高等數(shù)學(xué) 第二章 極限與連續(xù)

1、第二章 極限與連續(xù) 一、本章提要 1.基本概念 函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，無窮小量，無窮大量，等價(jià)無窮小，在一點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)），第二類間斷點(diǎn). 2.基本公式 (1) ， (2) (代表同一變量). 3.基本方法 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； 利用四則運(yùn)算法則求極限； 利用兩個重要極限求極限； 利用無窮小替換定理求極限； 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的極限； 利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求形式的極限； 利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號與極限符號可交換次序的特性求極限； 利用“無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小量”求極限. 4.定理

2、左右極限與極限的關(guān)系，單調(diào)有界原理，夾逼準(zhǔn)則，極限的惟一性，極限的保號性，極限的四則運(yùn)算法則，極限與無窮小的關(guān)系，無窮小的運(yùn)算性質(zhì)，無窮小的替換定理，無窮小與無窮大的關(guān)系，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 二、要點(diǎn)解析 問題1 如果 存在，那么函數(shù)在點(diǎn)處是否一定有定義? 解析 存在與在處是否有定義無關(guān)例如，而 =在處無定義；又如，而在處有定義.所以，存在，不一定有在點(diǎn)有定義. 問題2 若存在，那么和是否一定存在？是否一定有=？解析 存在，并不能保證與均存在.例如，而不存在.又因?yàn)橹挥性谂c均存在的條件下，才有=,所以存在，不能保證=問題3 是否正確，為什么?解析 不正確.盡管，而.這說

3、明,時，不是無窮大. 三、例題精解 例1 求下列極限: (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) .解 (1)由于討論函數(shù)在處有定義，而且在處連續(xù)，所以有(2) （這是型，設(shè)法將其化為）(3) （這是型未定式） （分子、分母均含非零因子）(4) 需要注意，是由于為時的無窮小量，1，即為有界函數(shù)，所以為時的無窮小. (函數(shù)符號與極限符號交換)（分子有理化）(6) （適當(dāng)變形） （利用商的極限公式） （利用重要極限） 例2設(shè) 問為何值時存在，并求此極限值. 解 對于分段函數(shù)，討論分段點(diǎn)處的極限.由于函數(shù)在分段點(diǎn)兩邊的解析式不同，所以，一般先求它的左、右極限. ， 為使存在

4、，必須. 因此，時，存在且例3 設(shè) 問當(dāng)為何值時，是的間斷點(diǎn)? 是什么間斷點(diǎn)?解，當(dāng)，亦即時，是的間斷點(diǎn)；由于為大于0的實(shí)數(shù)，故均存在，只是，故為的跳躍間斷點(diǎn).例 4 已知 ，求的值.解 因?yàn)?，由有理函數(shù)的極限知，上式成立，必須有和的系數(shù)等于0,即，于是.四、練習(xí)題1 判斷正誤 若函數(shù)在處極限存在，則在處連續(xù). ( )解析 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，要求函數(shù)在該點(diǎn)極限存在，且極限值等于該點(diǎn)函數(shù)值如函數(shù)，即函數(shù)在處極限存在；但，所以函數(shù) 在處不連續(xù)分段函數(shù)必有間斷點(diǎn). ( )解析 分段函數(shù)不一定有間斷點(diǎn)如函數(shù)是分段函數(shù)，所以；又因?yàn)?，即，所以函?shù)在處連續(xù)，無間斷點(diǎn)與是時的等價(jià)無窮小. ( )解析 ，由等

5、價(jià)無窮小的定義，與是時的等價(jià)無窮小無界函數(shù)不一定是無窮大量. ( ) 解析 無窮大必?zé)o界，但反之不真如函數(shù)，當(dāng)時是無界函數(shù)；但若取，（）時，不是無窮大量2.選擇題下列極限存在的是( B ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解析 (A)， 所以不存在；(B) ，極限存在；(C)，所以不存在；(D)時， ，所以不存在 已知,則常數(shù)( C ).(A) 1； (B) 5 ； (C) 6 ； (D) -1.解析 ，所以 在處 ( C ). (A) 有定義； (B) 極限存在； (C) 左極限存在； (D) 右極限存在.解析 因，在處無定義，即在處左極限存在，即在處右極限不存在，由極限存在的

6、充要條件，可知函數(shù)在處的極限不存在 當(dāng)時， ( D ). (A)有最大值與最小值; (B)有最大值無最小值;(C)無最大值有最小值; (D)無最大值無最小值.解析 在上是連續(xù)函數(shù)，圖形如下： 所以當(dāng)時，無最大值與最小值 3.填空題 (1)已知為常數(shù)，則 0 ， 6 ；解 時極限值存在且值為3，則分子、分母的最高次冪應(yīng)相同，所以，那么 ，所以(2)的連續(xù)區(qū)間是；解 由，知函數(shù)的定義區(qū)間為又因?yàn)槌醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，所以的連續(xù)區(qū)間是(3)是的 可去 間斷點(diǎn);解 時，函數(shù)無定義，但，極限存在，所以是的可去間斷點(diǎn)(4)若(為常數(shù))，則解 由復(fù)合函數(shù)求極限的方法， 4.解答題 ；解一 解二 無窮小量的等價(jià)代換，由于時，所以 設(shè)，求 ；解 由無窮小量的等價(jià)代換，即時，所以 ；解 時，是無窮小量，是有界變量因?yàn)橛薪缱兞砍藷o窮小量仍是無窮小量，所以 設(shè)試討論在處的連續(xù)性，寫出的連續(xù)區(qū)間；解 ，所以且，即，所以函數(shù)在處連續(xù)又因?yàn)楫?dāng)時函數(shù)連續(xù)，當(dāng)時函數(shù)也連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為 設(shè)求,并問在處是否連續(xù)；解 ， ，所以 且，即，所以函數(shù)在處連續(xù) 討論的間斷點(diǎn)；解 時，函數(shù)無定義，所以為函數(shù)的間斷點(diǎn)因?yàn)?，即，所以為函數(shù)的跳躍間