小學數(shù)學發(fā)展小學生模型意識的內涵及其教學思考

“模型意識”是小學生數(shù)學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。如何理解模型意識的本質內涵？如何理解發(fā)展小學生模型意識的意義與實質？如何引導學生在學習過程中經歷、體驗模型的建構與解構？如何把握發(fā)展學生模型意識的教學要點？這些都是一線教師在教學中正面臨著的問題?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》頒布后，費嶺峰老師與他的研究團隊結合具體內容，以促進學生模型意識的發(fā)展為目標對課堂教學展開了系列研究。本期特刊發(fā)他們的部分研究成果，為廣大教師提供教學參考?！菊?/p>

要】模型意識是小學階段數(shù)學核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，主要指對數(shù)學模型普適性的初步感悟。教師結合數(shù)學模型的建構過程，從建構與解構兩個維度來解讀“發(fā)展小學生模型意識”的內涵。在教學實踐中，教師需要把握三個方面的教學要點，即：在多樣的問題解決中感知數(shù)學模型的抽象過程，在建模與解模中拉長數(shù)學模型的建構體驗過程，在多層次運用中感受數(shù)學基本模型與變式模型間的關系?！娟P鍵詞】模型意識；模型建構；教學要點模型思想是數(shù)學基本思想之一，在小學數(shù)學課程內容中有著重要的地位。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）將《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提出的“模型思想”分為“模型意識”和“模型觀念”兩個核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，在小學階段重點發(fā)展學生的模型意識。那么，建構數(shù)學模型的意義是什么？發(fā)展小學生模型意識的內涵是什么？對于學生來說，發(fā)展模型意識需要經歷怎樣的學習過程？教師在教學中又需要把握哪些教學要點？為解決這些問題，筆者圍繞發(fā)展小學生的模型意識進行了實踐研究，探索形成了一些“學—教—評”的實踐經驗。一、模型意識的內涵釋義2022年版課標將小學階段的模型意識定位為對數(shù)學模型普適性的初步感悟。具體表現(xiàn)在兩個層面：一是現(xiàn)實生活中大量的問題與數(shù)學有著密切的聯(lián)系，可以用數(shù)學的概念與方法予以解釋；二是知道數(shù)學模型可以用來解決一類問題，學生可以通過對數(shù)學模型的應用，體會數(shù)學知識的應用價值。與初中階段的模型觀念相比，小學階段的模型意識更側重于數(shù)學模型的建模過程，強調對模型解釋、模型應用的感悟。這里的感悟，即感覺與體悟。具體而言，就是不過度追求形式化的表達，不過分強調邏輯的演繹過程，定位于獲得初步的理性認識。由此具體解讀模型意識的內涵，可以從以下三個層次進行理解?！駥哟我唬焊惺艿綌?shù)學模型的建構與大量現(xiàn)實生活中的問題存在著密切聯(lián)系，初步經歷數(shù)學模型的建構過程?！駥哟味褐烙脭?shù)學模型可以解決一類問題，并能試著應用模型解決同類問題。●層次三：碰到生活中的某些問題時，能夠有意識地用數(shù)學的語言或方法予以解釋。二、發(fā)展小學生模型意識的內涵數(shù)學模型的建構過程有其獨特的特點。因此，發(fā)展小學生模型意識的具體內涵可以從數(shù)學模型的建構與解構兩個角度進行思考。從模型建構的視角看，要引導學生經歷生活問題的數(shù)學化建構過程，感悟數(shù)學模型與生活問題間的關聯(lián)性；從模型解構的視角看，要引導學生學會用數(shù)學模型解釋生活中的一些問題，體會數(shù)學模型的抽象性與豐富性，積累模型應用的基本活動經驗。（一）建構視角，即經歷建模過程，獲得模型建構的體驗小學數(shù)學學習強調直觀性和情境性，讓學生從生活經驗出發(fā)，結合現(xiàn)實生活中的問題進行探究，形成數(shù)學認知結構。在數(shù)學模型的建構中，也要結合現(xiàn)實生活中的問題，讓學生經歷觀察、分析和思考，理解數(shù)學模型的建構過程。這是學生認識模型，感悟模型的內涵，發(fā)展模型意識的必經之路。以對加法的認識為例，教師要讓學生經歷從事物數(shù)量的合并、抽象到數(shù)與式的表達，通過多次體驗積累豐富的感性經驗，理解“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算”這一抽象的加法意義。數(shù)學模型的建構一般表現(xiàn)為對模型的感知、發(fā)現(xiàn)與逐步抽象的認知行為。模型建構的發(fā)展目標具體表現(xiàn)為以下兩個方面。1.經歷過程引導學生經歷感知、發(fā)現(xiàn)和豐富數(shù)學模型的全過程。這里的感知指學生對現(xiàn)實生活中的問題蘊含的內在特質的初步感受；發(fā)現(xiàn)指經歷對多個蘊含相同特質的問題的多次感受之后，對它們共同特質的發(fā)現(xiàn)，并能對此作出一定的結構化表達；豐富指對多個相關問題中的同一特質作出一定的結構化表征之后的延展與完善。比如，在建構“運算律”模型時，學生需要通過對多個實例（即問題或算式）的解答或觀察，感知不同背后的相同點，從而發(fā)現(xiàn)其中存在的規(guī)律，并能嘗試借助數(shù)學語言（符號）進行表達。2.體驗建構實際上，在某個數(shù)學模型的建構中，學生對同一特質的發(fā)現(xiàn)、明晰和結構化表達等，均需要經歷建構過程。因此，無論是模型的發(fā)現(xiàn)，還是模型的結構化抽象與提煉，均是模型思想的重要內容。對教師而言，有意識地引導學生體驗數(shù)學模型的建構過程，有利于學生積累數(shù)學建模的基本活動經驗。（二）解構視角，即嘗試應用模型，豐富模型建構經驗從2022年版課標給出的模型意識的內涵來看，學生模型意識的發(fā)展過程中特別注重數(shù)學模型的應用。2022年版課標指出：“知道數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑。”這表明應用模型是發(fā)展學生數(shù)學模型意識的重要內容。在教學實踐中應用模型可以有兩種不同方式：一是用數(shù)學模型解決同類問題。如用“路程、速度、時間”的關系模型，可以解決“已知速度、時間，求路程”的問題：一輛汽車每小時行60千米，2小時行多少千米？可以解決“已知路程、速度，求時間”的問題：一條軌道長30米，一輛玩具汽車每分鐘行5米，幾分鐘能行完？可以解決“已知路程、時間，求速度”的問題：一輛汽車3小時行駛216千米，每小時行駛多少千米？二是用“概念與方法”解釋生活問題。如用“進水與出水”的模型，既可以解釋灌溉農田時實際的“進水與出水”問題，還可以解釋生活中排隊候場情境中的問題。數(shù)學模型的解構建立在基本模型的建構之上，表現(xiàn)為模型的變式與模型的應用。因此，模型解構的發(fā)展目標也可以表述為兩個方面。1.數(shù)學模型的豐富感知數(shù)學模型的豐富感知以其多元性、多樣性為基礎。建構數(shù)學模型的全過程有基本的路徑，而路徑是豐富與多樣的。如從運算角度來看，有四則運算模型、運算律模型及“用數(shù)學”中的問題解決模型。四則運算模型是基于四則運算的“通過算理探索算法”的數(shù)學建模過程；運算律模型是基于運算意義進行的“從現(xiàn)象到本質”的運算性質發(fā)現(xiàn)與抽象的建模過程；“用數(shù)學”中的問題解決模型則是基于運算意義與算法，解決實際問題的“數(shù)學知識習得與應用”的模型解構與重構的過程。比如，學生學習了乘法與除法之后，在后續(xù)的學習中又會借助乘除法的運算意義探索數(shù)量之間的關系，如前文談到的與物理量有關的“速度、時間與路程”間的關系以及與個數(shù)有關的“單價、數(shù)量與總價”間的關系。教師要在學生探索這些數(shù)量關系的過程中，啟發(fā)學生會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，豐富乘、除法運算的模型內涵。2.數(shù)學模型的法理體悟“法理體悟”是數(shù)學模型應用的內在邏輯，建立模型思想是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在數(shù)學學習過程中，數(shù)學模型會呈現(xiàn)不同的顯性樣態(tài)，其思維、方法和邏輯卻是相同的，都是從現(xiàn)實生活和具體情境中抽象出數(shù)學問題，然后用符號、等式等數(shù)學語言表達問題中所蘊含的數(shù)量關系和變化規(guī)律，這表明數(shù)學模型建構方法存在同一性。由此，教師要引導學生明晰數(shù)學模型的探索意義，發(fā)展學生的數(shù)學模型意識。當某種數(shù)學模型出現(xiàn)變式時，要幫助學生體悟相關模型的內涵本質存在同一性。比如，對于“減法的性質”，一般表述為：一個數(shù)連續(xù)減去幾個數(shù)，可以用這個數(shù)減去這幾個數(shù)的和，結果不變。用字母表示為a-b-c=a-（b+c）。在應用過程中，還會產生一些變式，如a-b-c=a-c-b，a-（b-c）=a-b+c等，其本質都是加法運算律的變式。三、發(fā)展小學生模型意識的教學要點上述探討過程中，筆者結合2022年版課標中關于模型意識的內涵，具體分析了發(fā)展小學生數(shù)學模型意識的目標定位。而達成這些目標需要把握以下三個方面的教學要點。（一）在多樣的問題解決中感知數(shù)學模型的抽象過程現(xiàn)實生活問題、數(shù)學情境是抽象數(shù)學模型的載體。在解決相關問題的過程中，對同類問題的解答，能促使學生通過體驗、感知、比較、分析等方法，抽象出數(shù)學模型。如解答如下問題：（1）一輛汽車每小時行駛60千米，4小時行駛多少千米？（2）小東每分鐘走70米，4分鐘走多少米？（3）獵豹每秒可奔跑30米，4秒能跑多少米？學生在解答這三個問題的過程中，會產生三個不同水平層次的認知：水平一，基于原有經驗，這三個問題均可以用乘法運算來解答，即60×4、70×4和30×4；水平二，這三個問題中，第一個量都是“速度”，第二個量都是“時間”，最后都求解相應時間內所行走的“路程”，都可以用“速度×時間”來計算；水平三，若需要用一個圖來表示這些問題中相應數(shù)量的關系，可以用圖1來表達。從圖中可以看出單位時間內的量（單位量），以及4段即4個單位時間的量（總的量）。求總的量，即算出4個單位時間的量，符合乘法的運算意義，因此可用乘法計算。用此圖來解釋以上三個問題時，能將問題中數(shù)量之間的關系準確地表征出來。學生也就能夠直觀地感受到三個問題本質的同一性：求4個相同量的和，可用乘法計算。以上三個水平的認知，便是學生對“速度、時間、路程”這一關系模型的逐步抽象過程。（二）在建模與解模中拉長數(shù)學模型的建構體驗過程研究表明，數(shù)學知識的學習需要經歷一個完整的過程，在習得知識技能的同時獲取相應的基本活動經驗。建構模型的過程中，不僅要有數(shù)學歸納、抽象的過程，還要有數(shù)學演繹、應用的過程。數(shù)學歸納、抽象是初步建構模型的必要環(huán)節(jié)，數(shù)學演繹、應用則是理解模型內涵的必要環(huán)節(jié)。以一年級“加法模型”的建構教學為例來作具體闡述。加法模型實質上表達的是兩個數(shù)（或量）的合并，即將兩個不相交的有限集合A和B中的元素，合并成一個新的集合C（即集合A與集合B的并集）。在“認識加法”的學習中，教師要引導學生通過三個層次的學習活動，建構“加法模型”：活動一，看不同情境，說不同的加法算式；活動二，看不同情境，寫相同的加法算式；活動三，看某個加法算式，想象不同情境。［1］三個層次的活動中，前兩個活動指向模型的發(fā)現(xiàn)、抽象，后一個活動指向模型的理解與應用。整個學習過程既充分體現(xiàn)了數(shù)學模型與現(xiàn)實生活問題之間的關聯(lián)，又表現(xiàn)了應用模型解釋現(xiàn)實生活問題的過程。（三）在多層次運用中感受數(shù)學基本模型與變式模型間的關系數(shù)學模型的建構并不止于抽象和結構化提煉，還需結合應用模型的解釋、解答等多層次應用，進一步體驗基本模型與變式模型的關系，從而完善對基本模型的認識，感受數(shù)學模型的應用價值。例如，在人教版教材五年級上冊“植樹問題”的教學中，教師一般會引導學生抽象出解決植樹問題的基本模型——“兩端都種”的模型，即“路的總長÷段數(shù)+1=棵數(shù)”，然后在學生應用模型的過程中，引入變式模型，即“一端種”和“兩端都不種”的情況。將“兩端都種”的問題作為基本問題來解答，就是在抽象基本模型；基于此，在學生有了對基本模型的感知理解后，再引導學生結合現(xiàn)實問題的解決，認識變式模型。整個過程中，學生既在多層次