matlab曲線擬合方法大全

1、曲線擬合工具箱曲線擬合定義曲線擬合定義在實際工程應用和科學實踐中，經常需要尋求在實際工程應用和科學實踐中，經常需要尋求兩個（或多個）變量間的關系，而實際去只能兩個（或多個）變量間的關系，而實際去只能通過觀測得到一些離散的數據點。針對這些分通過觀測得到一些離散的數據點。針對這些分散的數據點，運用某種你和方法生成一條連續(xù)散的數據點，運用某種你和方法生成一條連續(xù)的曲線，這個過程稱為曲線擬合。的曲線，這個過程稱為曲線擬合。曲線擬合可分為：曲線擬合可分為： （1）參數擬合）參數擬合 - 最小二乘法最小二乘法 （2）非參數擬合）非參數擬合 - 插值法插值法一、數據預處理一、數據預處理在曲線擬合之前必須對數

2、據進行預處理，去在曲線擬合之前必須對數據進行預處理，去除界外值、不定值和重復值，以減少人為誤除界外值、不定值和重復值，以減少人為誤差，提高擬合的精度。差，提高擬合的精度。數據預處理包括：數據預處理包括：（1）數據輸入與查看）數據輸入與查看（2）數據的預處理）數據的預處理傳輸數據通過數據傳輸數據通過數據GUI來實現，查看數據點來實現，查看數據點通過曲線擬合工具的散點圖來實現。通過曲線擬合工具的散點圖來實現。1.輸入和查看數據集輸入和查看數據集（1）打開曲線擬合工具界面）打開曲線擬合工具界面 通過通過cftool命令打開曲線擬合工具界面命令打開曲線擬合工具界面5個命令按鈕個命令按鈕Data按鈕：可

3、輸出、查看和平滑數據；按鈕：可輸出、查看和平滑數據；Fitting按鈕：可擬合數據、比較擬合曲線和按鈕：可擬合數據、比較擬合曲線和數據集；數據集；Exclude按鈕：可以從擬合曲線中排除特殊按鈕：可以從擬合曲線中排除特殊的數據點；的數據點；Ploting按鈕：在選定區(qū)間后，單擊按鈕，按鈕：在選定區(qū)間后，單擊按鈕，可以顯示擬合曲線和數據集；可以顯示擬合曲線和數據集；Analysis按鈕：可以做內插法、外推法、按鈕：可以做內插法、外推法、微分或積分擬合。微分或積分擬合。（2）輸入數據集）輸入數據集 在輸入數據之前，數據變量必須存在于在輸入數據之前，數據變量必須存在于matlab的工作區(qū)間?？梢酝ㄟ^

4、的工作區(qū)間?？梢酝ㄟ^load命令輸命令輸入變量。單擊曲線擬合工具界面中的入變量。單擊曲線擬合工具界面中的Data按鈕，打開按鈕，打開Data對話框，在對話框中進行設對話框，在對話框中進行設置，可以輸入數據。置，可以輸入數據。Data對話框對話框包括兩個選項卡：包括兩個選項卡：Data Sets 和和 Smooth.Data Sets選項卡：選項卡：.Import workspace vectors 把向量輸把向量輸入工作區(qū)，要注意的是變量必須具有相同的入工作區(qū)，要注意的是變量必須具有相同的維數，無窮大的值和不定值被忽略。維數，無窮大的值和不定值被忽略。X data 用于選擇觀測數據用于選擇觀測

5、數據Y data 用于選擇用于選擇X的響應數據的響應數據Weight 用于選擇權重，與響應數據相聯系用于選擇權重，與響應數據相聯系的向量，如果沒選擇，默認值為的向量，如果沒選擇，默認值為1.Preview 對所選向量進行圖形化預覽對所選向量進行圖形化預覽.Data set name 設置數據集的名稱。工設置數據集的名稱。工具箱可以隨即產生唯一的文件名，但用戶具箱可以隨即產生唯一的文件名，但用戶可以重命名?？梢灾孛?。.Data sets 選項以列表的形式顯示所有擬選項以列表的形式顯示所有擬合的數據集。當選擇一個數據集時，可以合的數據集。當選擇一個數據集時，可以對它做如下操作：對它做如下操作：

6、.View 查看數據集，以圖標形式和列表形查看數據集，以圖標形式和列表形式，可以選擇方法排除異常值；式，可以選擇方法排除異常值； .Rename 重命名重命名 .Delete 刪除數據組刪除數據組例：輸入數據，采用例：輸入數據，采用matlab自帶的文件自帶的文件censuscensus 有兩個變量：有兩個變量：cdate和和pop。 cdate是一個年向量，包括是一個年向量，包括1790-1990年，年， pop是對應年份的美國人口。是對應年份的美國人口。 whos -file census Name Size Bytes Class Attributes cdate 21x1 168 do

7、uble pop 21x1 168 double load census cftool(cdate,pop)散點圖散點圖單擊單擊Data按鈕按鈕在在X data和和Y data兩個下拉式列表框中選兩個下拉式列表框中選擇變量名，將在擇變量名，將在Data對話框中顯示散點圖的對話框中顯示散點圖的預覽效果：預覽效果：當選擇當選擇Data sets列表框中的數據集時，單列表框中的數據集時，單擊擊View按鈕，打開按鈕，打開View Data Set對話框對話框工作表方式工作表方式2.數據的預處理數據的預處理在曲線擬合工具箱中，數據的預處理主要包在曲線擬合工具箱中，數據的預處理主要包括平滑法、排除法和區(qū)

8、間排除法等。括平滑法、排除法和區(qū)間排除法等。(1)平滑數據平滑數據打開擬合工具箱，單擊打開擬合工具箱，單擊Data按鈕，打開按鈕，打開Data對話框，選擇對話框，選擇Smooth選項卡選項卡Smooth選項卡各選項的功能：選項卡各選項的功能：.Original data set 用于挑選需要擬合的用于挑選需要擬合的數據集；數據集；.Smoothed data set平滑數據的名稱；平滑數據的名稱；.Method用于選擇平滑數據的方法，每一個用于選擇平滑數據的方法，每一個相應數據用通過特殊的曲線平滑方法所計相應數據用通過特殊的曲線平滑方法所計算的結果來取代。平滑數據的方法包括：算的結果來取代。平

9、滑數據的方法包括：（）Moving average 用移動平均值進用移動平均值進行替換；行替換；（）Lowess局部加權散點圖平滑數據，局部加權散點圖平滑數據，采用線性最小二乘法和一階多項式擬合得采用線性最小二乘法和一階多項式擬合得到的數據進行替換；到的數據進行替換；（）Loess局部加權散點圖平滑數據，采局部加權散點圖平滑數據，采用線性最小二乘法和二階多項式擬合得到用線性最小二乘法和二階多項式擬合得到的數據進行交換；的數據進行交換；（）Savitzky-Golay 采用未加權的線采用未加權的線性最小二乘法過濾數據，利用指定階數的性最小二乘法過濾數據，利用指定階數的多項式得到的數據進行替換；多

10、項式得到的數據進行替換；（）Span用于進行平滑計算的數據點的用于進行平滑計算的數據點的數目；數目；（）Degree 用于用于Savitzky-Golay方方法擬合多項式的階數。法擬合多項式的階數。.Smoothed data sets 對于所有平滑數對于所有平滑數據集進行列表?？梢栽黾悠交瑪祿?，通據集進行列表?？梢栽黾悠交瑪祿ㄟ^單擊過單擊Create smoothed data set按按鈕，可以創(chuàng)建經過平滑的數據集。鈕，可以創(chuàng)建經過平滑的數據集。.View按鈕按鈕 打開查看數據集的打開查看數據集的GUI，以散點，以散點圖方式和工作表方式查看數據，可以選擇圖方式和工作表方式查看數據，

11、可以選擇排除異常值的方法。排除異常值的方法。.Rename用于重命名。用于重命名。.Delete可刪去數據組?？蓜h去數據組。.Save to workspace保存數據集。保存數據集。（2）排除法和區(qū)間排除法）排除法和區(qū)間排除法排除法是對數據中的異常值進行排除。排除法是對數據中的異常值進行排除。區(qū)間排除法是采用一定的區(qū)間去排除那些用區(qū)間排除法是采用一定的區(qū)間去排除那些用于系統誤差導致偏離正常值的異常值。于系統誤差導致偏離正常值的異常值。在曲線擬合工具中單擊在曲線擬合工具中單擊Exclude按鈕，可以按鈕，可以打開打開Exclude對話框對話框Exclusion rule name指定分離規(guī)則的

12、名稱指定分離規(guī)則的名稱Existing exclusion rules列表產生的文件列表產生的文件名，當你選擇一個文件名時，可以進行如下操名，當你選擇一個文件名時，可以進行如下操作：作： Copy 復制分離規(guī)則的文件；復制分離規(guī)則的文件； Rename重命名；重命名；delete 刪去一個文件；刪去一個文件； View以圖形的形式展示分離規(guī)則的文件。以圖形的形式展示分離規(guī)則的文件。Select data set 挑選需要操作的數據集；挑選需要操作的數據集；Exclude graphically允許你以圖形的形式去允許你以圖形的形式去除異常值，除異常值，排除個別的點用排除個別的點用“”標記標記。

13、Check to exclude point 挑選個別的點挑選個別的點進行排除，可以通過在數據表中打勾來選進行排除，可以通過在數據表中打勾來選擇要排除的數據。擇要排除的數據。Exclude Sections 選定區(qū)域排除數據：選定區(qū)域排除數據： Exclude X選擇預測數據選擇預測數據X要排除的數據要排除的數據范圍；范圍； Exclude Y選擇響應數據選擇響應數據Y要排除的數據要排除的數據范圍。范圍。（3）其他數據預處理方法）其他數據預處理方法其他的預處理方法不便通過曲線擬合工具箱其他的預處理方法不便通過曲線擬合工具箱來完成，主要包括兩部分：來完成，主要包括兩部分：響應數據的轉換和去除無窮

14、大、缺失值和異響應數據的轉換和去除無窮大、缺失值和異常值。常值。響應數據的轉換一般包括對數轉換、指數轉響應數據的轉換一般包括對數轉換、指數轉換，用這些轉換可以換，用這些轉換可以使非線性的模型線性使非線性的模型線性化，便于曲線擬合化，便于曲線擬合。變量的轉換一般在命令。變量的轉換一般在命令行里實現，然后把轉換后的數據輸入曲線擬行里實現，然后把轉換后的數據輸入曲線擬合工具箱，進行擬合。合工具箱，進行擬合。無窮大、不定值在曲線擬合中可以忽略，如無窮大、不定值在曲線擬合中可以忽略，如果想把他們從數據集中刪除，可以用果想把他們從數據集中刪除，可以用isinf和和isnan置換無窮大值和缺失值。置換無窮大

15、值和缺失值。二、曲線擬合二、曲線擬合Matlab提供兩種曲線擬合方法：提供兩種曲線擬合方法：（1）以函數的形式，使用命令對數據進行）以函數的形式，使用命令對數據進行擬合。這種方法比較繁瑣，需要對擬合函擬合。這種方法比較繁瑣，需要對擬合函數有比較好的了解。數有比較好的了解。（2）用圖形窗口進行操作，具有簡便、快）用圖形窗口進行操作，具有簡便、快速，可操作性強的優(yōu)點。速，可操作性強的優(yōu)點。1.多項式擬合函數多項式擬合函數(1)Polyfit函數函數P=polyfit(x,y,n)用最小二乘法對數據進行擬合，返回用最小二乘法對數據進行擬合，返回n次多次多項式的系數，并用降序排列的向量表示，長項式的系

16、數，并用降序排列的向量表示，長度為度為n+1.1121)(nnnnpxpxpxpxpp,s=polyfit(x,y,n)返回多項式系數向量返回多項式系數向量p和矩陣和矩陣s。s與與polyval函數一起用時，可以得到預測值的函數一起用時，可以得到預測值的誤差估計。如數據誤差估計。如數據y的誤差服從方差為常數的的誤差服從方差為常數的獨立正態(tài)分布，獨立正態(tài)分布，polyval函數將生成一個誤函數將生成一個誤差范圍，其中包含至少差范圍，其中包含至少50%的預測值的預測值.p,s,mu=polyfit(x,y,n)返回多項式的系數，返回多項式的系數，mu是一個二維向量是一個二維向量u1,u2,u1=m

17、ean(x),u2=std(x),對對數據進行預處理數據進行預處理 x=(x-u1)/u2(2)Polyval函數函數利用該函數進行多項式曲線擬合評價利用該函數進行多項式曲線擬合評價y=polyval(p,x)返回返回n階多項式在階多項式在x處的值，處的值，x可以是一個矩可以是一個矩陣或者是一個向量，向量陣或者是一個向量，向量p是是n+1個以降序個以降序排列的多項式的系數。排列的多項式的系數。.y=polyval(p,x,mu)用用x=(x-u1)/u2代替代替x，其中，其中mu是一個是一個二維向量二維向量u1,u2,u1=mean(x),u2=std(x),通過這通過這樣處理數據，使數據合理

18、化。樣處理數據，使數據合理化。y,delta=polyval(p,x,s)y,delta=polyval(p,x,s,mu)產生置信區(qū)間產生置信區(qū)間ydelta。如果誤差結果服從。如果誤差結果服從標準正態(tài)分布，則實測數據落在標準正態(tài)分布，則實測數據落在ydelta區(qū)區(qū)間內的概率至少為間內的概率至少為50%。例例 x=0 0.0385 0.0963 0.1925 0.2888 0.385; y=0.042 0.104 0.186 0.338 0.479 0.612; p,s,mu=polyfit(x,y,5)輸出結果為：輸出結果為：p = Columns 1 through 5 0.0193 -

19、0.0110 -0.0430 0.0073 0.2449 Column 6 0.2961說明擬合的多項式為：說明擬合的多項式為：2961. 02449. 00073. 0043. 00110. 00193. 02345 xxxxxs = R: 6x6 double df: 0 normr: 2.3684e-016mu = 0.1669 0.1499自由度為自由度為 0 標準偏差為標準偏差為 2.3684e-016例例:根據表中數據進行根據表中數據進行4階多項式擬合階多項式擬合X1345678910F(x) 10 54211234 x=1 3 4 5 6 7 8 9 10; y=10 5 4 2

20、 1 1 2 3 4; p,s=polyfit(x,y,4); y1=polyval(p,x); plot(x,y,go,x,y1,b-)1234567891012345678910 poly2str(p,t)ans = -0.0049945 t4 + 0.11461 t3 - 0.61143 t2 - 1.1005 t + 11.5499例：電阻和溫度的關系數據如下例：電阻和溫度的關系數據如下求求60度時的電阻度時的電阻.溫度溫度 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻電阻 765 826 873 942 1032 T=20.5 32.7 51 73 95.7; R=765 8

21、26 873 942 1032; a=polyfit(T,R,1); y=poly2str(a,t) y = 3.3987 t + 702.0968 y=polyval(a,T) %計算多項式在某一計算多項式在某一點處的值點處的值y = 1.0e+003 *0.7718 0.8132 0.8754 0.9502 1.0274 plot(T,R,k+,T,y,r*) hold on plot(T,y,b) polyval(a,60)ans = 906.0212203040506070809010075080085090095010001050例：已知年齡和運動能力的一組數據，試確定例：已知年齡和

22、運動能力的一組數據，試確定二者的關系二者的關系(根據圖形指定次數根據圖形指定次數)年齡年齡 17 19 21 23 25 27 2917 19 21 23 25 27 29第一人第一人20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.3520.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35第二人第二人24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.324.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3 x1=17:2:29; x=x1 x1; y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1

23、20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3; plot(x,y,r+)16182022242628301820222426283032 a=polyfit(x,y,2)a = -0.2003 8.9782 -72.2150 poly2str(a,x)ans = -0.20031 x2 + 8.9782 x - 72.215 x1=17:0.1:29; y1=-0.20031*x1.2+8.9782*x1-72.215; hold on;plot(x1,y1,b)16182022242628301820222426283032數據擬合函數表數

24、據擬合函數表cfit產生擬合的目標產生擬合的目標fit用庫模型、自定義模型、平滑樣條或用庫模型、自定義模型、平滑樣條或內插方法來擬合數據內插方法來擬合數據fitoptions產生或修改擬合選項產生或修改擬合選項fittype產生目標的擬合形式產生目標的擬合形式cflibhelp顯示一些信息，包括庫模型、三次樣顯示一些信息，包括庫模型、三次樣條和內插方法等。條和內插方法等。disp顯示曲線擬合工具的信息顯示曲線擬合工具的信息get返回擬合曲線的屬性返回擬合曲線的屬性set對于擬合曲線顯示屬性值對于擬合曲線顯示屬性值數據擬合函數表數據擬合函數表excludedata指定不參與擬合的數據指定不參與擬

25、合的數據smooth平滑響應數據平滑響應數據confint計算擬合系數估計值的置信區(qū)間邊界計算擬合系數估計值的置信區(qū)間邊界differentiate對于擬合結果求微分對于擬合結果求微分integrate對于擬合結果求積分對于擬合結果求積分predint對于新的觀察量計算預測區(qū)間的邊界對于新的觀察量計算預測區(qū)間的邊界datastates返回數據的描述統計量返回數據的描述統計量feval估計一個擬合結果結果或擬合類型估計一個擬合結果結果或擬合類型plot畫出數據點、擬合線、預測區(qū)間、異畫出數據點、擬合線、預測區(qū)間、異常值點和殘差常值點和殘差2.曲線的參數擬合曲線的參數擬合第一步：在命令行鍵入第一步

26、：在命令行鍵入Cftool打開打開 curve fitting tool對話框；對話框；第二步：第二步： 在在curve fitting tool對話框中對話框中 單擊單擊Data按鈕打開按鈕打開data對話框指對話框指 定要分析的（預先存在工作區(qū)間）定要分析的（預先存在工作區(qū)間） 數據；數據；第三步：在第三步：在curve fitting tool對話框中對話框中 單擊單擊fitting按鈕打開按鈕打開fitting對話對話 框，進行設置，實現曲線擬合?？?，進行設置，實現曲線擬合。Fitting對話框對話框包括兩個面板：包括兩個面板：“Fit Editor”面板和面板和“Tabe of Fi

27、ts”面板。面板。（1）Fit editor 選擇擬合的文件名、數據選擇擬合的文件名、數據集，選擇排除數據的文件，比較數據擬合集，選擇排除數據的文件，比較數據擬合的各種方法，包括庫函數、自定義的擬合的各種方法，包括庫函數、自定義的擬合模型和擬合參數的選擇。模型和擬合參數的選擇。（2）Table of Fits 同時列出所有的擬合同時列出所有的擬合結果。結果。兩個面板的詳細描述：兩個面板的詳細描述：New fit 和和 Copy fit 按鈕：開始進行曲線按鈕：開始進行曲線擬合是，單擊擬合是，單擊New fit按鈕，它采用默認按鈕，它采用默認的線性多項式擬合數據。在原有的擬合形的線性多項式擬合數

28、據。在原有的擬合形式上，選擇不同的曲線擬合方法，可以用式上，選擇不同的曲線擬合方法，可以用Copy fit 按鈕。按鈕。Fit name 選項為當前擬合曲線的名字。單選項為當前擬合曲線的名字。單擊擊New fit 按鈕時系統會產生默認的文件按鈕時系統會產生默認的文件名。名。Data set 選項為當前的數據集。選項為當前的數據集。Exclusion rule 排除異常值的文件名，在排除異常值的文件名，在數據預處理前建立的文件名。數據預處理前建立的文件名。Center and scale X data 可對觀測數據可對觀測數據進行中心化和離散化處理。進行中心化和離散化處理。Type of fit

29、 擬合的類型，包括參數擬合和擬合的類型，包括參數擬合和非參數擬合兩種。具體包括：非參數擬合兩種。具體包括：（1）Custom Equations 自定義擬合的自定義擬合的線性或非線性方程；線性或非線性方程；（2）New equation 使用使用Custom Equations 按鈕錢，必須單擊按鈕錢，必須單擊New equation 按鈕選擇合適的方程；按鈕選擇合適的方程；（3）Exponential指數擬合包括兩種形式：指數擬合包括兩種形式： y=a*exp(b*x) y=a*exp(b*x)+c*exp(d*x)（4）Fourier傅立葉擬合，正弦和余弦之傅立葉擬合，正弦和余弦之和（共和

30、（共8個多項式）個多項式） )*8sin()*8cos()*sin()*cos()*2sin()*2cos()*sin()*cos()*sin()*cos(8811022110110wxbwxawxbwxaawxbwxawxbwxaawxbwxaa （5）Gaussian 高斯法，包括高斯法，包括8個公式：個公式：)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*888111111cbxacbxacbxa （6）Interpolant 內插法，包括線性內插、內插法，包括線性內插、最近鄰內插、三次樣條內插和最近鄰內插、三次樣條內插和shape-preserving內插；內插

31、；（7）Polynomial多項式，從一次到九次；多項式，從一次到九次；（8）Rational有理擬合，兩個多項式之比，有理擬合，兩個多項式之比，分子與分母都是多項式；分子與分母都是多項式；（9）Power指數擬合，包括兩種形式：指數擬合，包括兩種形式： y=a*xb y=a*xb+c（10）Smoothing spline 平滑樣條擬合，平滑樣條擬合，默認的平滑參數由擬合的數據集來決定，默認的平滑參數由擬合的數據集來決定，參數是參數是0產生一個分段的線性多項式擬合，產生一個分段的線性多項式擬合，參數是參數是1產生一個分段三次多項式擬合；產生一個分段三次多項式擬合；（11）Sum of Sin

32、 Functions 正弦函數正弦函數的和，采用以下的和，采用以下8個公式：個公式： a1*sin(b1*x+c1) a1*sin(b1*x+c1)+ a8*sin(b8*x+c8)（12）Weibull 兩個參數的兩個參數的Weibull分布，分布，表達式如下：表達式如下： Y=a*b*x(b-1)*exp(-a*xb)Fit options 包括一些擬合方法，如線性擬包括一些擬合方法，如線性擬合、非線性擬合，以及其他選項；合、非線性擬合，以及其他選項；單擊單擊Apply按鈕：采用上述所選各種方法進按鈕：采用上述所選各種方法進行擬合；行擬合；單擊單擊Immediate apply按鈕，在選擇

33、一個按鈕，在選擇一個擬合形式后立即輸出結果并存儲；擬合形式后立即輸出結果并存儲；Results羅列進行擬合的各種參數：羅列進行擬合的各種參數：（1）SSE-sum of squares due to error 誤差平方和，越接近誤差平方和，越接近0曲線的擬合曲線的擬合效果越好效果越好（2）R-square 越接近越接近1，曲線的擬合效，曲線的擬合效果越好果越好（3）Degree of Freedom Adjusted R-Square 調整自由度以后的殘差的平方，調整自由度以后的殘差的平方，數值越接近數值越接近1，曲線的擬合效果越好，曲線的擬合效果越好（4）Root Mean Square

34、Error 根的均根的均方誤差方誤差Table of fits 擬合曲線的列表，可以對每擬合曲線的列表，可以對每個列表做如下操作：個列表做如下操作：Delete fit 刪除所選的擬合曲線；刪除所選的擬合曲線；Save to workspace 儲存所有的擬合信儲存所有的擬合信息；息；Table options 選擇與擬合相聯系的信息。選擇與擬合相聯系的信息。例：用三次和五次多項式擬合下列數據例：用三次和五次多項式擬合下列數據rand(state,0) %重置生成器到初始狀態(tài)x=1:0.1:3 9:0.1:10;c=2.5 -0.5 1.3 -0.1;y=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.

35、2+c(4)*x.3+(rand(size(x)-0.5);cftool(x,y);建立一個建立一個M文件，并運行上述文件，打開曲文件，并運行上述文件，打開曲線擬合工具線擬合工具點擊點擊fitting按鈕按鈕new fitcubic polynomial-applyresultsLinear model Poly3: f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.09837 (-0.1095, -0.08729) p2 = 1.275 (1.113, 1.437) p3 =

36、-0.4351 (-1.092, 0.2222) p4 = 2.56 (1.787, 3.332)Goodness of fit: SSE: 2.587 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9993 RMSE: 0.3039Results：Linear model Poly5: f(x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.001389 (-0.003589, 0.006367) p2 = -0.03441

37、 (-0.1601, 0.09125) p3 = 0.1934 (-0.9131, 1.3) p4 = 0.2733 (-3.856, 4.402) p5 = 1.013 (-5.785, 7.811) p6 = 1.835 (-2.167, 5.837)Goodness of fit: SSE: 2.552 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9992 RMSE: 0.3133擬合圖形：擬合圖形：例：用有理擬合方法擬合數據例：用有理擬合方法擬合數據hahn1.mhahn1.m是是matlab自帶，描述銅的熱膨自帶，描述銅的熱膨脹與熱力學溫度的相關性，包

38、括兩個向量脹與熱力學溫度的相關性，包括兩個向量temp與與thermex。 load hahn1 cftool(temp,thermex) 分子分母均為分子分母均為2次次分子分母均為分子分母均為3次次分子三次、分母二次分子三次、分母二次分子三次、分母二次的有理多項式擬合效果分子三次、分母二次的有理多項式擬合效果很好，擬合曲線充分體現了整個數據，殘很好，擬合曲線充分體現了整個數據，殘差隨機分布在差隨機分布在0附近。附近。3.非參數擬合非參數擬合 有時我們對擬合參數的提取或解釋不感有時我們對擬合參數的提取或解釋不感興趣，只想得到一個平滑的通過各數據點的興趣，只想得到一個平滑的通過各數據點的曲線，這

39、種擬合曲線的形式稱之為非參數擬曲線，這種擬合曲線的形式稱之為非參數擬合。合。 非參數擬合的方法包括非參數擬合的方法包括（1）插值法）插值法Interpolants（2）平滑樣條內插法）平滑樣條內插法Smoothing spline 內插法：內插法：在已知數據點之間估計數值的過程，包括在已知數據點之間估計數值的過程，包括Linear 線性內插，在每一隊數據之間用不線性內插，在每一隊數據之間用不同的線性多項式擬合；同的線性多項式擬合；Nearest neighbor 最近鄰內插，內插點最近鄰內插，內插點在最相鄰的數據點之間；在最相鄰的數據點之間；Cubic spline 三次樣條內插，在每一隊數三次樣條內插，在每一隊數據之間用不同的三次多項式擬合；據之間用不同的三次多