朱慈勉結構力學第三章 靜定結構

1、掌握掌握結構的支座反力的計算，結構的結構的支座反力的計算，結構的剪力和軸力計算的兩種方法，內力圖剪力和軸力計算的兩種方法，內力圖的形狀特征和繪制內力圖的的形狀特征和繪制內力圖的疊加法疊加法。熟練掌握熟練掌握彎矩圖繪制，能迅速繪制彎彎矩圖繪制，能迅速繪制彎矩圖。矩圖。理解理解恰當選取脫離體和平衡方程計算恰當選取脫離體和平衡方程計算靜定結構內力的方法與技巧。會根據靜定結構內力的方法與技巧。會根據幾何組成尋找求解途徑。幾何組成尋找求解途徑?；仡櫤脱a充回顧和補充材料力學內容回顧材料力學內容回顧桿件內力分析要點：桿件內力分析要點： 內力正負號規(guī)定：內力正負號規(guī)定：MMMMFNFNFNFNFQFQFQFQ

2、結構力學與材料力學內力規(guī)定的異同結構力學與材料力學內力規(guī)定的異同 軸力和剪力的正負號規(guī)定與材料力學相同軸力和剪力的正負號規(guī)定與材料力學相同 內力符號腳標有其特定的意義。如內力符號腳標有其特定的意義。如MAB表明表明AB桿的桿的A端彎矩端彎矩 結構力學彎矩圖畫在受拉纖維一側結構力學彎矩圖畫在受拉纖維一側5/54【例例4-2】圖示簡支梁受均布載荷q作用， 求(1)剪力方程和彎矩方程；(2)畫剪力圖和彎矩圖。 解解(1)求約束力2qlFFBA(2)列剪力方程和彎矩方程 lxqxqlqxFxFA02S lxxqxqlxM0222(3)畫出剪力圖和彎矩圖剪力圖 斜直線 彎矩圖二次拋物線822maxqll

3、MM 求內力的基本方法：求內力的基本方法：截面法截面法（截取隔離體；代之相應截面內力；利（截取隔離體；代之相應截面內力；利用平衡方程求解）用平衡方程求解） 內力的疊加與分解：內力的疊加與分解： 假設：材料滿足線彈性、小變形。假設：材料滿足線彈性、小變形。例例：求截面：求截面1 1、截面、截面2 2的內力的內力FN2=50FN1=1410.707=100kNFQ1=M1=125(下拉）=50kN141cos45o=812.5kNm+1410.707105055/25 FQ2= 141sin45100kNM2 5m5m5m5m215kN/m50kN141kN125kN.m M2375kN.m （左

4、拉） 455051251410.7075375kN.m+551410.707=25kN50+129/544.4.1 分布載荷、剪力和彎矩的微積分關系分布載荷、剪力和彎矩的微積分關系如圖所示受任意載荷的直梁建立坐標系取其中一微段 dx q(x)為連續(xù)函數，規(guī)定向上為正將該微段取出，加以受力分析10/544.4.1 分布載荷、剪力和彎矩的微積分關系分布載荷、剪力和彎矩的微積分關系 0yF ) 1 (0ddSSSxFxFxxqxF 0CM )2(0d2dddSxMxxFxxxqxMxM由（1）式可得:)(d)(dSxqxxF（2）式中略去高階微量)(d)(dSxFxxM注意注意 在集中力和集中力偶作

5、用處微分關系不成立在集中力和集中力偶作用處微分關系不成立 xxxqd2d11/544.4.1 分布載荷、剪力和彎矩的微積分關系分布載荷、剪力和彎矩的微積分關系在剪力圖無突變(無集中力作用)的某段梁上，有 21d1S2SxxxxqxFxF在彎矩圖無突變(無集中外力偶作用)的某段梁上，有 21dS12xxxxFxMxM上述積分關系有時可簡化控制截面的內力計算。q圖的面積Fs圖的面積)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM12/544.4.1 分布載荷、剪力和彎矩的微積分關系分布載荷、剪力和彎矩的微積分關系)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM若q(x)為常數，則可根據這些關系得到

6、如下表格)(xq)(SxF)(xM0q常數SF0SF0SF0SF0q0q微分關系給出了內力圖的形狀特征微分關系給出了內力圖的形狀特征1 1 ） 微分關系微分關系qy QQ+dQNN+dNqxdxyxMM+dMqy向下為正yqxFddQQddFxM 荷載與內力之間的關系：荷載與內力之間的關系：xNqxFddNN+NFxN=FXQQ+QFyQ=Fy增量關系說明了內力圖的突變特征增量關系說明了內力圖的突變特征2 2） 增量關系增量關系mMM+MM=m3 3） 積分關系積分關系由微分關系可得由微分關系可得右端剪力等于左端剪力減去右端剪力等于左端剪力減去該段該段qy的合力的合力；右端彎矩等于左端彎矩加上

7、右端彎矩等于左端彎矩加上該段剪力圖的面積。該段剪力圖的面積。xxqFFAByABd )(QQxFMMABABdQxxqFFABxNANBd )(內力圖形狀特征內力圖形狀特征無何載區(qū)段無何載區(qū)段 均布荷載區(qū)段均布荷載區(qū)段集中力作用處集中力作用處平行軸線平行軸線斜直線斜直線 Q=0區(qū)段區(qū)段M圖圖 平行于軸線平行于軸線Q圖圖 M圖圖備備注注 二次拋物線二次拋物線凸向即凸向即q指向指向Q=0處，處，M達到極值達到極值發(fā)生突變發(fā)生突變P出現尖點出現尖點尖點指向即尖點指向即P的指向的指向集中力作用截集中力作用截面剪力無定義面剪力無定義集中力偶作用處集中力偶作用處無變化無變化 發(fā)生突變發(fā)生突變兩直線平行兩直

8、線平行m集中力偶作用面集中力偶作用面彎矩無定義彎矩無定義零、平、斜、拋q、Q、Mq、Q、Mq、Q、Mq、Q、M在自由端、鉸支座、鉸結點處，無集中力偶作用，截面彎矩在自由端、鉸支座、鉸結點處，無集中力偶作用，截面彎矩等于零，有集中力偶作用，截面彎矩等于集中力偶的值。等于零，有集中力偶作用，截面彎矩等于集中力偶的值。第3章 靜定結構 3-1 概述 按幾何構造特點求解幾何構造形式簡單的靜定結構比較容易求解，如： 又如： 第3章 靜定結構 3-1 概述 按幾何構造特點求解幾何構造形式簡單的靜定結構比較容易求解，如： 有些靜定結構的幾何構造可區(qū)分為基本部分和附屬部分由附屬部分向基本部分推進由附屬部分向基

9、本部分推進 組成靜定結構的構件主要有二力桿和受彎桿。二力桿僅承受 軸向力的作用；受彎桿一般同時承受彎矩、剪力和軸力的作用。 如何求解？從構建聯結、制作特征找突破先對整體取矩M(,)，再對局部取矩M(,)3-2 靜定梁和靜定平面剛架靜定梁和靜定平面剛架 單跨靜定梁：單跨靜定梁： 簡支梁簡支梁 伸臂梁伸臂梁 懸臂梁懸臂梁 一端為滑動支座，一端為滑動支座， 一端為簡支的梁一端為簡支的梁 多跨靜定梁：多跨靜定梁： 多跨靜定梁：多跨靜定梁： 靜定剛架：靜定剛架： 3-2-1 剛架式桿件的內力以及與荷載的關系剛架式桿件的內力以及與荷載的關系 內力正負號規(guī)定：內力正負號規(guī)定： 軸力以拉力為正，壓力為負；軸力

10、以拉力為正，壓力為負； 剪力以使微段隔離體順時針方向轉動為正，剪力以使微段隔離體順時針方向轉動為正， 逆時針方向轉動為負；逆時針方向轉動為負； 彎矩的正負號不作硬性規(guī)定，彎矩圖應畫在彎矩的正負號不作硬性規(guī)定，彎矩圖應畫在 受拉一側。受拉一側。 3-2-1 剛架式桿件的內力以及與荷載的關系剛架式桿件的內力以及與荷載的關系 應用靜力平衡條件，應用靜力平衡條件， 并略去高階微量，可并略去高階微量，可 得以下關系式：得以下關系式： NxdFqdx QydFqdx QdMFdx22yd Mqdx 由這些微分關系可知：由這些微分關系可知： NxdFqdx QydFqdx QdMFdx22yd Mqdx 由

11、這些微分關系可知：由這些微分關系可知： 在無橫向荷載在無橫向荷載(qy = 0)的區(qū)段，桿件剪力保持為常數的區(qū)段，桿件剪力保持為常數, 對應的剪對應的剪 力圖形為與桿件軸線平行的直線力圖形為與桿件軸線平行的直線, 彎矩圖形為傾斜的直線，其彎矩圖形為傾斜的直線，其 斜率就等于桿中的剪力。斜率就等于桿中的剪力。 在桿件剪力為零處在桿件剪力為零處, 彎矩圖的切線與桿件軸線平行彎矩圖的切線與桿件軸線平行, 此時彎矩取此時彎矩取 得極值得極值; 在無剪力的區(qū)段在無剪力的區(qū)段, 桿件的彎矩保持為常數桿件的彎矩保持為常數, 對應的彎矩對應的彎矩 圖為與桿件軸線平行的直線。圖為與桿件軸線平行的直線。 在有橫向

12、均布荷載的區(qū)段在有橫向均布荷載的區(qū)段, 剪力圖為傾斜的直線剪力圖為傾斜的直線, 彎矩圖為二次彎矩圖為二次 拋物線。拋物線。 在無軸向荷載在無軸向荷載(qx = 0)的區(qū)段的區(qū)段, 桿件的軸力保持為常數桿件的軸力保持為常數; 在有軸向在有軸向 均布荷載的區(qū)段均布荷載的區(qū)段, 軸力圖為傾斜直線。軸力圖為傾斜直線。 例如：例如： 區(qū)段疊加法做彎矩圖區(qū)段疊加法做彎矩圖熟記簡支梁彎矩圖熟記簡支梁彎矩圖2M2MM4PlFP82qlqMAMB1 1）簡支梁情況）簡支梁情況幾點注意：幾點注意：彎矩圖疊加，是指豎標相彎矩圖疊加，是指豎標相加，而不是指圖形的拼合，豎加，而不是指圖形的拼合，豎標標M ，如同，如同M

13、、M一樣垂一樣垂直桿軸直桿軸AB，而不是垂直虛線。，而不是垂直虛線。利用疊加法繪制彎矩圖可以利用疊加法繪制彎矩圖可以少求一些控制截面的彎矩值，少求一些控制截面的彎矩值，少求甚至不求支座反力。而且少求甚至不求支座反力。而且對以后利用對以后利用圖乘法求位移圖乘法求位移，也，也提供了把復雜提供了把復雜圖形分解圖形分解為簡單為簡單圖形的方法。圖形的方法。 MAMB qMAMB qMMMAMBMMM4PlAMBMBMBM做法：做法：先在梁端繪彎矩豎標先在梁端繪彎矩豎標過豎標頂點連直虛線過豎標頂點連直虛線以虛線為基礎疊加相應以虛線為基礎疊加相應簡支梁彎矩圖簡支梁彎矩圖FPMM合成內力圖是合成內力圖是豎標相

14、加豎標相加, ,不是圖形不是圖形的簡單拼合。的簡單拼合。2 2）直桿情況）直桿情況 QAQB 1、首先求出兩桿端、首先求出兩桿端彎矩，連一虛線；彎矩，連一虛線； 2、然后以該虛線為、然后以該虛線為基基 線，疊加上線，疊加上簡支梁簡支梁在跨間荷載作用下的在跨間荷載作用下的彎矩圖。彎矩圖。 MAMBNANB qABYAYBMAMB qMAMBMM對于任意直桿段，不論對于任意直桿段，不論其內力是靜定的還是超靜其內力是靜定的還是超靜定的；不論是等截面桿或定的；不論是等截面桿或是變截面桿；不論該桿段是變截面桿；不論該桿段內各相鄰截面間是連續(xù)的內各相鄰截面間是連續(xù)的還是定向聯結還是鉸聯結還是定向聯結還是鉸

15、聯結彎矩疊加法均適用。彎矩疊加法均適用。 4kNm2kNm4kNm6kNm4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷載作用下）集中荷載作用下（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）疊加得彎矩圖）疊加得彎矩圖（1）懸臂段分布荷載作用下）懸臂段分布荷載作用下（2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）疊加得彎矩圖）疊加得彎矩圖3m3m4kN4kNm3m3m8kNm2kN/m2m4kNm分析步驟分析步驟 確定控制點確定控制點 分析各段內力圖走勢分析各段內力圖走勢（利用微分關系）（利用微分關系） 求控制截面內力求控制截面內力 繪控制截面間內力繪控制截面間內力圖（彎矩圖

16、、剪力圖（彎矩圖、剪力圖）圖） 確定彎矩最大點位確定彎矩最大點位置及最大值置及最大值ql/2l/2qM0FAyFByFAyM0FOyl/2ll/2ql2/2ql2/4ql2/8qlqABDFEqLqLM圖Q圖qlql2/4ql2/8qlql10kN/m15kN60kN.m2m2m2m2m20M 圖 (kN.m)3055 53030m/2m/2m303030303030303030308kN4kN/mABCGEDF1m16kN.m1m2m2m1m1779Q圖（kN）16726430237836.128HxRA=17kNRB=7kN4888M圖（kN.m）RA=17kNRB=7kNRA=17kNR

17、B=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kN1m8kN4kN/mABCGEDF1m16kN.m1m2m2m1m1779Q圖（kN）16726430237836.128HxRA=17kNRB=7kNCE段中點段中點D的彎矩的彎矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大彎矩，梁中最大，并不是梁中最大彎矩，梁中最大彎矩在彎矩在H點。點。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷載區(qū)段的中點彎矩與該段內的均布荷載區(qū)段的中點彎矩與該段內的最大彎矩最大彎矩,一般相差不大一般相差不大,故常用中點彎矩作為最大彎矩！故常用中點彎矩作為最大彎矩！M圖（kN.m）RA=17kNRB=7kN

18、RA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kN由 QH=QCqx=0 可得： xQC/q9/42.25(m) MHMC+(CH段Q圖的面積）26+92.25236.1（kN.m)1m力偶不影響剪力1m1m4m1m 1m2m不不可可簡簡稱稱K截截面面剪剪力力斜率相等斜率相等剪力等于零處彎矩為極值點剪力等于零處彎矩為極值點相切相切x=17/846.062529171510Q圖圖(kN)181128321720M圖圖(kNm)25kN29kN10kN12kN22kN.m18kN.m8kN/mK51m1m2m2m4m40kN160kN80kN.m40kN/m斜率相等不相

19、圖圖(kN)340130210280160M圖圖(kNm)310kN130kN qqlqlq 0cos0qqll簡支斜梁計算q+q03-2-2 靜定梁靜定梁 2222qxxqlMqlYAooq lYA斜梁斜梁x qYAYAo2qlYA=222qxxqlM =M由整體平衡：由整體平衡：YA xMNQsinsin)2(oQxlqNcoscos)2(oQxlqQ由分離體平衡可得：由分離體平衡可得： 斜梁與相應的水平梁相比反力相同，對應截面彎矩相同，斜梁與相應的水平梁相比反力相同，對應截面彎矩相同，斜梁的軸力和剪力是水平梁的剪力的兩個投影。斜梁的軸力和剪力是水平梁的剪力的兩個

20、投影。2qlQqxo0l qMAMBMBMAql2/8 斜梁的彎矩圖也可用疊加法繪制，但疊加的是相應水平斜梁的彎矩圖也可用疊加法繪制，但疊加的是相應水平簡支梁的彎矩圖，豎標要垂直軸線。簡支梁的彎矩圖，豎標要垂直軸線。3-2-2 靜定梁靜定梁 q為為沿梁水平投影長度沿梁水平投影長度 上均布荷載的集度上均布荷載的集度, 在在 工程上對應如屋面活工程上對應如屋面活載、樓梯活載和積雪載、樓梯活載和積雪荷載等以水平投影面荷載等以水平投影面積計算的均布荷載。積計算的均布荷載。 q為為沿梁自身長度上沿梁自身長度上均布荷載的集度均布荷載的集度, 在在 工程上對應如結構工程上對應如結構自重、裝飾重量等自重、裝飾

21、重量等均布荷載。均布荷載。 均布荷載均布荷載q垂直于桿垂直于桿 件軸線件軸線, 在工程上對在工程上對 應如流體壓力形成應如流體壓力形成 的均布荷載。的均布荷載。 其內力可由以下隔離體的平衡條件求得：其內力可由以下隔離體的平衡條件求得： 3-2-2 靜定梁靜定梁 3-2-2 靜定梁靜定梁 3-2-2 靜定梁靜定梁 例例3-1 繪制圖示多跨靜定梁的內力圖。繪制圖示多跨靜定梁的內力圖。 例例3-1 繪制圖示多跨靜定梁的內力圖。繪制圖示多跨靜定梁的內力圖。 例例3-2 繪制圖示多跨靜定梁的彎矩圖。繪制圖示多跨靜定梁的彎矩圖。 3-2-3 靜定剛架靜定剛架 0, 6100 xxBFkNkNF16()xB

22、FkN0,66810320630ByAMFmkNmkNmkN mmm47( )yAFkN0, 68103206360AyBMkNmkNmkN mmmFm73( )yBFkN16kN47kN73kN6212()CEMkNmkN m左側受拉6QCEFkN0NCEF12()60CEQCENCEMkN mFkNF左拉3-2-3 靜定剛架靜定剛架 16kN47kN73kN12()60CEQCENCEMkN mFkNF左拉10330()CAMkNmkN m 左側受拉10QCAFkN 47NCAFkN 30()1047CAQCANCAMkN mFkNFkN 左拉3-2-3 靜定剛架靜定剛架 16kN47kN

23、73kN12()60CEQCENCEMkN mFkNF左拉30()1047CAQCANCAMkN mFkNFkN 左拉18()CDCACEMMMkN m 上側受拉47QCDNCAFFkN16NCDQCAQCEFFFkN 18()4716CDQCDNCDMkN mFkNFkN 上拉3-2-3 靜定剛架靜定剛架 16kN47kN73kN12()60CEQCENCEMkN mFkNF左拉30()1047CAQCANCAMkN mFkNFkN 左拉18()4716CDQCDNCDMkN mFkNFkN 上拉96()7316DCQDCNDCMkN mFkNFkN 上拉3-2-3 靜定剛架靜定剛架 16k

24、N47kN73kN12()60CEQCENCEMkN mFkNF左拉30()1047CAQCANCAMkN mFkNFkN 左拉18()4716CDQCDNCDMkN mFkNFkN 上拉96()7316DCQDCNDCMkN mFkNFkN 上拉()MkN m圖()QFkN圖()NFkN圖剛架內力的計算應遵循先附屬部分剛架內力的計算應遵循先附屬部分, 后基本部分的順序進行。后基本部分的順序進行。 ()MkN m圖例例3-3 繪制圖示剛架的內力圖。繪制圖示剛架的內力圖。 解：求支座反力；解：求支座反力； 0,0 xxAFF0,DM42252420yAFmkN mmmkN mmm9( )yAFk

25、N0,AM24222140yDkN mmmkN mmmFm3( )yDFkN09kN3kN求各桿端內力；求各桿端內力； BE桿端：桿端： 2214()BEMkN mmmkN m上側受拉224QBEFkN mkN 0NBEF4()40BEQBENBEMkN mFkNF 上拉BA桿端：桿端： 009BAABQBAQABNBAMMFFFkN 09kN3kN4()40BEQBENBEMkN mFkNF 上拉009BAABQBAQABNBAMMFFFkN BC桿：桿： 0QBCQCBFF22NBCNCByAFFFkN mm 945kNkNkN 由結點由結點B的力矩平衡條件以及桿件的力矩平衡條件以及桿件 剪力為零的條件可得：剪力為零的條件可得： 4()BCMkN m左側受拉4()CBBCMMkN m左側受拉4()05BCCBQBCQCBNBCNCBMMkN mFFFFkN 左拉09kN3kN4()40BEQBENBEMkN mFkNF 上拉009BAABQBAQABNBAMMFFFkN 4()05BCCBQBCQCBNBCNCBMMkN mFFFFkN 左拉斜桿斜桿CD： 4()CDMkN m上側受拉4cos35QDCyDFFkN 2.4kN 3sin35NDCyDFFkN 1.8kN 0,sin24sin0tNCDy