平面三角形與空間四面體之間的類比

1、平面三角形與空間四面體之間的類比“類比是偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題”（波利亞）。新教材中引入類 比這一內(nèi)容，從根本上改變了我以往對數(shù)學(xué)的看法。雖然我以前也知道到類比，但卻不敢把它作為一種數(shù)學(xué)方法理直 氣壯地在課堂上講授，讓學(xué)生使用。如今總算可以放開手腳，大膽應(yīng)用了。首先，平面三角形是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，而四面體是立體幾何中的一個(gè)基本圖形。二者之間有著密 切的聯(lián)系，同時(shí)它們之間的聯(lián)系體現(xiàn)了平面與空間的聯(lián)系，一維空間與二維空間的聯(lián)系，進(jìn)一步可能有助于對多維空 間的理解。一、從概念上看：三角形是邊數(shù)最少的多邊形，四面體是面數(shù)最少的多面體。二、三角形的任意兩邊之

2、和大于第三邊。四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積。三、任意一個(gè)三角形都有一個(gè)外接圓，即不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓圓心稱為三角形的外心，外心是各邊垂 直平分線的交點(diǎn)，外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等。任意一個(gè)四面體都有一個(gè)外接球，即不共面四點(diǎn)確定一個(gè)球；這個(gè) 球的球心在四面體各個(gè)面內(nèi)的射影是各個(gè)面的外心，且它到四面體各頂點(diǎn)的距離也相等。四、任意一個(gè)三角形都有一個(gè)內(nèi)切圓，圓心稱為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到各邊距離相等，是三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；S = rc且設(shè)三角形的周長為 c,內(nèi)切圓半徑為r,則三角形的面積為1 。任意一個(gè)四面體都有一個(gè)內(nèi)切球，球心到各個(gè)面的距離相等，是從六條棱出發(fā)的六個(gè)二面角的平分

3、面的交點(diǎn)。且設(shè)四面體的表面積為S內(nèi)切球半徑為 R，則四面體的體積為 ；。五、正三角形棱長為a時(shí)，周長為3a,面積為-外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的 2倍。正四面體棱長為a時(shí)，表面積為，外接球半徑為盤內(nèi)切接球半徑為11 。外接球半徑是內(nèi)切球半徑的 3倍。六、任意三角形的三條中線交于一點(diǎn)，稱為三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍。（重心定理）如圖1所示： G為二 的重心。且 AG=2GE任意四面體的頂點(diǎn)與對面重心的連線交于一點(diǎn)，正是四面體的物理重心，且四面體的重心到頂點(diǎn)的距離是 它到對面重心距離的 3倍。（重心定理的推廣）如圖2所示：E,F分別為，1| ；&

4、#39; -1L 的重心，AE與BF相交于點(diǎn)G,則G為四面體A-BCD的重心。 AG=3GE七、三角形中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為- -1，則它的重心坐標(biāo)為叫+羽+兀必+為+必)。四面體中四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為jq+呵+西+習(xí)”+”+”+片珂+ %+勺+%)則它的重心坐標(biāo)為'八、三角形中有余弦定理。在四面體A-BCD中，頂點(diǎn)A,B,C,D所對底面面積分別為;以四面體的各棱為棱的.面角大小分別為 m；r ；二。則有. . r丄嚴(yán)；二嚴(yán) m余弦定理證明如下:證明：在二二T中利用射影定理有a-c cos 5 +b cos C (1) b-acoC(2) c = Z?cosi4+cos5 (3)由上面

5、三式得：,一££ I上.”上|二j向量證明至迄中，不一讖；_石，':Bfc|2 二 應(yīng) 一 Xi)(xb-Ah)町岡沖科価點(diǎn)*Bc|z 二 ptp+1/1?|2-2|Xi|AtcasAa2 = b2 +t2 -2bccosA空間中的余弦定理類比證明如下:證明：由空間的射影定理知H為點(diǎn)A在平面BCD中的射影，貝U 5遜D +門遜C +叫沁COS+ Eg COS+ "q COS同理有：Sr COS CIqp + Sq COS C12)+ 爲(wèi) COS 必丄 cSq S&cos 此伺 + S號(hào) cos &血+S© cos a嗣爲(wèi)二

6、63; cos aiC+& cos aAC+i?ccos 弦于是有= $£“機(jī)°£龜D +心衛(wèi)"月%)+心衛(wèi)心l也亡=,丫，：丫，嚴(yán)叮二.丄:；+丨丄. /J'.,+ ' ' 12，：，' "jIl 匚"-'jJ所以：匚二點(diǎn)評(píng)：在上面的推理論證中，我們不光從已知、結(jié)論上進(jìn)行了類比，而且對證明過程也進(jìn)行了類比。充分體現(xiàn) 了類比的“引路人”作用。九、在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這是勾股定理，它是余弦定理的一種特殊情形。于是 可利用余弦定理證明。在有三個(gè)面兩兩互相垂直的四面

7、體中，三個(gè)“直角面”的面積平方和等于“斜面”的面積平方。這是推廣的勾股 定理，它也正好是前面推廣的余弦定理的特殊情形。于是它可利用推廣的余弦定理證明。十、三角形中有正弦定理:siujI sinS sin (7證明：在 MBC 中，有于是有：丄S遜亡=1眩 sin B = ab sin C2 2c ba即：i上 ：口二。 同理可證：_口一二( :二。而在四面體 ABCD中，設(shè)棱AB與面ACD，面BCD所成角分別為 Z 0 ,則-:-：1 -:二A證明：如圖4:作AH垂直平面BCD , H為垂足。則 二二就是AB與平面BCD所成角。所以AH=AB ：1L -。所以匚同理：二“LACS) _ %血如

8、所以 “丄口丄-二即一;一：i：；十一、已知點(diǎn) o是二 內(nèi)任意一點(diǎn)，連接 AO,BO,CO并延長交對邊于 A，B，C',OA1 OS1 OC' qr +H 1則矢證明：如圖5所示,0占_ &妙因?yàn)閕'. .-I與同底，所以同理:ob* _ &牧 gc，_瓦沁莎一琢；歹臥所以W + 0E' + °C' _ &陋 + 必血 * % 噸 _ AA莎CC'T盂而在空間四面體 ABCD中也可有類似命題:已知點(diǎn)O是四面體ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO,BO,CO,DO并延長交對面OA1 OB1 OC 0D1rH1H于 A', b', C' D ,則孔4 SB' CCl DD'證明：如圖6所示,因?yàn)槿忮F O-BCD與三棱錐 A-BCD