時間序列分析報告報告材料地介紹和應(yīng)用的

1、時間序列分析時間序列通常是對某一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，按照相等時間間隔測量的一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)，它反映的是某變量在時間上的一系列變化。大量社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)都依年、季、 月或日統(tǒng)計(jì)其指標(biāo)值，隨著時間的推移，形成了統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的時間序列。例如，過去每年國內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)、過去十年內(nèi)年度增值稅收入數(shù)據(jù)、過去五年內(nèi)季度關(guān) 稅數(shù)據(jù)等等。時間序列分析就是估算和研究某一時間序列在長期變動過程中所存 在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，具體是指，我們只知道需要預(yù)測的那個變量 (簡稱預(yù)測變量)在歷 史上的一系列觀察值，通過分析這些觀察值所顯示出來的規(guī)律，如長期變動趨勢、 季節(jié)性變動規(guī)律、周期變動規(guī)律，然后把這個規(guī)律外推到預(yù)測期，從而獲得該預(yù) 測變量的值或分

2、布，并進(jìn)一步預(yù)測今后的發(fā)展和變化。一、時間序列的變動因素一般認(rèn)為，一個時間序列中包含四種變動因素： 長期趨勢變動、季節(jié)性變動、 周期性變動和不規(guī)則變動。換言之，時間序列通常是上述四種變動因素綜合作用 的結(jié)果。1、長期變動趨勢(T: Secular Trend )長期變動趨勢是指變量值在一個長時期內(nèi)的增或減的一般趨勢。長期變動趨 勢可能呈現(xiàn)為直線型變動趨勢，也可能呈現(xiàn)曲線型變動趨勢，依變量不同而異。2、季節(jié)性變動(S： SeasonaI Variation )季節(jié)性變動是指變量的時間序列值因受季節(jié)變化而產(chǎn)生的變動。季節(jié)變動是一種年年重復(fù)出現(xiàn)的一年內(nèi)的季節(jié)性周期變動，即每年隨季節(jié)替換，時間序列值

3、呈周期變化。3、周期性變動（C: Cyclical Variation ）周期性變動又稱循環(huán)變動，它是指變量的時間序列值相隔數(shù)年后所呈現(xiàn)的周 期變動。在一個時間序列中，循環(huán)變動的周期可以長短不一，變動的幅度也可大 可小。4、不規(guī)則變動（I： Irregular Variation ）不規(guī)則變動是指變量的時間序列值受突發(fā)事件，偶然因素或不明原因所引起的非趨勢性、非季節(jié)性、非周期性的隨機(jī)變動，因此，不規(guī)則變動是一種無法預(yù) 測的波動。圖1顯示的是我國1997年1月至2007年12月的月度消費(fèi)者價格（CPI） 指數(shù)（同比）。由圖中，我們可以看出明顯的季節(jié)性（月度）和年周期性變動， 對長期變動趨勢，圖表

4、顯示自2004年有較為明顯的增長趨勢，而 2007年的數(shù) 據(jù)的相對平穩(wěn)則反映了國家價格宏觀調(diào)控政策的成效。圖1：我國消費(fèi)者價格指數(shù)（同比）變動情況（月度）CPI一個時間序列通常包含上述四種變動因素， 但不是所有的時間序列都含有這 四種變動因素。例如，年份統(tǒng)計(jì)表數(shù)據(jù)就不存在季節(jié)性變動因素， 而按季統(tǒng)計(jì)的 數(shù)據(jù)不一定就存在周期性變動因素。在某些時間序列中，季節(jié)變動和周期性變動 可能同時存在，亦可能不同時存在。二、時間序列的分析模型時間序列預(yù)測是指使用一個模型，在未來數(shù)據(jù)被實(shí)際測量之前，利用過去已 知的數(shù)據(jù)對其作出預(yù)測。比如，依據(jù)股票過去的表現(xiàn)預(yù)測股票的開盤價格， 依據(jù) 匯率的過去數(shù)值推導(dǎo)未來的預(yù)期

5、匯率值，在今年的預(yù)算程序中預(yù)測明年的稅收收 入等等。時間序列法的顯著特征是它只使用以前時間段的信息進(jìn)行預(yù)測。 除了它自己 過去的數(shù)值之外，時間序列預(yù)測獨(dú)立于所有的變量。 因此，用時間序列法進(jìn)行的 稅收收入預(yù)測不需要其他經(jīng)濟(jì)變量如 GDP的預(yù)測。時間序列分析模型可以有許多種形式，基本形式有變動因素分析法、趨勢分 析法和自回歸法。（一）變動因素分析法一個時間序列通常包括上述四種或其中幾種變動因素， 趨勢分析法的基本思 路就是將其中的變動因素一一分解出來， 測定其變動規(guī)律，然后再綜合反映它們 的變動對時間序列變動的影響。采用何種方法分析和測定時間序列中各因素的變動規(guī)律取決于對四種變動 因素之間相互關(guān)

6、系的假設(shè)。一般可對時間序列各變動因素關(guān)系做二種不同的假 設(shè)，即加法關(guān)系假設(shè)或乘法關(guān)系假設(shè)，由此形成了相應(yīng)的加法模型或乘法模型。1、加法模型加法模型假設(shè)時間序列中四個變動因素之間是相互獨(dú)立且其數(shù)值可依次相 加，即Yt = T t + St +C t +11其中：Yt表示變量在t時間的取值；Tt表示變量在t時間的長期趨勢值；St、Ct和It分別表示季節(jié)變動、周期變動和不規(guī)則變動與長期趨勢 值的離差。顯然，加法模型假設(shè)季節(jié)因素，周期因素和不規(guī)則因素的變動均圍繞長期趨 勢值上下波動，它們可表現(xiàn)為正值或負(fù)值，以此測定其在長期趨勢值的基礎(chǔ)上增 加或減少若干個單位，并且反映其各自對時間序列值的影響和作用。2

7、、乘法模型乘法模型假設(shè)時間序列中四個變動因素之間為相乘關(guān)系，即變量的時間序列 值是各因素的連乘積。以公式表示Yt = T t * St*Ct *It其中：Yt表示變量在t時間的取值；Tt表示變量在t時間的長期趨勢值；St、Ct和It分別表示季節(jié)變動、周期變動和不規(guī)則變動與長期趨勢 值的變動率。顯然，乘法模型也假設(shè)季節(jié)因素，周期因素和不規(guī)則因素的變動圍繞長期趨勢值上下波動，但這種波動表現(xiàn)為一個大或小于1的系數(shù)或百分比，以此測定其 在t時間的長期趨勢值的基礎(chǔ)上增加或減少的相對程度， 并且反映其各自對時間 序列值的影響和作用。(二) 趨勢分析法趨勢分析通常以年度或季度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)。以年度數(shù)據(jù)為例，假設(shè)

8、在預(yù)測年(t )中具體稅收收入(丫)是前一年度收入的函數(shù)，Y f (Yt i,Yt 2,)。趨勢 分析可以假設(shè)預(yù)測年稅收收入絕對增長幅度和過去年度一樣，用公式表示為Yt Yt1 (Yt1 Yt 2)；或假設(shè)增長幅度為以前年的一個百分比，用公式表示為X Yt1*(Yt1/Y2)；或假設(shè)和過去幾年的平均百分比一樣，用公式表示為Yt Yt 1* 均值(Yt 1/Y 2)," 2/Y 3),.,(丫 n 1/Y n)；或假設(shè)稅收收入以時間函數(shù)，即簡單趨勢線，用公式表示為Yt f (時間)。趨勢分析方法的優(yōu)點(diǎn)是：第一，對數(shù)據(jù)的要求較少，僅要求要進(jìn)行預(yù)測的數(shù) 據(jù)序列，而且時間序列也不用太長。第二

9、，簡單，模型很容易建造和運(yùn)行。但其 缺點(diǎn)也同樣明顯。該方法利用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)模型的參數(shù)， 其參數(shù)的穩(wěn)定性依賴于 歷史的宏觀經(jīng)濟(jì)政策。如果宏觀經(jīng)濟(jì)政策發(fā)生變動，這些參數(shù)也會變動。根據(jù)趨 勢外推而得出的預(yù)測，特別是長期預(yù)測，必然誤差較大。如果將趨勢分析方法應(yīng)用于稅收收入預(yù)測，需要注意的是該方法一般只適用 征收相對穩(wěn)定的稅種、或長期以來征收額穩(wěn)定增長的稅種、 或在預(yù)測期內(nèi)沒有發(fā) 生稅率或規(guī)則改變的稅種的稅收收入的預(yù)測。由于該方法忽視其他經(jīng)濟(jì)變量的信 息和預(yù)測，對依靠經(jīng)濟(jì)環(huán)境變化的許多稅種都不適合。 不過，當(dāng)發(fā)生稅率或規(guī)則 改變時，如果考慮變化因素并對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整的話， 還是可以使用趨勢分析 法的。

10、(三) 自回歸技術(shù)1. 幾個重要的概念1.1弱平穩(wěn)性對時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，必須要求該數(shù)據(jù)是平穩(wěn)序列。因此，我們首先要做的工作是確定該數(shù)據(jù)平穩(wěn)與否。平穩(wěn)性是指該系列數(shù)據(jù)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀 態(tài)，其統(tǒng)計(jì)特性不隨時間而變化。完全平穩(wěn)(嚴(yán)平穩(wěn))的條件十分苛刻，所以， 一般只要求時間序列分布的主要統(tǒng)計(jì)特征相同即可。實(shí)踐中常用的平穩(wěn)概念實(shí)際是二階平穩(wěn)，稱為弱(寬)平穩(wěn)。在以下論述中，如不特別說明，所涉及的平穩(wěn) 的概念均為弱(寬)平穩(wěn)。弱平穩(wěn)要滿足如下三個條件：(1) E(Xt) = ，即均值與t無關(guān)(2) Var(Xt) = /，即方差與t無關(guān)(3) Cov(Xt, Xs)是t-s的函數(shù)，但不是t或s的函

11、數(shù)，即協(xié)方差是t-s的函 數(shù)。如果某時間序列數(shù)據(jù)滿足以上三個條件， 我們稱該數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性特征，或 直接稱之為平穩(wěn)數(shù)據(jù)。1.2自相關(guān)函數(shù)（ACF）自相關(guān)函數(shù)定義：設(shè)Xt為平穩(wěn)序列，則對任意 整數(shù)r:COV Xt,Xt r E XtXt r2E XtXt rR r自相關(guān)函數(shù)為：R rrR 0樣本自相關(guān)函數(shù)為:ACF ?n k,t1（Xt X）（Xtk X）n 2t1（Xt X）2n其中 Xt1Xt/n樣本自相關(guān)函數(shù)？可以說明不同時期的數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度， 其取值范圍在-1到1之間，絕對值越接近于1，說明時間序列的自相關(guān)程度越高1.3偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）偏自相關(guān)函數(shù)是給定了 Xt 1,Xt 2

12、,-,Xt k 1的條件下，Xt和之后k期的Xt-k的相關(guān)性。樣本的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）計(jì)算公式如下，< A"1Ait-1dr k = 2,3，Ly-i其中，磯=%-ij 宓用n *其中，？為樣本自相關(guān)函數(shù)。偏自相關(guān)函數(shù)表示給定其他時期數(shù)值，兩 個時期之間的相關(guān)系數(shù)，系數(shù)越高，則表明關(guān)聯(lián)度越高。1.4 白噪聲(white noise )如果一個平穩(wěn)序列具有如下特征，則稱為白噪聲(white noise )序列:對所有 s t, Cov(Xs,XJ 0由此，我們可以看出白噪聲序列的自相關(guān)函數(shù)為:R rcov Xt,Xt r2,r 00,r0r1,r00,r0白噪聲滿足弱平穩(wěn)的

13、三個前提條件，因此，白噪聲具有平穩(wěn)性特征。1.5隨機(jī)游走(random walk )序列下面我們介紹一典型的非平穩(wěn)序列：隨機(jī)游走(random walk )序列。該序列(Xt)表示為：X t X t i u t ut為白噪聲X1 u1X 2u1u2X 3 Ui U2 U3tXtUjj 1var X t很明顯，隨機(jī)游走序列不滿足平穩(wěn)序列條件（2 ）。2. 平穩(wěn)性檢驗(yàn)對平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，通常有三種做法：直接觀察、自相關(guān)函數(shù)和單位根檢驗(yàn)。 在進(jìn)行時間序列分析時應(yīng)隨時保持對非平穩(wěn)性的警惕。當(dāng)對非平穩(wěn)序列錯誤的應(yīng) 用平穩(wěn)時間序列模型時有一些表征可以幫助進(jìn)行初步判斷 ：1）時間序列的偏相關(guān)系數(shù)函數(shù)圖遞減速度

14、較普通穩(wěn)定序列慢。2） 自回歸項(xiàng)的系數(shù)值的和接近 1 （如和等于0.98 ）或大于等于1，而且回 歸系數(shù)的t值非常大，顯得非常顯著這是因?yàn)楣烙?jì)值理論上是超一致的 ，估計(jì)值的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）大樣本下趨于0，產(chǎn)生一個所謂退化的分布。由于t值等于估計(jì)值除以標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差接近 0將使t值特別大，這是所謂偽回歸的一種表現(xiàn)。 O3）模型的R方特別大，超過90%，接近1，如96% 這也是偽回歸下參數(shù)估計(jì)超一致性產(chǎn)生的一種假象。2.2自相關(guān)函數(shù)法一般來說，平穩(wěn)序列自相關(guān)系數(shù)遞減較快，而非平穩(wěn)序列遞減非常慢。但這 條規(guī)則也不絕對。表1顯示的是我國1997年1月至2007年12月的月度消費(fèi) 者價格（CPI）指數(shù)（

15、同比）的自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）。 可以看出該時間序列的ACF具有一定延續(xù)性，尤其是在滯后11，12和13期還 有影響。因此，很難由該表給出的數(shù)據(jù)推導(dǎo)出該時間序列是否平穩(wěn)。如果一個序列為白噪聲，其滯后1期以上的自相關(guān)系數(shù)應(yīng)該等于 0,所以一 般通過檢驗(yàn)前m個相關(guān)系數(shù)均為0這一原假設(shè)來判斷一個序列是否為白噪聲。對白噪聲檢驗(yàn)常用的統(tǒng)計(jì)量有 LB統(tǒng)計(jì)量。LB統(tǒng)計(jì)量（Ljung & Box ）公式。在這些情況一種或 幾種出現(xiàn)的時候，雖然不完全就是因?yàn)樾蛄胁环€(wěn)定，但這時序列不穩(wěn)定的概率很 大，因此必須保持必要的警惕，對序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。2.1直接觀察法直接觀察法是指通過對

16、數(shù)據(jù)圖表的直接觀察初步確定其規(guī)律，如圖2所示。相對于右圖而言，左圖所代表的數(shù)據(jù)具有相對穩(wěn)定性。 由此，我們可以初步判斷右圖數(shù)據(jù)不具有平穩(wěn)性特征，而左圖數(shù)據(jù)則更有可能具有平穩(wěn)性特征。直接觀察 法做出的是一個初步的估計(jì)，不能作為判斷依據(jù)，必須借助于規(guī)范的統(tǒng)計(jì)分析工 具，才能做出準(zhǔn)確判斷。圖2 :數(shù)據(jù)特征初步確定表示為:Q n(n 2)?k2k1 n該統(tǒng)計(jì)量在大樣本下也服從自由度為 m的卡方分布。即使在小樣本條件下， LB統(tǒng)計(jì)量表現(xiàn)也較好。如果拒絕原假設(shè)（原假設(shè)為由1階到m階均不存在自相 關(guān)性），意味著前m期自相關(guān)系數(shù)中，至少有一個不等于 0，認(rèn)為該序列不是白 噪聲。如果為白噪聲，意味著沒有建模的必

17、要，所以，白噪聲檢驗(yàn)也是建模的先 期工作之一。表1：我國月度消費(fèi)者價格（CPI）指數(shù)（同比）的自相關(guān)分析Sample: 1997M01 2007M12Included observations: 132AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb|* |* |10.5760.57644.8010.000.|* |.|. |20.316-0.02358.4090.000.|* |.|* |30.2330.08965.8280.000.|* |.|. |40.1830.02770.4500.000.|* |.|. |50.109-0.03172

18、.0940.000.|. |.|. |60.059-0.00872.5760.000.|. |.|. |70.0700.05073.2740.000.|* |.|. |80.0980.05274.6490.000.|* |.|. |90.1030.02976.1900.000.|* |.|* |100.1400.08479.0120.000.|* |.|* |110.3520.33797.1490.000|* |* |120.7100.613171.560.000.|* |*| |130.303-0.785185.210.000.|. |.|. |140.066-0.033185.850.00

19、0.|. |*|. |15-0.021-0.153185.920.000*|. |*|. |16-0.078-0.080186.860.000*|. |.|. |17-0.1510.015190.350.000*|. |.|. |18-0.192-0.018196.090.000*|. |.|. |19-0.179-0.040201.110.000*|. |.|. |20-0.1490.040204.620.000*|. |.|* |21-0.1280.091207.220.000*|. |.|* |22-0.0750.088208.120.000.|* |.|. |230.1430.0222

20、11.430.000|* |.|. |240.4890.063250.580.000.|* |.|. |250.1430.046253.980.000.|. |*|. |26-0.053-0.117254.450.000*|. |.|* |27-0.1130.083256.590.000*|. |.|* |28-0.1360.083259.720.000*|. |.|. |29-0.1720.029264.820.000*|. |.|. |30-0.1840.030270.690.000*|. |.|* |31-0.1450.084274.380.000*|. |.|. |32-0.0970.

21、002276.050.000.|. |.|. |33-0.063-0.039276.760.000.|. |.|. |34-0.0020.022276.760.000.|* |.|. |350.2200.058285.620.000|* |.|. |360.551-0.006341.660.0002.3 單位根檢驗(yàn)(unit root test )2.3.1 DF 檢驗(yàn)(Dickey - Fuller test )XtXt i Ut等價于Xt Xt 1(1)XtiUtXtXt i ut其中1。如果存在單位根，即1，那么 0。因此定義原假設(shè)H0:0 （非平穩(wěn)時間序列）等價于Ho：1似乎可以直接對

22、XtXt 1 Ut進(jìn)行OLS線性回歸，并對系數(shù) 進(jìn)行t檢驗(yàn)，但是這是不對的。因?yàn)樵谠僭O(shè)為真時，存在單位根，系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量不再服從常規(guī)的t分布了，需要構(gòu)造特殊臨界值才能檢驗(yàn)。給定樣本大小的臨界值 最早由Dickey和Fuller（ 1979 ）提出，所以單位根檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量習(xí)慣稱為DF統(tǒng)計(jì)量。不同的模型臨界值是不同的，如果序列發(fā)展有明顯的確定趨勢，應(yīng)該選用后XtXtXt兩種模型進(jìn)行檢驗(yàn):X t 1 ut0 X t 1 ut01tX t 1 ut得到的DF統(tǒng)計(jì)量越小越好，當(dāng)小于臨界值時，可以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為不存在單位根。對于方程1，說明序列為平穩(wěn)序列。對于方程 2、3，說明序列在剔除確定趨勢后為平

23、穩(wěn)序列DF檢驗(yàn)臨界值(大樣本)模型1%5%10%X t X t 1 ut-2.56-1.94-1.62X t0X t 1u t-3.43-2.86-2.57X t01tXt 1Ut-3.96-3.41-3.13標(biāo)準(zhǔn)臨界值-2.33-1.65-1.282.3.2 ADF 檢驗(yàn)(Augmented Dickey Fuller test )由于很難保證隨機(jī)誤差項(xiàng)是白噪聲，所以Dickey和Fuller對檢驗(yàn)進(jìn)行改進(jìn),允許隨機(jī)誤差項(xiàng)服從一個移動平均過程：Utcj t jj 0修改后的模型為：mXtXt 1i Xt iuti 1mXt0Xt 1iX t i uti 1mXt01tX t 1i Xti 1

24、ut用上述模型進(jìn)行的單位根檢驗(yàn)稱為 ADF檢驗(yàn)(augmented dickey-fuller )， 臨界值與DF檢驗(yàn)相同。使用Eviews進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，Eviews提供了如下三種檢驗(yàn)形式：無常數(shù)項(xiàng) 和線性時間調(diào)整項(xiàng)、包含常數(shù)項(xiàng)和包含常數(shù)項(xiàng)和線性時間調(diào)整項(xiàng)。選擇 Quick/Series Statistics/Unit Root test ，輸入序列名即可。表2給出消費(fèi)者價格指數(shù)(同比)的 ADF檢驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯鰐統(tǒng)計(jì)值以2%的顯著水平拒絕原假設(shè)，即 CPI不存在單位根，該時間序列為平穩(wěn)數(shù)據(jù)。表2: ADF檢驗(yàn)結(jié)果（CPI）Null Hypothesis: CPI has a unit r

25、ootExoge no us: Con sta ntLag Length: 12 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)t-StatisticProb.*Augme nted Dickey-Fuller test-3.20862statistic10.0219Test criticalvalues:1% level-3.4860645% level-2.88586310% level-2.579818*MacKi nnon (1996) on e-sided p-values.3 時間序列模型3.1平穩(wěn)時間序列模型自回歸移動平均模型（ARMA ）是平穩(wěn)時間序列分

26、析模型的普遍形式，自回 歸模型（AR）和移動平均（MA ）是它的特殊情況。就這幾類模型的研究，是時 間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容。其主要分析包括，模型的平穩(wěn)性分析、模型的識別和模 型的估計(jì)。其中模型的平穩(wěn)性通過它所生成的時間序列的平穩(wěn)性來判斷。過程：P 階自回歸模型(Autoregressive Process )Xt1 Xt 12X t 2 .p Xt p Ut其中ut是白噪聲，即均值為0，同方差，無自相關(guān)。AR(P)模型的特征是除 了滯后的X之外，沒有其他的解釋變量。如果該AR(P)過程生成的時間序列是平 穩(wěn)的，那么該AR(P)模型是平穩(wěn)的。引入滯后算子(Lag Operator )L，LXt =

27、 Xt-1 ,L2Xt = Xt-2,，LpXt = X t-p，由此，AR(P)過程表示為，(1 丄 2L2 .pLp)Xtut記(L) 1 丄 2L2 .pLp，稱該式為多項(xiàng)式方程。(L) 1 丄2L2 .pLp 0為AR(p)的特征方程。AR(p)模型的平穩(wěn)性條件要求Xt的均值和方差和自協(xié)方差都是有限的常數(shù)。可以證明，這要求多 項(xiàng)式方程(L)0的根的模都大于1。例1. AR (1 )模型的平穩(wěn)條件對一階自回歸模型AR (1)XtXt 1 ut其中ut是白噪聲定理：若| 1，則AR(1)過程是平穩(wěn)過程。因?yàn)?3)cov(Xt,Xth) 12 Ih|2圖3給出了根據(jù)隨機(jī)過程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)所繪制的

28、圖形(給定X1 = 0)。通過比較可以看出，當(dāng)P小于1時，生成的數(shù)據(jù)具有穩(wěn)定性特征。對于高階自回歸模型來說，多數(shù)情況下沒有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根。但一些有用的規(guī)則可用來檢驗(yàn)高階的穩(wěn)定性,(1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是(2)由于2. p可正可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是圖3: 一階自回歸隨機(jī)過程數(shù)據(jù)圖xt+i =5+0.8*x t+2* utxt+i =5+0.95*x 汁2* utxt+i =5+0.15*x t+2* utxt+i =5+1.0*x t+2* ut3.1.2. MA(q)過程：移動平均模型(Moving Average )Xt Ut1Ut 12Ut 2 -

29、qUt q其中ut是白噪聲，即均值為0 ,同方差，無自相關(guān)。與AR模型不同，MA(q)模型始終是平穩(wěn)的，但是出于實(shí)際應(yīng)用分析的需要，我們一般也要求MA模型對應(yīng)的多項(xiàng)式方程 (L) 0的根的模都大于1。該條件保證了 MA模型的所謂可逆性，這是我們可以對一個 MA模型使用實(shí)際觀察到的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)分析的前提條件。EXtEut1Eut 12Eut 2q Eut qvar(Xt) (112.q2)cov(Xt,X)()2q 1 q ucov(Xt,Xt q 1)q COV(Xt,Xt q)當(dāng)滯后期大于q時，Xt的子協(xié)方差系數(shù)為0。有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的。3.1.3. ARMA（p, q）過程：自回

30、歸移動平均模型（ARMA）自回歸移動平均模型（ARMA ）是自回歸模型（AR）和移動平均（MA ）的組合，因此，ARMA（p, q）用公式表示為X t1X t 12 X t 2 -pX t p ut M 12W 2 - qut q由于MA（q）總是平穩(wěn)的，模型的平穩(wěn)性則取決于AR（P）部分的平穩(wěn)性。當(dāng)AR（P）部分平穩(wěn)時，該ARMA（p, q）模型是平穩(wěn)的。對于平穩(wěn)序列而言，三個模型具有如下等價轉(zhuǎn)換關(guān)系：AR （有限階）MA （無限階）MA （有限階）AR （無限階）ARMA （有限階）AR （無限階）ARMA （有限階）MA （無限階）3.2 非平穩(wěn)時間序列模型：ARIMA(p, d, q)

31、過程積分過程(integratedprocess ),也被稱為“單整過程”。如果Xt是非平穩(wěn)過程，但是一階差分以后Xt (1 L)Xt Xt 是平穩(wěn)過程，則稱Xt為一階積分過程，記為I(1)。如果dXt (1 L)dXt是平穩(wěn)過程，也即一個序列進(jìn) 行d次差分后，可以成為平穩(wěn)序列，則稱Xt為D階積分過程，記為I(d)。顯然, I(0)過程是平穩(wěn)序列。當(dāng)回歸模型中含有非平穩(wěn)的I(d)序列時，常規(guī)的統(tǒng)計(jì)推斷都不再成立，因此， 我們須將一個非平穩(wěn)時間序列通過d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn) 的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，我們就說該原始時間序列是一個自回歸 單整移動平均(ARIMA，

32、autoregressive integrated moving average)時間序列，記為ARIMA(p,d,q)。例如，一個ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序 列之前先得差分一次，然后用一個 ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。當(dāng)然， 一個ARIMA(p,0,0)過程表示了一個純AR(p)平穩(wěn)過程；一個ARIMA(0,0,q)表示 一個純MA(q)平穩(wěn)過程。3.3. 模型的構(gòu)建Box-Jenkins建模的特點(diǎn)是：不尋找解釋變量，直接根據(jù)預(yù)測變量自身以往的表現(xiàn)，尋找規(guī)律，進(jìn)行預(yù)測。它不以任何經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)。Box-Jenkins建模的主要思路是：研究平穩(wěn)序列的建模，對于

33、非平穩(wěn)序列，先變?yōu)槠椒€(wěn)序列再使用 平穩(wěn)序列的模型。將不平穩(wěn)序列變?yōu)槠椒€(wěn)的手段有差分、剔除趨勢或取對數(shù)。基本模型類別包括AR(p)? MA(q)? ARMA(p, q)? ARIMA(p, d, q)模型識別的依據(jù)包括自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。自相關(guān)分析法是進(jìn)行時間 序列分析的有效方法，它簡單易行，較為直觀，根據(jù)繪制的自相關(guān)分析圖和偏自 相關(guān)分析圖，我們可以初步地識別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)?；九袛嘣瓌t如下，? 自相關(guān)函數(shù)拖尾、偏自相關(guān)函數(shù)截尾，為AR序列，p階截尾就為AR(p)；?自相關(guān)函數(shù)截尾、偏自相關(guān)函數(shù)拖尾，為 MA序列，q階截尾就為MA (q)；? 自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)均拖尾

34、，為 ARMA序列對ARMA模型，需要使用AIC (赤池信息準(zhǔn)則)和SIC (施瓦茨準(zhǔn)則) 等準(zhǔn)則進(jìn)行判斷34模型的估計(jì)和預(yù)測ARIMA模型預(yù)測的基本程序（1）根據(jù)時間序列的散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖、 以ADF單位 根檢驗(yàn)其趨勢及其季節(jié)性變化規(guī)律， 對序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識別。一般來講，經(jīng)濟(jì) 運(yùn)行的時間序列都不是平穩(wěn)序列。（2 ）對非平穩(wěn)序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理。如果數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的，并存在一定的增長或下降趨勢，則需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行差分、剔除趨勢或取對數(shù)處理。（3 ）根據(jù)時間序列模型的識別規(guī)則，建立相應(yīng)的模型。若平穩(wěn)序列的偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，可斷定序列適合 AR模型；若平

35、穩(wěn) 序列的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則可斷定序列適合MA 模型；若平穩(wěn)序列的偏自相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的， 則序列適合ARMA 模型。同時根據(jù)信息標(biāo)準(zhǔn) AIC和SIC來協(xié)助判斷階數(shù)。（4）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，檢驗(yàn)是否具有統(tǒng)計(jì)意義。（5）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，診斷殘差序列是否為白噪聲。（6）利用已通過檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測分析。3.5時間序列分析的總結(jié)和一些建模經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)現(xiàn)代時間序列分析技術(shù)主要以 Box和Jenkins提出的工作步驟為基礎(chǔ)。簡 單來說Box-Jenkins時間序列分析方法涉及以下四個步驟：模型設(shè)定、模型估 計(jì)、模型適用性檢查和應(yīng)用模型統(tǒng)計(jì)推斷與預(yù)測。我們前面講解的知識都是緊

36、緊 圍繞這四個部分來進(jìn)行的，每一類知識都是為這四個步驟中的一步或多步服務(wù)， 而各類相關(guān)知識也就通過這四個步驟而串聯(lián)起來。我們在這里總結(jié)了這四個步驟主要的內(nèi)容和一些經(jīng)常需要考慮的問題和經(jīng)驗(yàn)，以供讀者建模時參考。我們對這部分一些實(shí)際操作時特別需要注意的具體問題標(biāo)了黑體字，希望讀者注意。請記住，任何統(tǒng)計(jì)模型都是對不確定性事件的研究，時間序列模型是對隨機(jī)過程中不確定性的近似，因此沒有人能確定地說某一個模型就是一定正確的，但 是模型的確定必須要服從一些必要的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在確定一個模型是否可用時首先要通過統(tǒng)計(jì)證據(jù)說服自己這個模型是可行的，并隨時保持對模型錯誤的警惕。另外，在時間序列建模需要注意兩個總的原則：

37、1)模型的參數(shù)個數(shù)在模型滿足統(tǒng)計(jì)推斷要求的情況下應(yīng)盡量少，即可達(dá)到同樣統(tǒng)計(jì)目的的兩個模型參數(shù)少 的一個為佳。這是因?yàn)樵黾訁?shù)增加了模型估計(jì)的難度和估計(jì)的不確定性。2)大部分時間序列模型理論建立在大樣本的前提上，因此時間序列模型的建模通常要求樣本量足夠大。保守地說，樣本量小于30個產(chǎn)生的時間序列模型估計(jì)一般 認(rèn)為是不可靠的。第一步、模型設(shè)定。對于單變量的時間序列，常用的時間序列模型有p階自回歸模型【AR(p )】、 q階移動平均模型【MA (q )】、和p階自回歸q階移動平均模型【ARMA (p， q)】。模型設(shè)定的任務(wù)即選擇一種合適的模型和階數(shù)。進(jìn)行Box-Jenkins 時間序列分析最重要的

38、前提是被研究的時間序列必須是 弱穩(wěn)定的。整個Box-Jenkins時間序列分析的一系列統(tǒng)計(jì)理論都基于弱穩(wěn)定這 個前提條件，對一個非弱穩(wěn)定的時間序列應(yīng)用針對弱穩(wěn)定時間序列的理論進(jìn)行統(tǒng) 計(jì)推斷是不正確的需要注意的是，當(dāng)對含有單位根的序列不做差分就應(yīng)用平穩(wěn)時間序列模型時，由于估計(jì)值是大樣本超一致 的(super consistency)，單純應(yīng)用于點(diǎn)預(yù)測是允許的，但預(yù)測置信區(qū)間可無窮大，因此一般不推薦這樣做。方法上，非弱穩(wěn)定的序列自回歸項(xiàng)含有單位根，因此可以使用單位根檢驗(yàn)（常用的是 ADF檢驗(yàn)）來區(qū)分一個序列是否穩(wěn)定。若檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn) 序列不穩(wěn)定，我們可通過一些技術(shù)如對序列差分來得到一個弱穩(wěn)定的序列，然后

39、再進(jìn)行下一步分析。對于穩(wěn)定的時間序列，模型設(shè)定要求我們對使用什么模型和模型階數(shù)進(jìn)行判斷。這時我們可以使用的判斷方法有兩種：（1 ）觀察自相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖；（2 ）查看信息準(zhǔn)則。通過對理論上ARMA模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)， AR（p）模型的偏自相關(guān)系數(shù)圖在p+1階時為零；而MA（ q ）模型的自相關(guān)系數(shù) 圖在q+1階時為零。理論上的發(fā)現(xiàn)為實(shí)際數(shù)據(jù)分析提供了指導(dǎo)。在弱穩(wěn)定性前 提下，我們可以使用樣本估計(jì)序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。通過觀察這兩個樣本系數(shù)圖的顯著性來確定模型類型和階數(shù)。我們也可以通過被稱之為“信息標(biāo)準(zhǔn)”的一系列準(zhǔn)則來判斷模型的階數(shù)，這 些信息準(zhǔn)則常用

40、的包括 AIC（赤池信息準(zhǔn)則）和SIC（施瓦茨準(zhǔn)則）。使用不同的 模型階數(shù)，我們可以得到不同的AIC或SIC值（一般軟件都直接計(jì)算給出了值）， 我們選取產(chǎn)生最小AIC值或SIC值的階數(shù)作為模型階數(shù)。在模型設(shè)定時，幾個經(jīng)驗(yàn)性的原則可供參考：1）第一步的模型設(shè)定只是提供了初步的模型設(shè)定，模型必須通過第三步的模型適用性檢查。一般來說， 要求模型殘差呈現(xiàn)白噪聲的形態(tài)。2）在使用兩種相關(guān)系數(shù)圖進(jìn)行判斷時，一般 以AR模型為首選項(xiàng)，MA模 型為次選項(xiàng)，最后再使用 ARMA模型。這是因?yàn)锳R模型系數(shù)估計(jì)比其他兩種 模型容易和精確。而且使用相關(guān)系數(shù)圖對 ARMA模型的階數(shù)進(jìn)行判斷通常不容3）在使用AIC和SI

41、C進(jìn)行階數(shù)判斷時，AIC傾向于多選階數(shù)，而SIC傾向 于少選階數(shù)，不論用那種方法都是可行的，但是最終確定的模型必須通過適用性 檢驗(yàn)。一般來說，如使用AIC進(jìn)行判斷，則可以觀察模型系數(shù)的t值，刪除一些 不顯著的參數(shù)，并進(jìn)行適用性檢驗(yàn)，這是因?yàn)锳IC傾向多選階數(shù)；而如果使用SIC，則應(yīng)觀察模型殘差是否是白噪聲，若不是則可嘗試增加階數(shù)，這是因?yàn)镾IC 傾向少選階數(shù)致使殘差互相相關(guān)。4 ）不論是使用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷，還是使用信息準(zhǔn)則判斷，都只是給出了初步判斷，模型的最終確定要通過第三步的模型適用性檢查。5）不論是使用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷，還是使用信息準(zhǔn)則判斷，都要先確定一 個最大可能階數(shù)，并使用同樣長度的

42、樣本量進(jìn)行估計(jì)。 例如，我們希望判斷一個 樣本X1,，Xioo的AR模型階數(shù)。對這個樣本量為100的序列使用AIC準(zhǔn)則判 斷時，我們先確定最大可能階數(shù)為 10。那么我們將使用AR （1 ）到AR （10） 的模型去模擬序列，計(jì)算 AIC值，選取最小AIC值對應(yīng)的模型。但請注意，使 用AR （10）的模型我們需要10個初始值（即X1,X10），最后估計(jì)使用的樣本 是后90個值（即X11,X100 ）。為保證計(jì)算AIC值時使用的樣本是同一個樣本， 在計(jì)算AR （9）的模型時我們需要9個初始值，這時應(yīng)使用X2,X10作為初始 值，而不是使用（X1,X9），這么做可以保證最后對 AR（9）模型估計(jì)時使

43、用的樣 本仍然是相同的后90個值（即X11,X100）。另外，最大階數(shù)的判斷并沒有確定 的方法，一般來說應(yīng)足夠大以把模型真實(shí)階數(shù)包含在內(nèi)，因此如以上示例發(fā)現(xiàn)AIC選擇的階數(shù)為10的時候，應(yīng)擴(kuò)大最大階數(shù)（如設(shè)為15，固定使用X15,X100 的樣本估計(jì)）重新進(jìn)行AIC的計(jì)算。第二步、模型估計(jì)。一系列時間序列ARIMA模型的估計(jì)可用條件極大似然估計(jì)法。 因?yàn)槟壳暗?各種時間序列分析軟件都能直接估算并給出參數(shù)估計(jì)值，本文沒有就估計(jì)的情況 做更詳細(xì)的介紹。但我們指出一個重要結(jié)論，可以證明 AR模型條件極大似然估 計(jì)等價于最小二乘法（OLS）。注意這個結(jié)論的前提是樣本量夠大，沒有足夠的 樣本由于無法消除

44、初始值的影響是不能得到該結(jié)論的。這也說明了為什么時間序列模型建模要求數(shù)據(jù)足夠多。另外，由于 MA項(xiàng)不能直接觀察到，估計(jì) MA或 ARMA的模型不能使用最小二乘法，必須使用極大似然估計(jì)法，這樣相對較復(fù) 雜，而且估計(jì)的不確定性較 AR模型增大，因此一般推薦使用 AR模型為先。第三步、模型適用性檢查。在模型參數(shù)估計(jì)出來后，我們可以就模型對數(shù)據(jù)的適用性進(jìn)行一些分析檢查。模型檢查主要是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷囊恍┘僭O(shè)條件是否被滿足。一般來說，最重要是檢查殘差是不是白噪聲，這可以通過殘差序列的自相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)和 LB統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) （又叫Q檢驗(yàn)）來驗(yàn)證。此外，還可檢驗(yàn)殘差序列是不是滿足正態(tài)分布的假設(shè)， 這個通過JB檢驗(yàn)來完成。

45、若模型適用性檢驗(yàn)不能滿足，那么我們應(yīng)回到第一步，重新建立模型、估計(jì)、 檢驗(yàn)，直到找到模型通過適用性檢查。第四步、應(yīng)用模型統(tǒng)計(jì)推斷與預(yù)測。當(dāng)找到通過模型適用性檢驗(yàn)的模型后，我們可以用于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和預(yù)測。預(yù)測 可以通過迭代法完成，而且根據(jù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差還可以建立預(yù)測區(qū)間估計(jì)。三、時間序列分析的應(yīng)用我們將以上介紹的時間序列分析方法具體應(yīng)用于國內(nèi)增值稅（1999年1月 到2009年4月的月度數(shù)據(jù)）的研究分析。具體而言，以實(shí)際稅收數(shù)據(jù)為例，依 據(jù)時間序列模型分析順序，逐一說明和解釋數(shù)據(jù)處理、模型設(shè)定、模型估計(jì)、模 型適用性檢驗(yàn)和模型預(yù)測等步驟，以增強(qiáng)時間序列分析方法的實(shí)際操作性。圖4顯示的是增值稅數(shù)據(jù)的散

46、點(diǎn)圖。我們可以看出我國增值稅稅收收入呈現(xiàn) 明顯的逐年遞增趨勢。月度間數(shù)據(jù)的差異也較為明顯，但該波動并不具有明顯的 規(guī)律性。由此，該數(shù)據(jù)具有長期變動趨勢，但季節(jié)性和周期性變動不顯著。我們 在模型設(shè)定上就應(yīng)該要考慮數(shù)據(jù)的長期遞增特征。圖4：增值稅數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（月度）對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。所運(yùn)用的計(jì)量工具是 ADF檢驗(yàn)。表3給出增值稅月度數(shù)據(jù)的ADF檢驗(yàn)結(jié)果。結(jié)果顯示，盡管對數(shù)據(jù)作了一階差分處理，并加入常數(shù)項(xiàng)和線性時間調(diào)整項(xiàng)后，檢驗(yàn)結(jié)果依然顯示數(shù)據(jù)具有單位根。 處理后的時間序列數(shù)據(jù)依然是不平穩(wěn)的。由此，我們認(rèn)為有必要對數(shù)據(jù)先取對數(shù)，以求在一定程度上平緩數(shù)據(jù)波動。表4為取自然對數(shù)處理之后增值稅數(shù)據(jù)的A

47、DF檢驗(yàn)結(jié)果。數(shù)據(jù)作了一階差分處理，并加入常數(shù)項(xiàng)后，該數(shù)據(jù)顯示具有平穩(wěn)性。由此，取自然對數(shù)并作一階 差分處理后的增值稅數(shù)據(jù)，將成為我們分析的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。表5顯示的是處理之后的增值稅數(shù)據(jù)的自相關(guān)分析結(jié)果。Eviews的操作步驟是點(diǎn)擊view/correlogram 。結(jié)果表明該平穩(wěn)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)均 有一定的拖尾，其中自回歸(AR)應(yīng)考慮滯后1、2、3和12期的影響，移動平均 (MA)應(yīng)考慮滯后1和2期的影響。由此，我們初步選取自回歸移動平均模型 ARMA，并將 AR(1)、AR(2)、AR(3)、AR(12)、MA(1)和 MA(2)項(xiàng)作為影響因 子。表6是建立在該ARMA模型基礎(chǔ)上的

48、估算結(jié)果。其中Inverted AR Roots 表示根的倒數(shù)，因此必須模小于1才符合平穩(wěn)性條件。通過計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)該ARMA模型滿足平穩(wěn)性條件和可逆性條件。|.96+.00 |= 0.96 < 1|.83-0.49i |=0.9638 < 1|.48+.84i |=0.9725 < 1|.00+.97i|=0.97 < 1對估計(jì)參數(shù)進(jìn)行分析，我們發(fā)現(xiàn)AR(1)、AR(2)、AR(3)和MA(2)項(xiàng)的參數(shù)的 t檢驗(yàn)值非常不顯著。在之前的介紹中，我們已經(jīng)強(qiáng)調(diào)模型的參數(shù)個數(shù)在模型滿 足統(tǒng)計(jì)推斷要求的情況下應(yīng)盡量少，即可達(dá)到同樣統(tǒng)計(jì)目的的兩個模型參數(shù)少的 一個為佳。因此，我們考

49、慮將 AR(1)、AR(2)、AR(3)和MA(2)這4項(xiàng)從模型中 刪除。如果新模型可以帶來同樣滿意的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，我們將傾向于使用新模型。首先，AIC和SIC信息標(biāo)準(zhǔn)被用來判斷這兩個模型更符合數(shù)據(jù)特征。表 7給 出了建立在新模型基礎(chǔ)上的估算結(jié)果。我們發(fā)現(xiàn)，表 7中給出的AIC和SIC均 小于表6中給出的相應(yīng)數(shù)值。因此，從該信息標(biāo)準(zhǔn)角度分析，新模型優(yōu)于原有模 型。其次，也是更為重要的，新模型能不能通過假設(shè)檢驗(yàn)或適用性檢查。表7中的In verted AR Roots部分給出的根的倒數(shù)，|.97+.00 |= 0.97 < 1|.48+.84i |=0.9725 < 1與表6中一樣，這些

50、根的倒數(shù)的模都小于1,這說明新模型同樣滿足平穩(wěn)性 條件和可逆性條件。當(dāng)然最為重要的是檢驗(yàn)新模型的殘差是不是白噪聲。表8是新模型殘差序列的自相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果。結(jié)果顯示不能拒絕原假設(shè)，也就是說殘差不存在相關(guān)性，殘差為白噪聲時間序列。由此，我們最終得出最能解釋數(shù)據(jù)并運(yùn)用于分析的時間序列模型，自回歸移 動平均模型ARMA，其中解釋因子為AR(12)和MA(1)兩項(xiàng)。對模型的應(yīng)用和預(yù)測部分將在此忽略。這是因?yàn)橹髮⒂姓n程對時間序列模 型的預(yù)測做重點(diǎn)講解。表3 :增值稅平穩(wěn)性檢驗(yàn)（ADF ）Null Hypothesis: D(VAT) has a unit rootExogenous: Constant,

51、Linear TrendLag Length: 11 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)Augmented Dickey-Fuller test statistict-Statistic-3.102961Prob.*0.1108Test critical values:1% level-4.0428195% level-3.45080710% level-3.150766*MacKinnon (1996) one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test EquationSample (adjusted): 20

52、00M02 2009M04Included observations: 111 after adjustments表4 :增值稅平穩(wěn)性檢驗(yàn)（ADF ）Null Hypothesis: D(LNVAT) has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 11 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12)Augmented Dickey-Fuller test statistict-Statistic-3.762518Prob.*0.0044Test critical values:1% level-3.4902105% level-2.88766510% level-2.580778*MacKinnon (1996) one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test EquationSample (adjusted): 2000M02 2009M04Included observations: 111 after adjustments表5:我國增值稅自相關(guān)分析（