第五章液體三元流動基本原理w

1、 第五章 液體三元流動基本原理 5.1概述概述w 工程中絕大多數(shù)水利工程可用一元恒定總流方程解決；工程中絕大多數(shù)水利工程可用一元恒定總流方程解決；w 實際工程中遇到的二元或三元的流動問題可建立三元流實際工程中遇到的二元或三元的流動問題可建立三元流動的基本方程解決；動的基本方程解決；w 重點解決恒定平面勢流問題（主要用于解決地下水滲流重點解決恒定平面勢流問題（主要用于解決地下水滲流問題）問題） 第五章 液體三元流動基本原理5.2 5.2 流線與跡線微分方程流線與跡線微分方程5.3 5.3 液體三元流動的連續(xù)性方程液體三元流動的連續(xù)性方程5.4 5.4 液體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式液體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式

2、5.5 5.5 有旋運(yùn)動簡介有旋運(yùn)動簡介5.6 5.6 液體恒定平面勢流液體恒定平面勢流5.7 5.7 邊界層簡介邊界層簡介 第五章 液體三元流動基本原理1. 流線流線（1）定義）定義：流線是某流線是某瞬時在流場中繪出的曲瞬時在流場中繪出的曲線，曲線上各點的速度線，曲線上各點的速度矢量均與該曲線相切。矢量均與該曲線相切。 5.2 5.2 流線與跡線微分方程流線與跡線微分方程d0ur 第五章 液體三元流動基本原理（2）流線方程）流線方程：0ddddzyxuuukjiruzyx由由得出流線微分方程：得出流線微分方程：),(d),(d),(dtzyxuztzyxuytzyxuxzyxt 為流線方程的

3、參數(shù)，積分時可視作常數(shù)。為流線方程的參數(shù)，積分時可視作常數(shù)。 第五章 液體三元流動基本原理2. 跡線跡線 （1）定義：跡線是流體質(zhì)點運(yùn)動的軌跡。）定義：跡線是流體質(zhì)點運(yùn)動的軌跡。（2）跡線方程）跡線方程tzutyutxuzyxdd,dd,dd由由得出跡線微分方程：得出跡線微分方程：ttzyxuztzyxuytzyxuxzyxd),(d),(d),(dt 為變量。為變量。 第五章 液體三元流動基本原理例例1 1 已知用歐拉變數(shù)表示的流體運(yùn)動的速度場已知用歐拉變數(shù)表示的流體運(yùn)動的速度場為為( (式中，式中，k 為大于零的常數(shù)為大于零的常數(shù)) ) ，求流線與跡線。，求流線與跡線。yz, , 0 xu

4、kxukyu 第五章 液體三元流動基本原理dt時段時段,x,y,z三個方向流出三個方向流出與流入控制體積的液體與流入控制體積的液體的質(zhì)量差為：的質(zhì)量差為：,xyzdMdMdMxyzdMdMdMdM1 1、方程的推導(dǎo)、方程的推導(dǎo) 第五章 液體三元流動基本原理()()()()2222yyyyyuudydydydydMudxdzudxdz dtyyyy()()2222yyyyyuudydydydydMuudxdzdtyyyy xyzdMdMdMdM()yyyudMdyudy dxdzdtyy()yyuudxdydzdtyy()yudxdydzdty 第五章 液體三元流動基本原理()xxdMu dxd

5、ydzdtx()yydMudxdydzdty()zzdMu dxdydzdtzxyzdMdMdMdM()()()xyzuuudxdydzdtxyz 第五章 液體三元流動基本原理()dMdxdydz dtt dMdM()()()()xyzuuudxdydzdtdxdydz dtxyzt ()()()0 xyzuuutxyz()()()xyzdMuuudxdydzdtxyz0)(utijkxyz 哈密頓算子哈密頓算子液體三元流動的連續(xù)性方程液體三元流動的連續(xù)性方程質(zhì)量凈流出質(zhì)量凈流出質(zhì)量減少質(zhì)量減少 第五章 液體三元流動基本原理1 ()10rzruuurrrz柱坐標(biāo)系下連續(xù)性方程 第五章 液體三元

6、流動基本原理2連續(xù)性方程的簡化連續(xù)性方程的簡化（1）恒定流動，不論液體是否壓縮）恒定流動，不論液體是否壓縮 （2）不可壓縮流體流動，不論是否恒定）不可壓縮流體流動，不論是否恒定（4）對于二維恒定不可壓縮流動）對于二維恒定不可壓縮流動0)(u,0zuyuxuzyx, 0yuxuyx,0t()()()0 xyzuuutxyz 第五章 液體三元流動基本原理3 3連續(xù)性方程的意義連續(xù)性方程的意義（1 1）質(zhì)量守恒）質(zhì)量守恒（2 2）用連續(xù)性方程判別流動能否發(fā)生）用連續(xù)性方程判別流動能否發(fā)生（3 3）用連續(xù)性方程推求某一速度分量）用連續(xù)性方程推求某一速度分量（4 4）與運(yùn)動微分方程聯(lián)立求解）與運(yùn)動微分方

7、程聯(lián)立求解 第五章 液體三元流動基本原理例例1 1 已知二維恒定不可壓縮流動速度場為已知二維恒定不可壓縮流動速度場為 判別流動是否能發(fā)生。判別流動是否能發(fā)生。yxux23)6(xxyuy解：解：066xxyuxuyx所以該流動能發(fā)生。所以該流動能發(fā)生。 第五章 液體三元流動基本原理例例2 2 已知二維恒定不可壓縮流動徑向速度分量為已知二維恒定不可壓縮流動徑向速度分量為 式中式中A為常數(shù)，求切向速度分量為常數(shù)，求切向速度分量解：解：)/cos(2rAur0)(urrurcos)cos()(22rArArrrruur)(sin2rCrAu 第五章 液體三元流動基本原理1 1、液體微團(tuán)運(yùn)動形式：、液

8、體微團(tuán)運(yùn)動形式： 5.4 5.4 液體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式液體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式平移、旋轉(zhuǎn)和變形平移、旋轉(zhuǎn)和變形rruudd0 第五章 液體三元流動基本原理 第五章 液體三元流動基本原理液體質(zhì)點的基本運(yùn)動形式液體質(zhì)點的基本運(yùn)動形式w 平移平移是指液體微團(tuán)在運(yùn)動是指液體微團(tuán)在運(yùn)動過程中任一線段的長度和過程中任一線段的長度和方位均不變。方位均不變。w 平移速度為平移速度為ux,uy 第五章 液體三元流動基本原理線變形線變形是指液體微團(tuán)在運(yùn)動過程中僅存在各線段是指液體微團(tuán)在運(yùn)動過程中僅存在各線段的伸長或縮短。的伸長或縮短。()xxxuudx dtu dtxxudxdtx線變形率線變形率xxxuxyyy

9、uyzzzuz 第五章 液體三元流動基本原理角變形角變形 dtxudxdxdtxudtgdyy/)(dtyudydydtyudtgdxx/)(角角BAC的減少量為的減少量為dd平均角變形為平均角變形為12dd（）x角變形率角變形率11()22yxxyyxuddudtxy 第五章 液體三元流動基本原理w 角變形和旋轉(zhuǎn)角變形和旋轉(zhuǎn)tanyyudxdtuxdddtdxxtanxxudydtuydddtdyydddddd1()2ddd1()2ddd 第五章 液體三元流動基本原理1()2ddd1()2ddd11()()22yxuuddddtxy11()()22yxuuddddtxy1()2yxzuudd

10、txy1()2yxxyuuddtxy角變形率角變形率旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度 第五章 液體三元流動基本原理1()2yxxyuuxy1()2yzyzuuyz1()2xzzxuuzx1()2yxzuuxy1()2xzyuuzx1()2yzxuuyzxyzijk角變形率角變形率旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度0為 將流動分為有旋運(yùn)動和無旋運(yùn)動是否根據(jù)旋轉(zhuǎn)角速度 第五章 液體三元流動基本原理zuyuxuzzzyyyxxx,線變形率分量：線變形率分量：角變形率分量：角變形率分量： yxxyxyyuxu)(21xzzxzxxuzu)(21zyyzyzzuyu)(21旋轉(zhuǎn)角速度分量：旋轉(zhuǎn)角速度分量：)(21yuxuxyz，

11、)(21xuzuzxy，)(21zuyuyzx 第五章 液體三元流動基本原理變形率（應(yīng)變率）張量為：變形率（應(yīng)變率）張量為：zzyzxzzyyyxyzxyxxx 流體的速度分解定理：流場中任一點處的流體的速度分解定理：流場中任一點處的速度速度 為平移速度為平移速度 、旋轉(zhuǎn)速度、旋轉(zhuǎn)速度 與變與變形速度形速度 之和。之和。)d(r0u)d(ru 第五章 液體三元流動基本原理w 有旋流動（有渦流動）有旋流動（有渦流動） 類似于流速場引用流線、流管、流束、流量類似于流速場引用流線、流管、流束、流量 有旋運(yùn)動的渦有旋運(yùn)動的渦 場引入渦線、渦管、渦束、渦通量場引入渦線、渦管、渦束、渦通量的概念來表征。的

12、概念來表征。0。有渦流動的流動稱為有旋流動或旋轉(zhuǎn)角速度 第五章 液體三元流動基本原理渦線、渦管、渦束渦線、渦管、渦束 在某瞬時，在渦場中假想的一條空間幾何曲線，在此曲在某瞬時，在渦場中假想的一條空間幾何曲線，在此曲線上，各質(zhì)點的旋轉(zhuǎn)角速度矢量線上，各質(zhì)點的旋轉(zhuǎn)角速度矢量 都與該點的曲線相切，都與該點的曲線相切，則定義這條曲線為渦線。則定義這條曲線為渦線。渦線微分方程渦線微分方程xyzdxdydz 第五章 液體三元流動基本原理 渦量、渦通量、速度環(huán)量和斯托克斯定理渦量、渦通量、速度環(huán)量和斯托克斯定理渦量渦量:速度的旋度速度的旋度。2u xyzijkuxyzuuu()()()yyxxzzuuuuu

13、uijkyzzxxy 第五章 液體三元流動基本原理渦通量（渦旋強(qiáng)度）渦通量（渦旋強(qiáng)度）ddA AddA xyzLLu dLu dx u dyu dz 速度環(huán)量速度環(huán)量:在流場中任取一封閉的曲線在流場中任取一封閉的曲線 ，把速度沿該封，把速度沿該封閉曲線的線積分定義為繞曲線閉曲線的線積分定義為繞曲線L的速度環(huán)量的速度環(huán)量 ，記作，記作:()()()yyxxzzAuuuuuudydzdxdzdxdyyzzxxy 第五章 液體三元流動基本原理Lu dL AdA 斯托克斯定律：通過某一曲面的渦通斯托克斯定律：通過某一曲面的渦通量量 等于沿該曲面周界的速等于沿該曲面周界的速度環(huán)量度環(huán)量 。 xyzLLu

14、 dLu dx u dyu dz ()()()yyxxzzAuuuuuudydzdxdzdxdyyzzxxy 第五章 液體三元流動基本原理1 1、 流函數(shù)定義流函數(shù)定義0)()(xyyxxuyuyx0yuxuyx5.6 5.6 液體恒定平面勢流液體恒定平面勢流5.6.1 5.6.1 流函數(shù)流函數(shù) 由流體平面不可壓縮的連續(xù)性方程由流體平面不可壓縮的連續(xù)性方程, , 即即則有則有即連續(xù)性方程自動滿足即連續(xù)性方程自動滿足 稱稱 為流函數(shù)為流函數(shù)若設(shè)若設(shè) 第五章 液體三元流動基本原理yxxyudyudxdyudxudyydxxd02 2、流函數(shù)的性質(zhì)、流函數(shù)的性質(zhì)(1). (1). = C為流線為流線

15、, , 即流函數(shù)等值線就是流線即流函數(shù)等值線就是流線222221020yxzuuxyxy（）(2). (2). 平面無旋不可壓平面無旋不可壓, , 流函數(shù)滿足拉氏方程流函數(shù)滿足拉氏方程 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù) 第五章 液體三元流動基本原理(3). (3). 兩條流線的流函數(shù)值之差等于這兩條流線間所通兩條流線的流函數(shù)值之差等于這兩條流線間所通過的單寬流量過的單寬流量dddd_xuyuabuqyxablqq2112dd./m2s的單位為 第五章 液體三元流動基本原理1 1、速度勢函數(shù)定義、速度勢函數(shù)定義流動無旋流動無旋0)()(xyyx.,yuxuyx=0yxzuuxy5.6.2 5.6.2 速度勢

16、函數(shù)速度勢函數(shù)若令若令流動無旋自動滿足流動無旋自動滿足稱稱 為速度勢函數(shù)為速度勢函數(shù)則有則有 第五章 液體三元流動基本原理2、速度勢函數(shù)的性質(zhì)、速度勢函數(shù)的性質(zhì)(1) (1) 等勢線與流線正交等勢線與流線正交yxyxuudxdyKdyudxudyydxxd10 xyxyuudxdyKdyudxudyydxxd20121xyyxuuuuKK 第五章 液體三元流動基本原理2、速度勢函數(shù)的性質(zhì)、速度勢函數(shù)的性質(zhì)0zuyuxukzjyixuzyx(2) (2) 無旋不可壓無旋不可壓, ,速度勢函數(shù)滿足拉氏方程速度勢函數(shù)滿足拉氏方程02222222zyx 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)代入不可壓連續(xù)性方程得代入不

17、可壓連續(xù)性方程得 第五章 液體三元流動基本原理例例3 3 平面速度場平面速度場 試求試求: (1). : (1). 是否為可能存在的流動是否為可能存在的流動 (2). (2). 求流函數(shù)求流函數(shù) (3). (3). 是否無旋是否無旋 解解:(1).(2).110yxuuxy22(4 )(4 )(44)()22ddxdyyx dxxy dyxyxdxydyydxxdyxxyycxyuyxuyx44 第五章 液體三元流動基本原理例例3 3 平面速度場平面速度場 試求試求: (2). : (2). 求流函數(shù)求流函數(shù) 解解: :2222=4(4 )( )2( )=( )4( )4( )222yyxuy

18、xxdxu dxyx dx c yxyxc yxux c yxyyc yyc yycxxyyc xyuyxuyx44 第五章 液體三元流動基本原理例例3 3 平面速度場平面速度場 試求試求: (1). : (1). 是否為可能存在的流動是否為可能存在的流動 (2). (2). 求流函求流函數(shù)數(shù)(3). (3). 是否無旋是否無旋 解解:(3).11 4( 4)022yxzuuxy （）xyuyxuyx44所以流動無旋所以流動無旋 第五章 液體三元流動基本原理 1.1. 流函數(shù)與速度勢函數(shù)為共軛函數(shù)流函數(shù)與速度勢函數(shù)為共軛函數(shù)流函數(shù)與速度勢函數(shù)這一關(guān)系，在數(shù)學(xué)上稱為流函數(shù)與速度勢函數(shù)這一關(guān)系，在

19、數(shù)學(xué)上稱為柯西柯西( (Cauchy)-)-黎曼（黎曼（Riemann）條件，滿足）條件，滿足這一條件的函數(shù)稱為這一條件的函數(shù)稱為共軛函數(shù)共軛函數(shù)。 xyuyxuyxrrurrur11 5.6.3 5.6.3 流網(wǎng)及其性質(zhì)流網(wǎng)及其性質(zhì) 第五章 液體三元流動基本原理2、流網(wǎng)的性質(zhì)、流網(wǎng)的性質(zhì)2 2 每一網(wǎng)格的邊長之比，等于流函數(shù)和流速勢函數(shù)每一網(wǎng)格的邊長之比，等于流函數(shù)和流速勢函數(shù)的的增量之比增量之比; ;cosdxdssindydscosxuusinyuuddxdyxyxyu dxu dycoscossinsinudsuds22(cossin)udsudsduds1 1 流網(wǎng)是正交網(wǎng)格流網(wǎng)是正

20、交網(wǎng)格; ;ddqudndudndsddndsn 第五章 液體三元流動基本原理2、流網(wǎng)的性質(zhì)、流網(wǎng)的性質(zhì)3 對于曲邊正方形網(wǎng)格，任意兩條流線間的單寬流對于曲邊正方形網(wǎng)格，任意兩條流線間的單寬流量為常量。量為常量。sn qC 第五章 液體三元流動基本原理3、求流網(wǎng)的方法、求流網(wǎng)的方法 解析法解析法 實驗法（水電比擬法）實驗法（水電比擬法） 手描法手描法 第五章 液體三元流動基本原理 水電比擬法水電比擬法 電場中的物理量與滲流場中的物理量存在著相似關(guān)系。電場中的物理量與滲流場中的物理量存在著相似關(guān)系。 第五章 液體三元流動基本原理手描法繪制流網(wǎng)的步驟：手描法繪制流網(wǎng)的步驟：1.按比例繪制流動的邊界

21、，按比例繪制流動的邊界，確定邊界流線和邊界等勢線；確定邊界流線和邊界等勢線；2. 按液流的流動趨勢試?yán)L流線；按液流的流動趨勢試?yán)L流線；3.根據(jù)流網(wǎng)正交特性繪制等勢線。一般繪制成曲邊正方形根據(jù)流網(wǎng)正交特性繪制等勢線。一般繪制成曲邊正方形網(wǎng)格網(wǎng)格;4.檢驗。加繪網(wǎng)格的對角線加以檢驗檢驗。加繪網(wǎng)格的對角線加以檢驗;初繪流網(wǎng)，不一定符合要求，重復(fù)步驟初繪流網(wǎng)，不一定符合要求，重復(fù)步驟2、3進(jìn)行修正，直進(jìn)行修正，直至符合要求為止。至符合要求為止。 第五章 液體三元流動基本原理5.6.4 基本平面勢流及勢流疊加原理基本平面勢流及勢流疊加原理 不可壓液體基本平面勢流不可壓液體基本平面勢流 1.平行流平行流

22、速度場：速度場： 流函數(shù)：流函數(shù)： 勢函數(shù)：勢函數(shù)： 流流 線：平行與線：平行與x軸的直線。軸的直線。 等勢線：平行與等勢線：平行與y軸的直線。軸的直線。1CUy2CUx 第五章 液體三元流動基本原理 2.源與匯源與匯 速度場：速度場： 流函數(shù)：流函數(shù)： 勢函數(shù)：勢函數(shù)： 流流 線：為一族從原點引出的徑向直線線：為一族從原點引出的徑向直線 等勢線：為以原點為圓心的一族同心圓等勢線：為以原點為圓心的一族同心圓rrurrur11 極坐標(biāo)的柯西黎曼條件極坐標(biāo)的柯西黎曼條件 第五章 液體三元流動基本原理 3.勢渦（自由渦）勢渦（自由渦） 速度場：速度場： 流函數(shù)：流函數(shù)： 勢函數(shù)：勢函數(shù)： 流流 線：

23、為以原點為圓心的一族同心圓線：為以原點為圓心的一族同心圓 等勢線：為一族從原點引出的徑向直線等勢線：為一族從原點引出的徑向直線 第五章 液體三元流動基本原理w 勢流疊加原理勢流疊加原理 設(shè)有兩個簡單勢流，其勢函數(shù)分別為設(shè)有兩個簡單勢流，其勢函數(shù)分別為 ，流，流函數(shù)分別為函數(shù)分別為 ，流速分別為，流速分別為 。這兩個。這兩個簡單勢流疊加后仍然為勢流。簡單勢流疊加后仍然為勢流。勢函數(shù)：勢函數(shù)：流函數(shù)：流函數(shù)：流流 速速: 第五章 液體三元流動基本原理 用理想液體的勢流理論來研究低粘性大雷諾數(shù)情況下的粘性液體運(yùn)動，所用理想液體的勢流理論來研究低粘性大雷諾數(shù)情況下的粘性液體運(yùn)動，所得的流速分布在除壁面

24、附近以外的廣大區(qū)域內(nèi)是符合實際的，而壓強(qiáng)分布幾得的流速分布在除壁面附近以外的廣大區(qū)域內(nèi)是符合實際的，而壓強(qiáng)分布幾乎在全流場范圍內(nèi)都與實際一致。但在計算阻力等其他問題時，則會得到錯乎在全流場范圍內(nèi)都與實際一致。但在計算阻力等其他問題時，則會得到錯誤的結(jié)果。誤的結(jié)果。 對于高粘性或小雷諾數(shù)情況下的粘性液體運(yùn)動，則勢流解與實際相差甚對于高粘性或小雷諾數(shù)情況下的粘性液體運(yùn)動，則勢流解與實際相差甚遠(yuǎn)；為此需研究粘性流體的三元流動問題。遠(yuǎn)；為此需研究粘性流體的三元流動問題。 本節(jié)研究粘性液體流動的應(yīng)力特征和應(yīng)力與變形率的一般關(guān)系，以便為建本節(jié)研究粘性液體流動的應(yīng)力特征和應(yīng)力與變形率的一般關(guān)系，以便為建立不

25、可壓縮粘性液體運(yùn)動微分方程和以后研究邊界層理論打下基礎(chǔ)。立不可壓縮粘性液體運(yùn)動微分方程和以后研究邊界層理論打下基礎(chǔ)。 第五章 液體三元流動基本原理w 液流中一點處的應(yīng)力狀態(tài)液流中一點處的應(yīng)力狀態(tài) 在粘性液流中，不但有壓應(yīng)力，而且有切應(yīng)力存在，故其表面力可以分在粘性液流中，不但有壓應(yīng)力，而且有切應(yīng)力存在，故其表面力可以分解成互相正交的一個法向應(yīng)力解成互相正交的一個法向應(yīng)力(正應(yīng)力正應(yīng)力)和兩個切向應(yīng)力。和兩個切向應(yīng)力。 微小正六面體液體微團(tuán)各邊均趨于零時，正六面體趨于一點。微小正六面體液體微團(tuán)各邊均趨于零時，正六面體趨于一點。A點的三個互相垂點的三個互相垂直的作用面上，有三個法向應(yīng)力分量和六個切

26、向應(yīng)力分量，這九個應(yīng)力分量就反直的作用面上，有三個法向應(yīng)力分量和六個切向應(yīng)力分量，這九個應(yīng)力分量就反映了該點的應(yīng)力狀態(tài)。映了該點的應(yīng)力狀態(tài)。 第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向，第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向， 第二個下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。第二個下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。 當(dāng)作用面的外法線方向與坐標(biāo)當(dāng)作用面的外法線方向與坐標(biāo) 軸指向一致時，應(yīng)力以順坐標(biāo)軸軸指向一致時，應(yīng)力以順坐標(biāo)軸 指向為正，當(dāng)作用面的外法線方指向為正，當(dāng)作用面的外法線方 向與坐標(biāo)軸指向相反時，應(yīng)力以向與坐標(biāo)軸指向相反時，應(yīng)力以 逆坐標(biāo)軸指向為正。逆坐標(biāo)軸指向為正。 第五章 液體三元流動基本原理w 應(yīng)力與變形率的關(guān)系應(yīng)力與變形率的

27、關(guān)系 牛頓內(nèi)摩擦定律的應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系。假定在粘性液體三元流動一般情牛頓內(nèi)摩擦定律的應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系。假定在粘性液體三元流動一般情況下，應(yīng)力與變形率之間仍然保持線性關(guān)系，略去推導(dǎo)過程直接寫出它們之間況下，應(yīng)力與變形率之間仍然保持線性關(guān)系，略去推導(dǎo)過程直接寫出它們之間的關(guān)系。的關(guān)系。 對于法向應(yīng)力對于法向應(yīng)力 以上各分式中的第二項為粘件附加壓強(qiáng)項。對于不可壓縮流體以上各分式中的第二項為粘件附加壓強(qiáng)項。對于不可壓縮流體 表明附加壓強(qiáng)項與動力粘性系數(shù)及線變形率有關(guān)。表明附加壓強(qiáng)項與動力粘性系數(shù)及線變形率有關(guān)。 第五章 液體三元流動基本原理 切應(yīng)力切應(yīng)力 上式稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。上式稱

28、為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。同一點的切應(yīng)力，當(dāng)下標(biāo)互換時，彼此相等。因此，粘性流體中，一點處的同一點的切應(yīng)力，當(dāng)下標(biāo)互換時，彼此相等。因此，粘性流體中，一點處的9個個分量中，只有分量中，只有6個是彼此獨(dú)立的個是彼此獨(dú)立的 。 第五章 液體三元流動基本原理法向應(yīng)力和切應(yīng)力表達(dá)式反應(yīng)了不可壓縮牛頓流體三元流動應(yīng)力與法向應(yīng)力和切應(yīng)力表達(dá)式反應(yīng)了不可壓縮牛頓流體三元流動應(yīng)力與變形率的一般關(guān)系式。它包括各種特殊情況，討論如下：變形率的一般關(guān)系式。它包括各種特殊情況，討論如下：. 當(dāng)液體靜止時，；法向應(yīng)力為當(dāng)液體靜止時，；法向應(yīng)力為 ； 這里，這里，p為靜水壓強(qiáng)，僅此一個標(biāo)量就能描為靜水壓強(qiáng)，僅此一個標(biāo)量就能描

29、述靜止液體中一點的應(yīng)力狀態(tài)。述靜止液體中一點的應(yīng)力狀態(tài)。 2當(dāng)液體流動，但粘性效應(yīng)可以忽略不計計，即為理想液體時，式中粘性項均可略當(dāng)液體流動，但粘性效應(yīng)可以忽略不計計，即為理想液體時，式中粘性項均可略去。同樣有去。同樣有 ； 。即在理。即在理想液體中，也不存在切應(yīng)力，而各方向的法向應(yīng)力的大小就等于理想液流中動水想液體中，也不存在切應(yīng)力，而各方向的法向應(yīng)力的大小就等于理想液流中動水壓強(qiáng)壓強(qiáng)p。 3當(dāng)粘性液體作平面流動（當(dāng)粘性液體作平面流動（xoy平面），平面）， 時，則可簡化為牛頓時，則可簡化為牛頓內(nèi)摩擦定律內(nèi)摩擦定律 。而切應(yīng)力表達(dá)式可看作是牛頓內(nèi)摩擦定律的。而切應(yīng)力表達(dá)式可看作是牛頓內(nèi)摩擦定

30、律的三元推廣，因此被稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。三元推廣，因此被稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。 0uuuzyxpzzyyxx0yxxyxzzxzyyzpzzyyxx0yxxyxzzxzyyz)(,0yuuuxxyyuxyxxy 第五章 液體三元流動基本原理w 粘性液體三元流動的法向應(yīng)力特征粘性液體三元流動的法向應(yīng)力特征 當(dāng)粘性液體流動時由于粘性影響，不僅出現(xiàn)切應(yīng)力，而且一點處各方向上的當(dāng)粘性液體流動時由于粘性影響，不僅出現(xiàn)切應(yīng)力，而且一點處各方向上的法向應(yīng)力的大小也不等。由法向應(yīng)力表達(dá)式可知，除法向應(yīng)力的大小也不等。由法向應(yīng)力表達(dá)式可知，除-p外，還有一項粘性附加壓外，還有一項粘性附加壓強(qiáng)項。如果把三個

31、法向應(yīng)力的表達(dá)式相加，則得強(qiáng)項。如果把三個法向應(yīng)力的表達(dá)式相加，則得 對于不可壓縮流體對于不可壓縮流體 式中式中p為粘性液體的動水壓強(qiáng)。它的大小是三個坐標(biāo)方向上法向應(yīng)力的平均值。為粘性液體的動水壓強(qiáng)。它的大小是三個坐標(biāo)方向上法向應(yīng)力的平均值。一般情況下，它是位置坐標(biāo)的函數(shù)，非恒定流時還是時間的函數(shù)。一般情況下，它是位置坐標(biāo)的函數(shù)，非恒定流時還是時間的函數(shù)。 3zzyyxxp 第五章 液體三元流動基本原理 在研究液流內(nèi)部應(yīng)力特性的基礎(chǔ)上，可根據(jù)牛在研究液流內(nèi)部應(yīng)力特性的基礎(chǔ)上，可根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，先建立應(yīng)力形式的運(yùn)動微分方程頓運(yùn)動定律，先建立應(yīng)力形式的運(yùn)動微分方程(應(yīng)力微分方程應(yīng)力微分方程)，再

32、建立不可壓縮粘性液體運(yùn)動，再建立不可壓縮粘性液體運(yùn)動微分方程微分方程(納維納維斯托克斯方程斯托克斯方程)、理想液體運(yùn)動、理想液體運(yùn)動微分方程微分方程(歐拉方程歐拉方程)和以時均值表示的粘性液體和以時均值表示的粘性液體紊流時均運(yùn)動微分力程紊流時均運(yùn)動微分力程(雷諾方程雷諾方程)。 第五章 液體三元流動基本原理w 應(yīng)力形式的運(yùn)動微分方程應(yīng)力形式的運(yùn)動微分方程 在粘件液體中取一微小正六面體為控制體分析作用于控制體內(nèi)液體在粘件液體中取一微小正六面體為控制體分析作用于控制體內(nèi)液體的力。的力。 1質(zhì)量力質(zhì)量力 單位質(zhì)量力單位質(zhì)量力f，在，在x，y，z坐標(biāo)鈾的投影為坐標(biāo)鈾的投影為 ，總質(zhì)量力，總質(zhì)量力F在在

33、x，y，z坐標(biāo)鈾的投影為坐標(biāo)鈾的投影為 則則FFFzyx、fffzyx、 第五章 液體三元流動基本原理2表面力表面力單位表面力為：單位表面力為：根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律。其根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律。其x方向的分量式為方向的分量式為上式為以應(yīng)力形式表示的運(yùn)動微分方程，上式為以應(yīng)力形式表示的運(yùn)動微分方程，簡稱應(yīng)力微分方程。簡稱應(yīng)力微分方程。 yxxyxzzxzyyzzzyyxx, 第五章 液體三元流動基本原理w 不可壓粘性液體運(yùn)動微分方程不可壓粘性液體運(yùn)動微分方程_ N-S方程方程 對于符合牛頓內(nèi)摩核定律的粘性不可壓縮液體，可將反映應(yīng)力特征的關(guān)系式對于符合牛頓內(nèi)摩核定律的粘性不可壓縮液體，可將反映應(yīng)力特征的關(guān)系式及不可壓縮液體的連續(xù)性代入應(yīng)力微分方程，整理可得及不可壓縮液體的連續(xù)性代入應(yīng)力微分方程，整理可得 ： 右邊為外力項：質(zhì)量力、壓力、粘性力；左邊為加速度項右邊為外力項：質(zhì)量力、壓力、粘性力；左邊為加速度項:當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度。各項均對單位質(zhì)量流體而言。稱為不可壓縮粘性液體運(yùn)動微分方程。加速度。各項均對單位質(zhì)量流體而言。稱為不可壓縮粘性液體運(yùn)動微分方程。2222221()xxxxxxxxyzuuuuuuupuuuXtxyzxxyz2222221()yyyyyyyxyzuuuuuuupuu