五年級(jí)同步奧數(shù)拓展精編版

1、第一講 整數(shù)問題第1課 數(shù)的整除一、 知識(shí)要點(diǎn)1. 整除因數(shù)、倍數(shù)ø 必要條件：（1）a、b、c三個(gè)數(shù)是整數(shù)（2）b0（3）a÷b=cø 結(jié)論：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，或b能整除a，則a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的因數(shù)。記作：ba整數(shù)a除以整數(shù)b（b0）等于c（c是整數(shù)且沒有余數(shù)），那么說a能被b整除，或b能整除a，a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的因數(shù)。2. 相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)回顧（1）0是任何整數(shù)的倍數(shù)。 （2）1是任何整數(shù)的因數(shù)。3. 數(shù)整除的性質(zhì)性質(zhì)1：如果a、b都能被m整除，那么它們的和與差也能被m整除。 即：如果ma，mb，那么m（a±b）。例如：如果210，

2、26，那么2（106），并且2（106）。性質(zhì)2：如果a能同時(shí)被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍數(shù)整除。即：如果ma，na，那么 m，na。例如：如果636，936，那么6，936。性質(zhì)3：如果m、n都能整除a，且m和n互質(zhì)，那么m與n的積能整除a。即：如果ma，na，且（m，n）=1，那么（m×n）a。例如：如果272，972，且（2，7）=1，那么1872。性質(zhì)4：如果a能整除b，b能整除m，那么a能整除m。 即：如果ab，bm，那么am。 例：如果714，1428，那么728。4. 數(shù)的整除特征 （1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)（即個(gè)位數(shù)是2、

3、4、6、8、0），那么它必能被2整除。（2）能被5整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除。（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。  例：1864能否被4整除？ 解：1864=1800+64，因?yàn)?64， 4是1864的因數(shù)，1864是4的倍數(shù)，所以41864。（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。

4、  例：29375能否被125整除？ 解：29375=29000+375，因?yàn)?25375，125是375的因數(shù)，375是125的倍數(shù)，所以12529375。（6）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除。(奇數(shù)位指：這個(gè)數(shù)的個(gè)位、百位、萬位；偶數(shù)位指：這個(gè)數(shù)的十位、千位、十萬位)例：判斷13574是否是11的倍數(shù)？ 解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（451）-（73）0。因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以110。因此13574是11的倍數(shù)。例：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？ 解

5、：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是97531=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是864220.因?yàn)?5205，又因?yàn)?1 5，所以11 123456789。（7）能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除。例：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù)。因?yàn)?059-282777，又因?yàn)?777，所以71059282。因此1059282是7的倍數(shù)。例：判斷3546725能否被13整除？解：把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2和821兩

6、個(gè)數(shù)，因?yàn)?212819，又13819，所以132821，進(jìn)而133546725。二、 典型例題詳解猜猜會(huì)是什么數(shù)？【例1】：一個(gè)856五位數(shù)，能被3、4、5整除，這樣的五位數(shù)中，最小的一個(gè)是多少？ 解：先將856，看做856ab。 3856ab，則38+5+6+a+b，319+a+b，a+b=2或a+b=5或a+b=8。 4856ab，則4ab，ab=偶數(shù) 5856ab，則b=0或b=5，又ab為偶數(shù)，b=0 a+b=2或a+b=5或a+b=8，且b=0，a=2或a=5或a=8 當(dāng)a=2，b=0時(shí)，這個(gè)數(shù)為85620；當(dāng)a=5，b=0時(shí)，這個(gè)數(shù)為85650；當(dāng)a=8，b=0時(shí)，這個(gè)數(shù)為856

7、80。 答：五位數(shù)中最小的一個(gè)是85620。【例2】：一本老賬本上記著：72只桶，共67.9元，其中處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請(qǐng)把這筆賬補(bǔ)上。 解：先將67.9，看做整數(shù)a679b。72=8×9，且（8，9）=1，8a679b，且9a679b。 若8a679b，則879b，所以b=2。 若9a679b，b=2，則9a6792，9a+6+7+9+2，9a+24，所以a應(yīng)是3。 所以這個(gè)數(shù)應(yīng)是 答：這筆賬應(yīng)是 元?！纠?】：173是一個(gè)四位數(shù)，在其中的方框中先后填入三個(gè)數(shù)字，所得到的三個(gè)四位數(shù)，依次可以被9、11、6整除。先后填入的三個(gè)數(shù)字的和是多少？方法一 試商法 解： 方法二 倍數(shù)特征解：

8、三、 課后作業(yè)1. 在中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使所組成的數(shù)能夠被4整除。784 7653 8633. 一個(gè)六位數(shù)2356是22的倍數(shù)，那么這樣的六位數(shù)中，最大的一個(gè)是多少？2. 71450至少加上多少后就能被4整除？4. 如果兩個(gè)數(shù)的和是64，這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差是多少5. 一位采購員買了同樣的72只熱水杯，可是發(fā)票不慎弄濕，單價(jià)無法辨認(rèn)，總價(jià)數(shù)字也不全，只能看出：173.元。你能算出熱水杯的單價(jià)嗎？第一講 整數(shù)問題第2課 倍數(shù)與因數(shù)（一）一、 知識(shí)要點(diǎn)1. 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。（素?cái)?shù)）合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的

9、因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2. 質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。 例：30分解質(zhì)因數(shù)。 解：30=2×3×5 答：2、3、5是30的質(zhì)因數(shù)。 ø分解質(zhì)因數(shù)的方法：可以用短除式來求質(zhì)因數(shù)ø100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（要會(huì)背的）：2、3、5、7、 11、13、 17、19、 23、29、 31、37、 41、43、 47、 53、59、 61、67、 71、73、 79、 83、89、 97.3. 公因數(shù)與公倍數(shù)公因數(shù)：幾個(gè)自然

10、數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）的，倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）的。幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）的，公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）的。4. 最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)最大公因數(shù)：在幾個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)中，最大的一個(gè)稱為這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 a、b的最大公因數(shù)=(a，b)最小公倍數(shù)：在幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)中，除零外最小的一個(gè)稱為這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 a、b的最小公倍數(shù)=a、b1 83 029335用公有的質(zhì)因數(shù)2除用公有的質(zhì)因數(shù)3除除到兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)為止15 （18，30）=2×3=6 18，30=2×3

11、15;3×5=90二、 典型例題詳解用短除法計(jì)算：【例1】五年級(jí)三個(gè)班分別有30、24、42人參加課外科技活動(dòng)，現(xiàn)在要把參加的人分成人數(shù)相等的小級(jí)，并且各班同學(xué)不能打亂，那么每組最多多少人？一共可以分成多少個(gè)小組？解： 30=2×3×5 24=2×3×2×2 42=2×3×7 （30，24，42）=2×3=6（人） 30÷6=5（個(gè)）24÷6=4（個(gè)）42÷6=7（個(gè)）547=16（個(gè)）答：每組最多可以分6人，一共可以分16個(gè)組?！纠?】有一種長16厘米，寬12厘米的塑料扣板

12、，如果用這種扣板拼成一個(gè)正方形，最少需要多少塊？用短除法計(jì)算：解：16=2×2×2×2 12=2×2×3 16，12=2×2×2×2×3 =48（厘米） 48÷16=3（塊） 48÷12=4（塊） 3×4=12（塊）答：最少需要12塊扣板?！纠?】甲對(duì)乙說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！鼻蟪黾住⒁椰F(xiàn)在的年齡。解：甲現(xiàn)在的年齡是乙的7倍，則甲的年齡比乙大6倍； 當(dāng)甲的年齡是乙的6倍時(shí)，則甲的年齡比乙大5倍； 當(dāng)甲的年

13、齡是乙的5倍時(shí)，則甲的年齡比乙大4倍； 當(dāng)甲的年齡是乙的4倍時(shí)，則甲的年齡比乙大3倍； 當(dāng)甲的年齡是乙的3倍時(shí)，則甲的年齡比乙大2倍； 當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時(shí)，則甲的年齡比乙大1倍；甲、乙的年齡差是6、5、4、3、2的公倍數(shù)。6，5，4，3，2=6×5×4×3×2=60（歲）60÷（7-1）=10（歲）10+60=70（歲）答：甲的年齡是70歲，乙的年齡是10歲。 【例4】寫出三個(gè)小于20的自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)為1，但兩兩均不互質(zhì)，共有幾組?解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)分別是a、b、c a、b、c兩兩不互質(zhì)，且a20，b20，c20，則兩兩間的質(zhì)因數(shù)互

14、不相同且乘積小于20 （a，b）=2或（a，b）=3 或（a，b）=5； （a，c）=2或（a，c）=3 或（a，c）=5； (b，c）=2或 (b，c）=3 或 (b，c）=5； a，b，c三數(shù)有可能是2×3=6，2×5=10，3×5=15，2×6=12，3×6=18。 又 （a，b，c）=1； （6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=答：共有三組，分別是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。三、 課后習(xí)題1. 求56，36，284的最小公倍數(shù)。3. 三個(gè)人繞環(huán)行跑道練習(xí)騎自行車，他

15、們騎一圈的時(shí)間分別為半分鐘、45秒鐘、1分15秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需要多長時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)5. 把一張長120cm，寬80cm的長方形紙裁成同樣大小的正方形(紙不能有剩余)，至少能裁成多少張這樣的正方形紙，每張裁成的紙是多大？2. 有336個(gè)蘋果、252個(gè)梨子、210個(gè)桔子，用這三種水果最多可以分成多少份相同的禮物？每份禮物中，三種水果各占多少？4. 有一個(gè)表，每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)時(shí)響一次鈴。中午12點(diǎn)時(shí)既亮燈又響鈴。下次既亮燈又響鈴在幾點(diǎn)？6. 用一個(gè)數(shù)去除31，61，76都余1，這個(gè)數(shù)最大是多少？第3課 倍數(shù)與因數(shù)（二）一、 知識(shí)要點(diǎn)1. 最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之間的

16、關(guān)系定理一：兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商互質(zhì)。 即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1定理二：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。 即：a，b×（a，b）=a×b定理三：兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)二、 典型例題詳解【例1】甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，求乙數(shù)。解：設(shè)乙數(shù)是a 36×a=4×288 a=4×288÷36 a=32 答：乙數(shù)是32?！揪氁痪殹考讛?shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90，且小數(shù)不能整除大數(shù)，求

17、這兩個(gè)數(shù)?！纠?】已知兩數(shù)的最大公因數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？ 解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為a、b 126÷21=6 6=3×2 或 6=1×6 a=3×21=63 a=1×21=21b=2×21=42 b=6×21=126 63+21=84 21+126=147 答：這兩個(gè)數(shù)的和是84或147?！揪氁痪殹績蓚€(gè)自然數(shù)的和是56，它們的最大公因數(shù)是7，求這兩個(gè)數(shù)?！纠?】兩個(gè)自然數(shù)的和是50，它們的最大公因數(shù)是5，求這兩個(gè)數(shù)的差。 解：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)分別是5a、5b 5a+5b=50 a+b=10 (a，b)

18、=1且a+b=10 或 當(dāng)時(shí)，5a=5，5b=45 5b-5a=40當(dāng)時(shí)，5a=15，5b=35 5b-5a=20 答：這兩個(gè)數(shù)的差是40或20.【練一練】已知兩個(gè)自然數(shù)的積是5766，它們的最大公因數(shù)是31，求這兩個(gè)數(shù)。【例4】兩個(gè)自然數(shù)的和是54，它們的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是114，求這兩個(gè)自然數(shù)。解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)是A、B 。且A=am；B=bm A+B=54 ，則am+bm=54 m(a+b)=54 (A、B)=m；a、b為A、B兩數(shù)的非有公因數(shù)，(a、b)=1 A、B=m×a×b A、B(A、B)=114，則m×a×bm=114 m(ab1)

19、=114 m(a+b)=54且m(ab1)=114 則m是54和114的公因數(shù) 又（54，114）=6，6=1×6=2×3 m=1或m=6或m=2或m=3 如果m=1，則1×(a+b)=54，a+b=54； 1×(ab1)=114，ab=115 115=1×115或115=5×23 115+154 且5+2354 m1 如果m=6，則6×(a+b)=54，a+b=9； 6×(ab1)=114，ab=20 (a、b)=1，則20=1×20或20=4×5 1+209，4+5=9 則m=6，a=4，b

20、=5；A=4×6=24，B=5×6=30 如果m=2，則2×(a+b)=54，a+b=27 2×(ab1)=114，ab=58(a、b)=1，則58=1×58或58=2×291+5827且2+2927m2（接【例4】）如果m=3，則3×(a+b)=54，a+b=18 3×(ab1)=114，ab=39(a、b)=1，則是39=1×39或58=3×131+3918且3+1316m3 答：這兩個(gè)自然數(shù)是24和30?！揪氁痪殹績蓚€(gè)數(shù)的差是4，最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積是252，求這兩個(gè)數(shù)。三、 課后作

21、業(yè)（1）某數(shù)與24的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是168，這個(gè)數(shù)是多少？（2）已知兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)為4，最小公倍數(shù)為120，求這兩個(gè)數(shù)。（3）兩個(gè)數(shù)的和是70，它們的最大公因數(shù)是7，求這兩個(gè)數(shù)的差是多少？（4）已知兩個(gè)自然數(shù)的差為48，它們的最小公倍數(shù)為60，求這兩個(gè)數(shù)。（5）兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是18，最小公倍數(shù)是180，兩個(gè)數(shù)的差是54，求兩個(gè)數(shù)的和。（6）已知兩個(gè)自然數(shù)的差為30，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為450，求這兩個(gè)自然數(shù)。（7）兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72，這兩個(gè)數(shù)的和是多少？（8）兩個(gè)自然數(shù)的差是3，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積是180，求這兩個(gè)數(shù)。

22、復(fù)習(xí)練習(xí) 第2課 （1）有一種地磚，長20厘米，寬15厘米，至少需要多少塊這樣的地磚才能拼成一個(gè)實(shí)心的正方形？（2）一箱雞蛋，四個(gè)四個(gè)數(shù)多3個(gè)，五個(gè)五個(gè)數(shù)多4個(gè)，七個(gè)七個(gè)數(shù)多6個(gè)，這箱雞蛋至少有多少個(gè)？（10）已知a與b、a與c的最大公因數(shù)分別是12和15，a、b、c的最小公倍數(shù)是120，求a、b、c。（3）有一個(gè)班的同學(xué)包車旅游，如果增加一輛車，正好每輛車坐10人，如果減少一輛車，正好每輛車坐15人，這個(gè)班共有多少人？（4）一條路長96米，從一端起，每隔4米栽一棵樹（路兩旁都栽）?，F(xiàn)要再每隔6米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，這條路上共需新栽多少棵樹？第二講 圖形的面積第1課 巧求圖形面積一、

23、 知識(shí)要點(diǎn)1. 基本平面圖形特征及面積公式特征面積公式正方形四條邊都相等。四個(gè)角都是直角。有四條對(duì)稱軸。S=a2長方形對(duì)邊相等。四個(gè)角都是直角。有二條對(duì)稱軸。S=ab平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等。對(duì)角相等，相鄰的兩個(gè)角之和為180°平行四邊形容易變形。S=ah三角形兩邊之和大于第三條邊。兩邊之差小于第三條邊。三個(gè)角的內(nèi)角和是180°。有三條邊和三個(gè)角，具有穩(wěn)定性。S=ah÷2形只有一組對(duì)邊平行。中位線等于上下底和的一半。S=(a+b)h÷22. 基本解題方法：由兩個(gè)或多個(gè)簡單的基本幾何圖形組合成的組合圖形，要計(jì)算這樣的組合圖形面積，先根據(jù)圖形的基本關(guān)系，

24、再運(yùn)用分解、組合、平移、割補(bǔ)、添輔助線等幾種方法將圖形變成基本圖形分別計(jì)算。二、 典型例題詳解【例1】已知平行四邊表的面積是28平方厘米，求陰影部分的面積?！揪氁痪殹咳绻描F絲圍成如下圖一樣的平行四邊形，需要用多少厘米鐵絲？（單位：厘米）【例2】下圖中甲和乙都是正方形，求陰影部分的面積。（單位：厘米）【練一練】求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）平行四邊形ABCD的邊長BC=10厘米，【例3】如圖所示，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，求CE的長度。直角三角形BCE的直角邊EC長8厘米，已知陰影部分的面積比三角形EFG的面積大10平方厘米。求CF的長?！揪氁痪殹俊纠?】兩條對(duì)角線把梯

25、形ABCD分割成四個(gè)三角形。已知兩個(gè)三角形的面積（如圖所示），求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？（單位：厘米）B【練一練】下面的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中點(diǎn)，求梯形ABCD的面積是三角形EDB面積的多少倍？一個(gè)長方形的草坪，中間有兩個(gè)人行道。高是14求草坪的面積。(單位：厘米)3228【練一練】【練一練】計(jì)算下面圖形的面積。三、 課后作業(yè)下面的梯形中，陰影部分面積是150平方厘米，求梯形的面積。13.求圖中陰影部分的面積。單位：厘米正方形ABCD的邊長是12厘米，已知DE是EC長度的2倍，求：（1） 三角形DEF的面積。（2） CF的長。2. 正方形ABCD的面積是100平方厘

26、米，AE=8厘米，CF=6厘米，求陰影部分的面積。5. 4.梯形ABCD的面積是45平方厘米，高6厘米。三角形AED的面積是5平方厘米，BC=10厘米，求陰影部分的面積。6.求圖形中梯形ABCD的面積。（單位：厘米）第2課 等積變形求面積一、 知識(shí)要點(diǎn)等底等高的三角形面積相等平行四邊形 如果兩個(gè)三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的2倍，大三角形高是小三角形高的 。 如果兩個(gè)三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的3倍，大三角形高是小三角形高的 。 如果兩個(gè)三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的4倍，大三角形高是小三角形高的 。 如果兩個(gè)三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的n倍

27、，大三角形高是小三角形高的 。 如果兩個(gè)平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的2倍，大平行四邊形高是小平行四邊形高的 。 如果兩個(gè)平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的3倍，大平行四邊形高是小平行四邊形高的 。 如果兩個(gè)平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的4倍，大平行四邊形高是小平行四邊形高的 。 如果兩個(gè)平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的n倍，大平行四邊形高是小平行四邊形高的 。二、 典型例題分析【例1】四邊形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，N為CD的中點(diǎn)，如果四邊形ABCD的面積是80平方厘米，求陰影部分BN

28、DM的面積是多少？【練一練】如圖，六邊形ABCDEF的面積是16平方厘米，M、N、P、Q分別是AB、CD、DE、AF的中點(diǎn)。求圖中陰影部分的面積。【例2】如圖，平行四邊形ABCD中，AE=EF=FB，AG=2CG，三角形GEF的面積是6平方厘米，平行四邊形的面積是多少平方厘米？【練一練】如圖，在一個(gè)等邊三角形中任意取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，過P點(diǎn)作三角形的垂線，E、F、G分別為垂足。三角形ABC被分成6個(gè)三角形。已知三角形ABC的面積為40平方厘米，求圖中陰影部分的面積。【例3】下圖中正方形ABCD的邊長是4厘米，長方形DEFG的長DG=5厘米，問長方形的寬DE為多少厘米？【練一練】兩個(gè)

29、相同的直角三角形疊放在一起，求陰影部分的面積。（單位：分米）【例4】兩個(gè)正方形拼成一個(gè)圖形，其中小正方形的邊長是4厘米，求陰影部分的面積?！揪氁痪殹?如圖，AE=ED，AF=FC，已知ABC的面積為100平方 厘米，求陰影部分的面積。三、 課后作業(yè)1.平行四邊形的面積為50平方厘米，P是其中任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積。2. 長方形ABCD，三角形ABG的面積為20平方厘米，三角形CDQ的面積為35平方厘米，求陰影部分的面積。3.ABCD是直角梯形，其中AD=12厘米，AB=8厘米，BC=15厘米，且三角形ADE、四邊形DEBF及三角形CDF的面積相等，三角形EBF（陰影部分）的面積是多少？4.

30、如圖，AD=2AB，CF=3AC，BE=4BC，已知ABC的面積為5平方厘米，求DEF的面積。5.如圖，AB=4厘米，BC=6厘米，AC=2CD，BE=BD，求三角形ADE的面積。6.圖中BD=2DC，AE=BE，已知三角形ABC的面積是18平方厘米，求四邊形AEDC的面積是多少？第三講 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)第1課 分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)一、 知識(shí)要點(diǎn)1. 分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。（分母表示把一個(gè)物體平均分成幾份,分子是表示這樣幾份的數(shù)。把1平均分成分母份，表示這樣的分子份。）分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位

31、。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分子與分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。2. 分?jǐn)?shù)的分類 真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)，叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)大于1。 假分?jǐn)?shù)：分子大于或者等于分母的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。 帶分?jǐn)?shù)：帶分?jǐn)?shù)就是將一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)部分+一個(gè)真分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互換：帶分?jǐn)?shù) 假分?jǐn)?shù)：分母不變,分子為整數(shù)部分乘以分母的積再加上原分子的和。 例：=假分?jǐn)?shù) 帶分?jǐn)?shù)：分母不變,整數(shù)部分為原分子除以分母的商,分子則為原分子除以分母的余數(shù)。 例：=帶分?jǐn)?shù) 真分?jǐn)?shù)3. 計(jì)算方法：分?jǐn)?shù)加減法（1） 同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，即分?jǐn)?shù)單位不變，分子相加減，最后要化成最簡分?jǐn)?shù)。 例：=（

32、2） 異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，即運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，改變其分?jǐn)?shù)單位而大小不變，再按同分母分?jǐn)?shù)相加減法去計(jì)算，最后要化成最簡分?jǐn)?shù)。 例：=分?jǐn)?shù)乘除法（1） 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，分母不變，分子乘整數(shù)，最后要化成最簡分?jǐn)?shù)。 例：=（2） 分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最簡分?jǐn)?shù)。 例：=（3） 分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分母不變，如果分子是整數(shù)的倍數(shù)，則用分子除以整數(shù)，最后要化成最簡分?jǐn)?shù)。 例：=（4） 分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分母不變，如果分子不是整數(shù)的倍數(shù)，則用這個(gè)分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，最后要化成最簡分?jǐn)?shù)。 例：=（5） 分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)，最后不是最簡分?jǐn)?shù)要

33、化成最簡分?jǐn)?shù)。 例：=二、 典型例題分析【例1】分母是91的真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？最簡真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？【練一練1】分子、分母的乘積是420的最簡真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？【例2】把一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子加上1，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1。（1）如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上1，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于，原分?jǐn)?shù)是多少？（2）如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于，原分?jǐn)?shù)是多少？【練一練2】一個(gè)分?jǐn)?shù)約分成最簡分?jǐn)?shù)是，原分子、分母的和是90，原分?jǐn)?shù)是多少？【例3】分?jǐn)?shù)的分子和分母都減去同一個(gè)整數(shù)，所得的分?jǐn)?shù)約分后是，求那個(gè)整數(shù)是多少？【練一練3】一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，如果分母加上4，這個(gè)分?jǐn)?shù)約分后是，原來這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少

34、？【例4】分?jǐn)?shù)的分子減去某數(shù)，而分母同時(shí)加上這個(gè)數(shù)后，所得的新分?jǐn)?shù)化簡后為，求某數(shù)。【練一練4】一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子加上1可約分為，分子減去1可約分為，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。【練一練5】分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加一個(gè)自然數(shù)，新分?jǐn)?shù)化簡得一個(gè)分?jǐn)?shù)；求這個(gè)自然數(shù)?！揪氁痪?】是最簡真分?jǐn)?shù)，可取的整數(shù)共有多少個(gè)？三、 課后作業(yè)【1】分母是51的真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？最簡真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？【2】一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子縮小5倍，分母擴(kuò)大9倍后是，原分?jǐn)?shù)是多少？【3】的分子、分母同時(shí)加上多少后可以約分為？【4】一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上16，分母減去166，那么約分后是；如果分子加上124，分母加上340，那么約分后是，求原分?jǐn)?shù)是多少？【5

35、】填空題：（列式、計(jì)算、填空）(1)一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)的分子、分母之積是30，這個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)是 。(2)分母是85的真分?jǐn)?shù)共有 個(gè)，分母是85的最簡真分?jǐn)?shù)共有 個(gè)。(3)一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)，把它的分母擴(kuò)大5倍，而分子縮小4倍，化簡后是，求這個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)是 。（4）一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)，分子、分母之和是15，這個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)是 。【6】一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母是兩個(gè)相鄰的奇數(shù)，如果分母加上3后，這個(gè)分?jǐn)?shù)約分為，求原分?jǐn)?shù)是多少？【7】分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加同一個(gè)自然數(shù)，新分?jǐn)?shù)化簡后得，求這個(gè)自然數(shù)。第2課 比較分?jǐn)?shù)大小一、 知識(shí)要點(diǎn)1. 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分子與分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的

36、大小不變。2. 比較分?jǐn)?shù)大小的基本方法 分母相同：分母相同的分?jǐn)?shù)，比較分子，分子大的分?jǐn)?shù)大。 分子相同：分子相同的分?jǐn)?shù)，比較分母，分母小的分?jǐn)?shù)大。 假分?jǐn)?shù)與真分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)大于真分?jǐn)?shù)。3. 分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)：先通分，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。4. 比較分?jǐn)?shù)大小的巧算： “通分子” 當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。 化為小數(shù)。這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時(shí)是否簡便，就要看具體情況了。 先約分，后比較。有時(shí)已知分?jǐn)?shù)不是最簡分?jǐn)?shù)，可以先約分。

37、 倒數(shù)比較大小。分?jǐn)?shù)m和n，如果，那么mn。 大分?jǐn)?shù)比較大小若兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、則分母與分子相加得到的和較大的分?jǐn)?shù)比較大；若兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，則分母與分子相加得到的和較小的分?jǐn)?shù)比較大。 借助第三個(gè)數(shù)比較大小 °對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若m-kn-k，則mn。°對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若mk，kn，則mn。°對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若k-mk-n，則mn。5. 典型8例題【例1】把下面每組中的分?jǐn)?shù)按從大到小的順序排列。（1）、 8，12，20，60=120 = = = = （2）、 30，15，20，12=60 = = = = 【練一練1】把下面的分?jǐn)?shù)按從小到大

38、的順序排列：、分?jǐn)?shù)、中，哪一個(gè)最大？【例2】比較和的大小 1= 1= 【例3】已知a=，b=（m，n都是非零自然數(shù)，且mn），a，b的大小關(guān)系是（ ）A. 可能a=b B. a一定大于b C. 有時(shí)ab D. a一定小于b如果a=，b=，ba如果a=，b=，ba【練一練2】比較和的大小【練一練3】下列分?jǐn)?shù)中最大的是（ ） A. B. C. D. 【例4】比大，比小，分子是17的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？ 2，1，17=34 = = 17×2=34 119÷2=591 102÷2=51 答：分母可以是：51，52，53，54，55，56，57，58，59共8個(gè)?！揪氁痪?】在

39、下面的中填入適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使不等式成立?！揪氁痪?】在、這四個(gè)分？、數(shù)中，最大的是哪個(gè)？最小的是哪個(gè)？【練一練6】寫出三個(gè)大于而小于的最簡真分?jǐn)?shù)?！揪氁痪?】分子是3，比小，但與最接近的分?jǐn)?shù)是哪一個(gè)？【練一練8】已知，c、g為連續(xù)自然數(shù)，求c和g。二、課后作業(yè)【1】將、從小到大排列，排在第三個(gè)位置上的數(shù)是多少？【2】把五個(gè)分?jǐn)?shù)、按從小到大的順序排列?！?】設(shè)a=，b=，試比較a與b的大小。【4】在下面的 中填入適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使不等式成立。里應(yīng)填的整數(shù)有哪些？0.250.26【5】比較和的大小?！?】比大，比小，分母是40的最簡分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？【7】比較與的大小?！?】有七個(gè)數(shù)，是，其中的五個(gè)，已知從

40、小到大排的第三個(gè)是，求從大到小排的第三個(gè)數(shù)。第四講 行程問題第1課 行程中的追及問題一、 知識(shí)要點(diǎn)1. 行程中的基本數(shù)量關(guān)系：路程=速度×時(shí)間2. 追及問題中的基本數(shù)量關(guān)系：路程差（追及路程）=速度差×追及時(shí)間路程差（追及路程）÷速度差=追及時(shí)間路程差（追及路程）÷追及時(shí)間=速度差3. 追及問題中的應(yīng)注意的規(guī)律： 追趕者所用的時(shí)間=被追趕都所用的時(shí)間=追及時(shí)間二、 典型例題追及時(shí)間【例1】一輛面包車的速度是每小時(shí)60千米，在面包車開出30分鐘后，一輛小轎車以每小時(shí)84千米的速度從同一地點(diǎn)出發(fā)沿著同一路線行駛?cè)プ汾s面包車，多長時(shí)間能追上？先行30分鐘小轎車

41、面包車追及時(shí)間追 及 路 程 60×（30÷60）=30（千米） 30÷（84-60）=1.25（小時(shí)） 1.25小時(shí)=1小時(shí)15分鐘答：小轎車需要1小時(shí)15分鐘追上面包車。解題過程中用到的公式路程差（追及路程）÷速度差=追及時(shí)間【練一練1】一個(gè)人騎自行車，一個(gè)人騎摩托車，兩人同時(shí)從甲地出發(fā)去乙地。自行車每小時(shí)行18千米，摩托車每小時(shí)行45千米。自行車先出發(fā)1.5小時(shí)，摩托車沿著同一條路線追趕自行車，追上自行車時(shí)，摩托車行了多少千米？【例2】甲、乙兩車同時(shí)、同地出發(fā)去同一目的地，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行35千米。途中甲車因故障修車用了3小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車遲1小時(shí)到達(dá)目的地。兩地間的路程是多少千米？ 35×（3-1）=35×2=70（千米） 70÷（40-35）=70÷5=14（小時(shí)） 40×14=560（千米） 答：兩地間的路程是560千米?！揪氁痪?】紅星小學(xué)組織學(xué)生步行去郊游，步行的速度是每分鐘60米，隊(duì)尾的老師以每分鐘150米的速度趕到排頭，然后立即返回共用的了10分鐘，學(xué)生的隊(duì)伍有多長？【例3】兄弟兩人同時(shí)離家去上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘了帶課本，立即沿