求極限的方法結(jié)合起來(lái)使用，則可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.例3.12 利用泰勒公式求下列極限：(1) ; (2) .分析 利用泰勒公式和麥克勞林公式求極限時(shí)，公式中要帶

14、皮亞諾型余項(xiàng)，函數(shù)在泰勒公式中取幾項(xiàng)要根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)定.解 (1) ； 時(shí)，；.故 原式= （2） 原式= =例3.12 求函數(shù)的極值.解 在連續(xù).不可導(dǎo)點(diǎn)為，駐點(diǎn)為.列表如下： 02不存在0極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)估極小值為，極大值.小結(jié) 可導(dǎo)函數(shù)求極值法則一：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)(即的駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)（注：此兩類點(diǎn)叫做函數(shù)的臨界點(diǎn)）；(3)確定導(dǎo)數(shù)在臨界點(diǎn)左、右的符號(hào)，從而求出函數(shù)的極值.例3.13 求的極值.分析 若直接對(duì)所給函數(shù)求極值，顯然麻煩。注意到所給的函數(shù)是由和復(fù)合而成的。因?yàn)樵谑堑膯握{(diào)增函數(shù)，所以，若是的極大（小）值，則就是的極大（?。┲怠＝?記，則駐點(diǎn)為。列表如下

15、：0200極大值點(diǎn)極小值點(diǎn) 的極大值為，極小值為；從而，的極大值，極小值為。 小結(jié) 當(dāng)函數(shù)二階可導(dǎo)時(shí)，可以借助于各駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)是否取得極值?？蓪?dǎo)函數(shù)求極值法則二：(1) 求出一階與二階導(dǎo)數(shù)，；(2) 求出駐點(diǎn)；(3) 考察的正負(fù)。當(dāng)時(shí)，為極大值；當(dāng)時(shí)，為極小值.例3.13 求函數(shù)的極值.解 由于為以為周期的周期函數(shù)，因此只考慮的情形.(1) ,.(2)由得，駐點(diǎn)，.(3) ,在處取得極大值.(4) ,在處取得極小值.注 在法則二中，若，那么在是否取得極值不能確定.例如，雖然，但在取得極小值；而，雖然也有，但卻在不取得極值.在這種情形下，仍可使用法則一.例3.14 求在的最

16、值.解：，由得駐點(diǎn).比較在駐點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值：于是最大值是，最小值是.小結(jié) 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的方法：(1) 求出在的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2) 求出上述所有駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；(3) 對(duì)上述函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者就是最大值，最小值就是最小值.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)極大值而沒(méi)有極小值，那么這唯一的極大值就是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的最大值，從而，不必再來(lái)考慮端點(diǎn)的函數(shù)值了.同理，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)極小值而沒(méi)有極大值，那么這唯一的極小值就是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的最小值.很多求最大值或最小值的實(shí)際問(wèn)題，往往屬于這種情形，因此，解這類最大值或最小值問(wèn)題，只要求出極大值或極小值就可以

17、了.例3.15 求函數(shù)在的最大值和最小值.解： 當(dāng)時(shí)，為常值函數(shù)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，為常值函數(shù).因?yàn)樵谶B續(xù)，所以，為最小值，為最大值.例3.16 今欲制一容積等于的無(wú)蓋圓柱形桶，底用銅制，側(cè)壁用鐵制.已知每平方米的銅價(jià)是鐵價(jià)的5倍，問(wèn)應(yīng)怎樣做，可使費(fèi)用的最?。拷猓涸O(shè)桶高為，底面半徑為.由題設(shè)設(shè)每平方米鐵價(jià)為元，為所需費(fèi)用，于是因?yàn)?，所?令，得唯一駐點(diǎn).當(dāng)時(shí)，此時(shí)有極小值，也就是最小值.注意到時(shí)，.因此要費(fèi)用最省，桶高與底面半徑之比應(yīng)為.小結(jié) 應(yīng)用題求最值的方法：(1) 建立函數(shù)關(guān)系式：首先畫出草圖搞清題意，明確要求哪一個(gè)量的最值；確定自變量和因變量，一般把要求最值的量作為因變量，自變量要

18、選擇適當(dāng)，以方便計(jì)算；最后，根據(jù)幾何、物理、力學(xué)等知識(shí)建立自變量與因變量之間的函數(shù)關(guān)系式，并由實(shí)際問(wèn)題確定函數(shù)的定義域.(2) 求上述函數(shù)的數(shù)值.若該函數(shù)在其定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，而由實(shí)際問(wèn)題性質(zhì)又能確定最值一定在該區(qū)間內(nèi)部取得時(shí)，該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是所要求的最值.例3.17 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間、可導(dǎo)區(qū)間、單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)和漸近線.解： 因?yàn)椋院瘮?shù)在連續(xù)，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為.函數(shù)在處不可導(dǎo)，可導(dǎo)區(qū)間為.令，得駐點(diǎn)；令，得.列表如下：不存在不存在圖形拐點(diǎn)極大拐點(diǎn)從表中可以看出，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；凸區(qū)間為，凹區(qū)間為；極小值為，極大值為；拐點(diǎn)為，.因?yàn)椋?，為水平漸近線.

19、小結(jié) (1)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都有可能是曲線的拐點(diǎn).(2)若（區(qū)間）時(shí)，（僅在個(gè)別點(diǎn)等于零），則曲線在區(qū)間是凹的；若（區(qū)間）時(shí)，（僅在個(gè)別點(diǎn)等于零），則曲線在區(qū)間是凸的.(3)極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)都是自變量軸上的點(diǎn)；拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).第四章 不定積分一、基本要求（1）理解原函數(shù)的概念，理解不定積分的概念和性質(zhì).（2）熟練并掌握不定積分的基本積分公式.（3）熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法.（4）會(huì)求有理函數(shù)，簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的不定積分.二、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：原函數(shù)和不定積分的概念；不定積分的基本性質(zhì)；基本積分公式；兩類換元積分法和分部積分法；有理函

20、數(shù)的不定積分.難點(diǎn)：兩類換元積分法；分部積分法；待定系數(shù)法.三、釋疑解難問(wèn)題4.1 一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)嗎？答 不對(duì).因?yàn)槌醯群瘮?shù)的定義域可能是離散的點(diǎn)集.例如初等函數(shù)的定義域是離散的點(diǎn)集，再次定義域內(nèi)，函數(shù)就無(wú)原函數(shù)，但“初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一定存在原函數(shù)”這種說(shuō)法是正確的.因?yàn)槌醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的，而連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù).問(wèn)題4.2 微分運(yùn)算與不定積分運(yùn)算是互逆的，這種說(shuō)法對(duì)嗎？答 對(duì).由不定積分的定義可知：若是的原函數(shù)，則，又若是的原函數(shù)，則，記號(hào)與連在一起時(shí)，或者抵消，或者抵消后相差一個(gè)常數(shù)，因此在可相差常數(shù)的前提下，微分運(yùn)算與不定積分運(yùn)算互為逆運(yùn)

21、算.問(wèn)題4.3 任一偶函數(shù)的原函數(shù)均為奇函數(shù)；任一奇函數(shù)的原函數(shù)為偶函數(shù).這種說(shuō)法對(duì)嗎？答 前一說(shuō)法不對(duì)，后一說(shuō)法正確.例如, 是偶函數(shù)，但它的一個(gè)原函數(shù)并不是奇函數(shù). 設(shè)為任一奇函數(shù)，即有，并設(shè)其原函數(shù)為，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，即任一奇函數(shù)的原函數(shù)都為偶函數(shù).問(wèn)題4.4 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)不連續(xù)的函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定無(wú)原函數(shù)，這種說(shuō)法對(duì)嗎？答 不對(duì).例如函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不連續(xù)（為其間斷點(diǎn)），但在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù).也就是說(shuō)，是的一個(gè)原函數(shù)，因此某區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有原函數(shù)，但不連續(xù)的函數(shù)也有可能存在原函數(shù).問(wèn)題4.5 已知，問(wèn)成立嗎？答 不一定成立.由第一類換元法有，要想成立，只有才行，即只有（為任意常數(shù)），否則就不成立.問(wèn)題4.6 若,則有對(duì)嗎？答 不對(duì).被積函數(shù)求不定積分時(shí)，得到的是帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，