中心、漸近方向ppt課件

1、4.4 中心、漸近方向中心、漸近方向 設(shè)二次曲面的方程為: （1） 其中, 是對(duì)稱矩陣, ,01 )1(),(:44 aAzyxFSTT)(),(ijTaAzyx ).(342414aaaT （一）（一） 二次曲面與直線的相關(guān)位置二次曲面與直線的相關(guān)位置1111213142122223243132333344142434441( , , ),21( , , ),21( , , ),2( , , ),FF x y za xa ya zaxFF x y za xa ya zayFF x y za xa ya zazF x y za xa ya za記記:123( , , )2( , , ),( ,

2、 , ),( , , ) ( , , ),( , , ),( , , )F x y zF x y z F x y z F x y zFFFx y zx y zx y zxyz稱為函數(shù) 的梯度向量., ,F x y z0000000(,)(, , ), 2.lMx y zvX Y ZxxtXlyytYzztZ 設(shè)直線 過(guò)點(diǎn)，方向向量為，則直線的參數(shù)方程為 （ ） 將（2）式代入（1）式2000000 , ,(,)(,)0 X Y ZtvF x y z tF x y z即：（）（3）2100020003000000, ,2(,)(,) (,)(,)0.X Y ZtXF x y zYF x y zZ

3、F x y ztF x y z得 （）討論方程討論方程(3) 20000001, ,03 (,)4 (, , ) (,)X Y ZvF x y zX Y Z F x y z （）當(dāng) （）時(shí)，（ ）的判別式01 0lS 當(dāng)時(shí)， 與 有兩個(gè)不同的實(shí)交點(diǎn)；02 =0lS當(dāng)時(shí)， 與 有兩個(gè)相同的實(shí)交點(diǎn)；03 0lS 當(dāng)時(shí)， 與 沒(méi)有實(shí)交點(diǎn)，有一對(duì)共軛的虛交點(diǎn)；2, ,0X Y Z（ ）當(dāng) （）時(shí)00001(,)0vF x y zlS 當(dāng)時(shí)， 與 有惟一的實(shí)交點(diǎn)；00000002 (,)0,(,)0vF x y zF x y zlS當(dāng)時(shí)， 與 沒(méi)有交點(diǎn)；00000003 (,)(,)=0.vF x y

4、zF x y zlS當(dāng)時(shí)， 在 上 它是二次齊次方程，因而是以它是二次齊次方程，因而是以 為頂點(diǎn)的錐面，錐面上為頂點(diǎn)的錐面，錐面上每一條母線的方向都是二次曲面的漸近方向。此錐面每一條母線的方向都是二次曲面的漸近方向。此錐面稱為二次曲面的漸近方向錐面。稱為二次曲面的漸近方向錐面。 0M0, ）（ZYX 定義定義4.1 滿足滿足 的方向的方向X:Y:Z叫叫做做S 的漸近方向的漸近方向.否則稱為否則稱為S的非漸近方向的非漸近方向.),(0000zyxM. 0),(000 zzyyxx 由曲面漸近方向的定義可得到經(jīng)過(guò)一固定點(diǎn)由曲面漸近方向的定義可得到經(jīng)過(guò)一固定點(diǎn)，以二次曲面的漸近方向?yàn)榉较虻乃兄本€構(gòu)

5、成的曲面方，以二次曲面的漸近方向?yàn)榉较虻乃兄本€構(gòu)成的曲面方程是程是:（二（二 ）曲面的中心）曲面的中心定理定理4.1定義定義4.212.CSSMCMS 點(diǎn) 稱為二次曲面 的中心，如果 上任一點(diǎn)關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)仍在 上000100020003000000(,) (,)(,)(,)0(,)0.C x y zF x y zF x y zF x y zF x y z 點(diǎn)是的中心的充要條件是即1231,34.1 ( , , )( , , )( , , )0.(),( ,).iji jF x y zF x y zF x y zAaBA 由定理知，知二次曲面的中心坐標(biāo)是方程組的解它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為

6、有方程組有解判別定理知道：31( )( )30r Ar BIS（）當(dāng)時(shí)，即，方程組有惟一解，因而有惟一中心，這種二次曲面稱為中心曲面.2( )( )2r Ar BS（ ）當(dāng)時(shí)，方程組的解構(gòu)成一條直線，即這條直線上的點(diǎn)都是 的中心，這種二次曲面稱為線心曲面.3( )( )1r Ar BS（ ）當(dāng)時(shí)，方程組的解構(gòu)成一條平面，即此平面上的點(diǎn)均為 的中心，稱此曲面為面心曲面.4( )( )r Ar BS（ ）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解，即曲面 沒(méi)有中心，稱此二次曲面為無(wú)心曲面.注：注： 線心曲面、面心曲面及無(wú)心曲面通稱為非中線心曲面、面心曲面及無(wú)心曲面通稱為非中 心曲面心曲面. . 命題命題4.1 二次曲面為中

7、心曲面的充要條件是二次曲面為中心曲面的充要條件是 ；二次曲面為非中心曲面的充要；二次曲面為非中心曲面的充要條件是條件是 。03 I03 I222222222222 1 11(0,0,0).xyzabcxyzOabc 例橢球面與單葉、雙葉雙曲面是中心曲面，中心均為原點(diǎn)2222 2 2.xyzab例拋物面是無(wú)心曲面 對(duì)二次曲線而言，漸近方向和中心的概念可以類似地定義，有關(guān)的結(jié)論也是相仿的。中心滿足方程組 (4)上式的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為 : (1).當(dāng) 即 (4)有唯一解,即有唯一中心，稱為中心曲線。例如橢圓、雙曲線。 (2).當(dāng) (4)的解組成一直線，稱為線心曲線。例如兩平行直線。 (3).當(dāng) , （4沒(méi)有解，即沒(méi)有中心，稱為無(wú)心曲線，例如拋物線。 ,0),(,0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF.,23221213121122121211 aaaaaaBaaaaA, 2)()( BrAr,02 AI, 1)()( BrAr)()(BrAr 定義定義4.4.3 對(duì)中心曲面中