旋轉幾何證明

1、巧用旋轉解題溫州市實驗中學 周利明傳統(tǒng)幾何中，有許多旋轉的例子， 尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋轉的方法是幾何學習中必備的技巧，本文將介紹旋轉方法的幾種典型用法，與廣大讀者共同學習、交流。1利用旋轉求角度的大小例 1 在等腰直角 ABC中，/ ACB=90 ,AC=BC, P是厶ABC內一點，滿足PA=j6、PB=2、PC=1求/ BPC的度數.分析：本題借助常規(guī)方法的入手是比較困難的，雖然三條線段的長度是已知的，但是這三條線段不是三角形的三條邊長，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我們可以借助旋轉來分析問題，因為 AC=BC這就給我們利用旋轉A .創(chuàng)造了條件，因此可以考慮將APC繞點

2、C逆時針旋轉900,得BPC,連接PP，通過三角形的邊與角的關系分別求得CPP和 P PB，就可得到BPC的大小。解：由已知AC=BC將 APC繞點C逆時針旋轉900，得BPC,連接 PP ;由旋轉可知:P CB ACP ,CP CP , APBP ;P CBPCB ACB900,PCP是等腰直角三角形CPPCP P450 且 PP 2 ,在 P PB 中， PB2 PP 222（、.2）2 66）2AP2 BP 2P PB是直角三角形，且P PB 900,BPC CPPP PB 45900135.例2:如圖所示，正方形ABCD勺邊長為1, P、Q分別為邊AB AD上的點，APQ的周長為2,求

3、 PCQ的大小.分析：本題在已知三角形的周長和正方形的邊長的條件下求角度的大小是比較困難的，因為正方形的邊長 BC=DC所以可以考慮將PBC繞點C順時針旋轉90 ，易證E、D、Q三點共線，通過證明 ECQ和 PCQ全等即可求得 PCQ的大小.解： BC=DC,將PBC繞點C順時針旋轉EDCCBP90,CE CP ;ECDDCQPCQ且 EDCCDA180,E、D Q三點共線,90 得 EDC ;ECD PCB,PCB DCQED PB ,PCQAPQ的周長為2，即AQ AP PQ又 AQ AP PB QD AB AD 2 ,PQ PB DQ ED DQ EQ ,CECP在ECQ和PCQ中：EQ

4、PQ , ECQPCQ ;CQCQ PCQ ECQ 45 .練習1: P為正方形內一點，且PA=1,BP=2,PC=3,求/ APB的大小.2 利用旋轉求線段的長度 例3:如圖，P是等邊 ABC內一點，PA=2 PB 2J3 , PC=4求BC的長。分析：本題BC雖然和CP BP同處一個三角形， 但是要求其長還缺角度，因此直接從已BA知條件入手是比較困難的，但是我們只要適當運用旋轉的方法，就可以是問題簡單化；因為本題的 ABC是等邊三 角形，所以其三邊是相等的，因此聯(lián)想到將厶 ABC內部的 某個三角形進行旋轉也是比較容易的；解： ABC是等邊三角形，將厶BPA繞點B逆時針旋轉 60,貝U BA

5、與BC重合,ABPEBC 且BP=BE,PA=EC 連接 EP;ABPCBPEBCCBP600 ,EBP是等邊三角形，EP PB 2.3在 ECP 中：EP2EC2(2 3)222 16CP2 ；CEP 900,1EC -PC , 2EPC300 ,BPC 900,BCPC2 PB242(2 3)2一 282一7 .例 4:如圖，在梯形 ABCD中, AD/BC (BCAD, / D=90, BC=CD=12 / ABE=45 ,若 AE=1(。求CE的長度。CB分析：仔細分析就會發(fā)現本題所給的條件不易 直接求得CE的長度，還需要做一些變化，經觀察 容易發(fā)現把把 BCE繞點B順時針旋轉90,

6、可構成一個正方形，然后通過三角形全等，就找出 邊之間的關系。解：把 BCE繞點B順時針旋轉90得 BGF，連接AG，易證A G F三點一線,且易知四邊形BCDG為正方形.由旋轉可得：CBEGBF, BE BF ,0ABE 45 , ABFABG GBF ABG CBE 45BE BF在 ABE 和 ABF 中： ABE ABF ,AB AB在ABEABF , AEAF10,設CEx,則 AG 10x, ADDGAG 12(10 x) 2 x,2在 Rt ADE , AEDE DC CE 12 x ；2 2 2 2 2AD DE ，即 10 (x 2)(12 x)；x2 10x 24 0 ,解之

7、得：xi 4,X2 6; CE的長為4或6.A練習2:如圖四邊形 ABCD中, AB=AD / A=Z C=90,其面積為16,求A到BC的距離.分析：由本題的結論不難想到在直角三角形中應用 勾股定理可以證得含有平方關系的線段之間的關系，因此 我們就需要將結論中的這三條線段放到同一個直角三角形中， 由于AD=DC所以可以考慮將 ADB繞點D順時針方向旋轉 使AD和DC重合，這樣就可以得到 Rt BCE，然后通過證明DBE解：是等邊三角形就可以得到結論中線段之間的關系.將 ADB繞點D順時針方向旋轉 60E，使AD和 DC重合，得 DCE并連接EB ,3利用旋轉探求線段之間的關系例 5:如圖，在

8、凸四邊形 ABCD中, Z ABC=30，/ ADC=60 , AD=DC求證：BD 2 AB2 BC2 .由旋轉可得： ADB CDE , DCE DAB, DB DE ;BDE BDC CDE BDC ADE ADC 60, DBE是等邊三角形， DB BE ,DCB DCE DCB DAB 270BCE 900, 2 2 2Rt BCE 中：BE2 CE2 BC2 ,2 2 BD2 BE2 CE2 22 BC2.例6 :如圖，在 ABC中,Z BAC=90 , AB=AC D、E 在 BC 上，Z DAE=45，求證:CD2 BE2DE2AB=AC,90, FED分析：由本題的結論我們可

9、以聯(lián)想到直角三角形中勾股定理的結論，因此我們就需要將 結論中的三條線段放在同一個直角三角形中，再由我們不難想到將ADC繞點A延順時針方向旋轉這樣我們就將DC、BE放到了同一個三角形中,同時我們也不難證明FBE 90,然后我們只要設法證明AFEAED ,則結論可得.解： AB=AC,ADC繞點A延順時針方向旋轉 90得 AFB，連接EF ,由旋轉可得：FABCAD , FBAACD45 ,FB DC,AFAD ；EAD 45,BAECADBAEFABFAE45 ,AF AD在 AFE 和 AED 中:EADFAEAFE AEDAE AE EF ED ,FBE FBAABC ACDABC 9FBE

10、 是 Rt ,BE2 EF2ED2.練習3:如圖、 ABC是正三角形, BDC是頂角/ BDC= 120o的等腰三角形，以D為頂點作一個60o角，角的兩邊分別交 ABAC邊于M N兩點，連接MN探究：線段BM MN NC之間的關系，并加以證明.4.利用旋轉求面積的大小例 7：如圖正方形 ABCD中, AB ,3，點 E、F分別在 BGCD上，且/ BAE=3C，/ DAF=15 ,求厶AEF的面積.分析：本題由已知條件直接去求結論是比較困難的,由于該題中含15 , 30等特殊角度，因此通過旋轉厶可構作出45角，構造三角形全等，通過等積變形來解決問題是比較容易的。解：將 ADF繞A點延順時針方向

11、旋轉 90得厶ABGADF由旋轉性質可知:AG AF , BAG FAD 15,ABG FDA 90,ABG ABC 1800 ,點G B、E三點共線,又GAE GAB BAE 45,EAF 90(1530)45,AG AF在 AFE 和 AGE 中： GAE FAE，二 AFE AGE ;AE AE EF EG，又AEF AEG 6 ,Rt ABE 中：AB3，/ BAE=3 , BE 1 ,在 Rt EFC中，FEC 18 (6 6) 6, EC BC BE , 3 1 , EF 2EC 2( .3 1), EF EG 2(、31),S AEG1 EG AB 1 2(、3 1) . 333

12、 ,2 2S AEFS AEG 33例&如圖A、B、C D是圓周上的四個點,Ab Cd Ac ?d .且弦 ab=8,弦 cd=6則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少?分析：從已知條件直接求兩個弓形面積難度較大， 抓住已知條件Ab Cd Ac Bd , 容易發(fā)現Ab Cd正好是整個圓弧的一半，因此通過將弓形 cmD繞圓心旋轉使點d與點b 重合，就可以得到直角三角形，然后求陰影部分的面積就會很容易.解:由于Ab CdAc Bd ,知Ab Cd的長正好是整個圓弧的一半， 將弓形CmD繞圓心旋轉，使點 D與點B重合（如圖2）:則ABC恰好為半圓弧, ac為e o的直徑,由勾股定理可求得AC1,S陰影

13、S半圓SRt ABC521 6 8 12.524.2練習4:如圖 ABC是等腰直角三角形，D為AB的中點，AB=2扇形ADG和BDH分別是以AD1BD為半徑的圓的丄，求陰影部分面積.4參考答案： 練習1： 135，提示：如圖將 BPC逆時針旋轉900得 AEB，連接PE，分別求得 APE和 BPE 練習3練習4CDM ，易證練習3: MN NC BM，把 BDM繞點D順時針旋轉 120 得到DMN CDM 1練習4:(1)，將扇形BDHD BDC繞D點順時針旋轉180 2觀察巧旋轉妙解題沈岳夫旋轉是幾何圖形運動中的重要變換，隨著課程改革的進一步深入，利用旋轉知識進行有關計算或證明的題目很多，尤

14、其是題目中沒有涉及到旋轉等文字，使不少學生在解答時無從著手，找不到解題的途徑，但如果能根據題目特征加以觀察，通過旋轉，找到解題的突破口，那么問題就簡單化了，現采擷部分試題加以歸納，供參考。一.通過旋轉，解答角度問題例1.如圖1, P是正三角形 ABC內的一點，且 PA=6 PB=8 PC=10求/ APB的度數。圖1解析：先將部分已知條件集中到一個三角形中，再研究這個三角形與所求的關系。將厶PAC繞點A逆時針旋轉60后，得到 FAB連接P（如圖2）,則BF=PC=10FA=PA=6 / FAP=60o FAP是等邊三角形，FP=PA=6 在厶 pbf中，PB 2 +PF2 + (57 =10a

15、 / BPF=90/ APB=/ APF+Z FPB=60 +90 =150圖2二.通過旋轉，計算線段長度問題例2.如圖3,求BC的長。解析：此題乍一看似乎無從著手，但只要運用旋轉的方法來解題，就顯得十分容易。將厶BPA繞點B逆時針旋轉 60 ，貝U BA與 BC重合（如圖4） , BP=BM PA=MC連接MP則厶MBP是正三角形，即-,由MP： 4麗（筠八譏護三PC3故Z CMP=90 ,MC= - PC因為-,所以Z MPC=30 ,又因為Z MPB=60 ,故Z CPB=90 ,得P 山 &-例 3.如圖 5，在梯形 ABCD中, AD/BC (BCAD,/ D=90, BC=CD=1

16、2 / ABE=45 , 若AE=10。求CE的長度。圖5解析：經觀察，把 BCE繞點B順時針旋轉90,可構成一個正方形，然后通過三角 形全等，找出邊之間的關系。延長0A把厶BCE繞點B順時針旋轉90 ，與DA的延長線分別交于點 G,點M （如圖 6），易知四邊形 BCDG正方形。 BC=BG又/ =CBE=/ GBM Rt BEC Rt BMG BM=BEZ ABE玄 ABM=45 ABEA ABM AM=AE=10設 CE=x則在 Rt ADE中，一丄I即1 - 一十一4 一所以CE的長為4或6。圖6通過旋轉，巧算面積問題例4.如圖7,正方形ABCD中，AE= ，點e F分別在BG CD上

17、，且/ BAE=30，/ DAF=15，求 AEF的面積。AB圖7解析：由于該題中含15，30等特殊角度，通過旋轉 ADF可構作出45角，構造 三角形全等，通過等積變形而獲解。將厶ADF繞A點順時針旋轉90 到厶ABG的位置（如圖8）,由旋轉性質可知： AG=AF / BAGM FAD=15 ,故/ GAE=15 +30 =45 。/ EAF=90 -1/ GAEM FAE又 AE=AE AEGA AEF ( SAS EF=EG M AEF=/ AEG=60在 Rt ABE 中，盤 =歷，/ BAE=30，貝U BE=1, 在 Rt EFC中，/ FEC=,.J-. -L 二.訃廠 即_卜一.

18、：廠 JSiAEa = lx EG x AB =1x3(75-1)73 = 3- 75 = iJiEG 壬弓 1 羽D圖8例5.如圖9, A、B、C D是圓周上的四個點，。且弦AB=8,弦CD=4則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少？（結果保留三個有效數字）B圖9解析：要直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知條件，運用整體思維可簡易求得。廣CCCec由于_.L - JL 一1 1：_，知L_長等于圓的周長的一半， 將弓形CmD繞圓心旋轉, 使點D與點B重合（如圖10），則二丄一恰好為半圓弧，此時 AC為圓0的直徑，從而/ ABC=9C ,由勾股定理可求得丄匚,-呂閃鑫=宰盡-= XX Q右x X

19、 4 R； 15一4故其面積和為15.4。圖10四.通過分割、旋轉、拼接平行四邊形例6.如圖11,已知四邊形紙片 ABCD現需將該紙片剪成一個與它面積相等的平行四邊形 紙片，如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到： （用“能”或“不能”填空），若填“能”，請確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；若填“不能”，請簡要說明理 由。解析：解此題的關鍵是把大四邊形分割成四個小四邊形，然后通過分割旋轉達到目的， 簡答如下：能，如圖12,取四邊形 ABCD各邊的中點E、GF、H,連接EF、GH,貝UEF、GH為裁剪線，EF、GH將四邊形ABCD分成 1、2、3、4四個部分，拼接時，圖中的 1不動，將2、4分 別繞

20、點H、F各旋轉180 , 3平移，拼成的四邊形滿足條件（如圖 13）。圖12圖13五通過旋轉巧證三點一直線例7.已知，點P是正方形 ABCD內的一點，連接 PA PB PCo（1）將厶PAB繞B點順時針旋轉90到厶的位置（如圖14） 設AB的長為a, PB的長為b （ba）。求厶PAB旋轉到二匚匕的過程中邊PA所掃過 區(qū)域（圖14中陰影部分）的面積。 若 PA=2, PB=4, / APB=135，求 PC的長。圖14（2）如圖15,若一丄九 - ,請說明點P必在對角線AC上。解析：要說明點 P必在對角線 AC上（即點A、點P、點C三點成一直線）關鍵是弄懂 第（1）小題的問題，實質第（1）小題

21、的解答過程為第（2）問埋下伏筆，讓學生從中受到 啟發(fā)，運用類比方法就易解答該題，簡答如下：(1)圖15如圖16，連接P二，將 PAB繞B點順時針旋轉90 到二衛(wèi) 的位置，貝歸二二弓二oAP=，/ APB=Z, GF口為等腰直角三角形，.PP PC=6圖16(2)將厶PAB繞點B順時針旋轉90至仏的位置(如圖17) 則，/ APB二:,連接*，則卜0PA3 + PC2 =2PB:PC2 + PC3 =2PBa.PC3 + PC2 =PP:.ZPCP- SO0ZBPCZBPC-1800.ZAPB +ZBPC =1SO即點P必在對角線AC上。圖17六通過旋轉探求線段之間的關系例8.如圖18, E是正方形 ABCD的邊BC上的一點，AF平分/ EAD交CD于點F。求證:AE=BE+DF圖18解析：解此題的關鍵是如何把分散的三條線段集中到一個三角形中，經觀察可通過旋 轉三角形達到目的。將厶ADF繞