排列組合公式(全)

1、排列組合公式p; = ”（”一 1）（和一廠 + 1）=n r） 尸尸丹C廣=科=w 廠！ rn-rCr廠*用一廠H 二 G排列定義從n個(gè)不同的元素中，取r個(gè)不重復(fù)的元素，按次序排列，稱為從n個(gè)中取r個(gè)的無重排列。排列的全體組成的集合用P(n,r)表示。排列的個(gè)數(shù)用P(n,r)表示。當(dāng)r=n時(shí)稱為全排列。一般不說可重即無重?？芍嘏帕械?相應(yīng)記號為P(n,r),P(n,r)。組合定義從n個(gè)不同元素中取r個(gè)不重復(fù)的元素組成一個(gè)子集，而不考慮其元 素的順序，稱為從n個(gè)中取r個(gè)的無重組合。組合的全體組成的集合用 C(n,r)表示，組合的個(gè)數(shù)用C(n,r)表示，對應(yīng)于可重 組合有記號 C(n,r),C(

2、n,r)。一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，原因在于(1) 從千差萬別的實(shí)際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象 思維能力；(2) 限制條件有時(shí)比較隱晦，需要我們對問題中的關(guān)鍵性詞(特別是邏輯關(guān)聯(lián) 詞和量詞)準(zhǔn)確理解；(3) 計(jì)算手段簡單，與舊知識聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的 思維量較大；(4) 計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、 原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。、兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用(1)加法原理和分類計(jì)數(shù)法1 加法原理2加法原理的集合形式3 分類的要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)； 兩類不同辦法中的具體方 法，互不相同 （

3、 即分類不重 ） ；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類 （ 即分 類不漏）（2） 乘法原理和分步計(jì)數(shù)法1乘法原理2合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)， 必須且只須連續(xù)完成這 n 步才能完 成此任務(wù)； 各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立； 只要有一步中所采取的方法不同， 則對應(yīng)的完成 此事的方法也不同例 1：用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)集合 A 為數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)的集合， S（A）=9！集合 B 為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。把集合A分為子集的集合，規(guī)則為前6位數(shù)相同的元素構(gòu)成一個(gè)子集。顯然各子 集沒有共同元素。每個(gè)子集元素的個(gè)數(shù)，等于剩余的3 個(gè)數(shù)的全排列，即

4、 3！這時(shí)集合B的元素與A的子集存在一一對應(yīng)關(guān)系，則S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！ 這就是我們用以前的方法求出的 P（9， 6）例 2：從編號為 1-9 的隊(duì)員中選 6 人組成一個(gè)隊(duì)，問有多少種選法？設(shè)不同選法構(gòu)成的集合為C,集合B為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。把集合 B分 為子集的集合， 規(guī)則為全部由相同數(shù)字組成的數(shù)組成一個(gè)子集， 則每個(gè)子集都是 某6個(gè)數(shù)的全排列，即每個(gè)子集有6!個(gè)元素。這時(shí)集合C的元素與B的子集存 在一一對應(yīng)關(guān)系，則S（B）=S（C）*6!S（ C）=9 ! /3! /6 !這就是我們用以前的方法求出的 C（9， 6）以上都是簡單的例子， 似乎不用弄得這么復(fù)雜

5、。 但是集合的觀念才是排列組合公 式的來源， 也是對公式更深刻的認(rèn)識。 大家可能沒有意識到， 在我們平時(shí)數(shù)物品 的數(shù) 量時(shí)，說 1， 2， 3， 4， 5，一共有 5 個(gè)，這時(shí)我們就是在把物品的集合與 集合（1， 2， 3， 4， 5）建立一一對應(yīng)的關(guān)系，正是因?yàn)槲锲窋?shù)量與集合（ 1， 2 ， 3， 4， 5）的元素個(gè)數(shù)相等，所以我們才說物品共有 5 個(gè)。我寫這篇文章的目的 是把這些潛在的思路變得清晰，從而能用它解決更復(fù)雜的問題。例 3：9 個(gè)人坐成一圈，問不同坐法有多少種？9 個(gè)人排成一排，不同排法有 9!種，對應(yīng)集合為前面的集合 A9個(gè)人坐成一圈的不同之處在于，沒有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分。設(shè)集合D

6、為坐成一圈的坐法的集合。以任何人為起點(diǎn)，把圈展開成直線，在集合A 中都對應(yīng)不同元素，但在集合D中相當(dāng)于同一種坐法，所以集合D中每個(gè)元素對應(yīng)集合A中9個(gè)元素, 所以 S（D）=9！ /9我在另一篇帖子中說的方法是先固定一個(gè)人，再排其他人，結(jié)果為8！。這個(gè)方法實(shí)際上是找到了一種集合 A與集合D之間的對應(yīng)關(guān)系。用集合的思路解決問題 的關(guān)鍵就是尋找集合之間的對應(yīng)關(guān)系， 使一個(gè)集合的子集與另一個(gè)集合的元素形 成一一對應(yīng)的關(guān)系。例 4：用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 組成數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)，但要求 1 排在 2 前面，求符合要求的九位數(shù)的個(gè)數(shù)。集合A為9個(gè)數(shù)的全排列，把集合A分為兩個(gè)集合B、C,集

7、合B中1排在2前 面，集合C中1排在2后面。則S（ B）+S（ C）=S（ A）在集合B C之間建立以下對應(yīng)關(guān)系：集合 B中任一元素1和2位置對調(diào)形成的 數(shù)字，對應(yīng)集合C中相同數(shù)字。則這個(gè)對應(yīng)關(guān)系為一一對應(yīng)。因此 S（B）=S（C） =9！/2以同樣的思路可解出下題：從1、2、3，9這九個(gè)數(shù)中選出3個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)y=ax*x+bx+c的系數(shù), 且要求abc,問這樣的函數(shù)共有多少個(gè)？ 例5: M個(gè)球裝入N個(gè)盒子的不同裝法，盒子按順序排列。這題我們已經(jīng)討論過了，我再用更形象的方法說說。假設(shè)我們把M個(gè)球用細(xì)線連成一排，再用N-1把刀去砍斷細(xì)線，就可以把M個(gè)球 按順序分為N組。則M個(gè)球裝入N個(gè)盒子

8、的每一種裝法都對應(yīng)一種砍線的方法。 而 砍線的方法等于M個(gè)球與N-1把刀的排列方式（如兩把刀排在一起，就表示 相應(yīng)的盒子里球數(shù)為 0）。所以方法總數(shù)為 C（M+N-1， N-1）例 6： 7 人坐成一排照像 , 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰 , 則共 有排法.解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設(shè)四部分人數(shù)分別為 X1， X2， X3，X4,其中 X1, X4=0，X2, X30先把其余 4 人看作一樣，則不同排法為方程X1+X2+X3+X4=4解的個(gè)數(shù)，令 X2=Y2+1 X3=Y3+1化為求X1+Y2+Y3+X4=K非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，這與把2個(gè)球裝入4個(gè)盒子的方法 一一對應(yīng)，個(gè)數(shù)為 C