應(yīng)用留數(shù)定理與數(shù)學(xué)分析中求積分的比較

1、應(yīng)用留數(shù)定理與數(shù)學(xué)分析中求積分的比較周苗數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)08292841摘要在計算某些三角有理函數(shù)的積分時，用數(shù)學(xué)分析中的萬能公式等方法計算往往是十分麻煩或者不易求出這些三角函數(shù)的積分，但如果應(yīng)用留數(shù)定理計算某些三角函數(shù)的積分就顯得比較簡潔關(guān)鍵詞留數(shù)留數(shù)定理定積分萬能公式1引言近年來為適應(yīng)教育改革而提倡的研究性學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)新時代學(xué)生的創(chuàng)新能力產(chǎn) 生新的學(xué)習(xí)方式，也就是說對一些重點、熱點問題進(jìn)行專題研究，對思維能力的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高顯得尤為重要在求三角有理函數(shù)的定積分問題上，一般教材介紹的都是先用萬能公式化為一 般函數(shù)的定積分，然后再利用換元法、公式法、分部積分法等方法來計算

2、這些方法雖然都能達(dá)到計算目的，也各有優(yōu)勢但存在一個最大的缺點：計算量大且計算繁 瑣,給我們的學(xué)習(xí)帶來不便，導(dǎo)致很多學(xué)生沒法求出一些定積分的結(jié)果本文就是針 對應(yīng)用萬能公式的缺點，巧妙的應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出定積分本文主要是解決用一般方法很難求得的三角有理函數(shù)的定積分應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行求解的問題， 簡化我們計算的繁瑣過程其要點是將定積分化歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分，然后利 用留數(shù)定理進(jìn)行求解本文主要將用留數(shù)定理和萬能公式求積分進(jìn)行比較，體現(xiàn)利 用留數(shù)定理求解某些三角函數(shù)積分的優(yōu)越性2留數(shù)定義及留數(shù)定理2.1留數(shù)定義如果函數(shù)f z在點a是解析的，周線C在點a的某領(lǐng)域內(nèi)，并包圍點a，則根據(jù) 柯西積分定理

3、f zdz =0c但是，如果a是f z的一個孤立奇點，且周線C全在a的某個去心領(lǐng)域內(nèi)，并包圍點a，則積分的值，一般說來，不再為零，并且利用洛朗系數(shù)公式很容易計算出它的值來概括起來有定義2.1設(shè)函數(shù)f z以有限點a為孤立奇點，即f z在點a的某去心領(lǐng)域Ocz-a cR內(nèi)解析，則稱積分1Jf (zdz(|z a| = P,o £ PcR)2. -為f (z在點a的留數(shù)(residue)，記為Res f(z).由柯西積分定理知，當(dāng)0： X：r，留數(shù)的值與無關(guān)，利用洛朗系數(shù)公式有:12fzdzz -a這里C是f z在z二a處的洛朗展式中 丄這一項系數(shù) 由此可知，函數(shù)在有限可去奇點處的留數(shù)為零

4、.2.2留數(shù)定理2.2.1 柯西留數(shù)定理設(shè)f z在周線或復(fù)周線 C所范圍的區(qū)域 D內(nèi)，除a1,a2,外外解析，在閉域doc上除a®,外連續(xù)，則“大范圍”積分)cf級=巴眉 z 證明 以ak為心，充分小的正數(shù)Pk為半徑畫圓周k：za = Pk(k=1,2, ,n)使這些圓周及內(nèi)部均含于 D，并且彼此相互隔離，應(yīng)用復(fù)周線的柯西定理得.f zdz = v . f zdz， ck*由留數(shù)的定義，有f z dz = 2二 i Res f z .z=kn代入上式得f zdz=2二卜Res f z CkJ 72.2.2 留數(shù)的求法為了應(yīng)用留數(shù)定理求周線積分，首先應(yīng)該掌握求留數(shù)的方法而計算在孤立奇1

5、點a的留數(shù)時，我們只關(guān)心其洛朗展式中的 之意向的系數(shù)，所以應(yīng)用洛朗展式z-a求留數(shù)是一般方法.下面介紹求n階極點處的留數(shù)的公式，免得每求一個極點處的 留數(shù)，都要去求一次洛朗展式.定理1設(shè)a為f z的n階極點，z(z-a J其中z在點a解析，;a =0,則an -1 !這里符號0 a代表a，且有:n-1 a <imz=an -1證：Rej-三嚴(yán).氓 推論1設(shè)a為f z的一階極點,z 二 za f z ， 則Res 二 az =a推論2設(shè)a為f z的二階極點，z = z-a2f z，則Resf zi；V az =a3留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用2：3.1形如 f cosx,sin x dx型的積

6、分0這里f cosx,sinx表示cosx,sinx的有理函數(shù)，并且在0,2二上連續(xù)，把握此類積分要注意，第一：積分上下限之差為2二，這樣當(dāng)作定積分時x從0經(jīng)歷變到2二， 對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周第二：被積函數(shù)是以正弦和余弦函數(shù)為自變量當(dāng)滿足這兩個特點之后，我們可設(shè) z二eix，則dz二izdx，ix .ix 2ix. ix2e -ez -1e +e z +1sin x， cosx得2i2iz22zHdzI 2z 2iz / iz2 二f cosx,sin x dx 二0 '注：這里的關(guān)鍵一步是引進(jìn)了變數(shù)代換 z=e舊，至于被積函數(shù)R(cosB,si nB在10,2冗】上

7、的連續(xù)性課不必先檢驗，只要看變換后的被積函數(shù)在 z =1上是否有奇點.3.2 萬能公式求積分2兀f cosx,sinxdx是三角函數(shù)有理式的定積分，一般通過變換t = tan，可把它化為有理函數(shù)的不定積分，這是因為sinx 22sin x +cos x2tan'22t2 21 ta n x 1 t2 x . 2 x cos sin 一 22 xcosx 二 2.2 x sin cos - 2 2-tan § _-t222 x 1 t21 tan 24dx 說 dt¥ 1 t22 dt2n1所以 0 Rsin Xcosxdx jR4應(yīng)用比較留數(shù)是與封閉曲線上的復(fù)積分相

8、聯(lián)系的.因此，定積分要想利用留數(shù)來計算就面臨兩個問題：一是要將定積分的被積函數(shù)實函數(shù)變?yōu)閺?fù)函數(shù)，而且是解析函數(shù).這一點容易做到，因為實積分的被積函數(shù)是初等函數(shù)，不難推廣到復(fù)數(shù)域內(nèi)；二是 要將定積分的積分區(qū)間，一般采用代換或者添加輔助曲線，并且輔以極限概念來實 現(xiàn).對于個別在實軸上存在奇點的，還需要對分?jǐn)?shù)路稍作變化調(diào)整.而對于三角函數(shù)的定積分R sinx,cosxdx都可以用“萬能代換” t=ta化為a2有理函數(shù)進(jìn)行積分.但這時產(chǎn)生的有理函數(shù)的分母次數(shù)較高，計算量較大.在求三角函數(shù)定積分時，當(dāng)被積函數(shù)是sin被積函數(shù)在Z=1內(nèi)只有一個一階極點z = - 1，由定理 x,cos2x及sinxcos

9、x的有理式時，采用變換t =tanx較方便一些.因此下面我們對此進(jìn)行比較例1計算I二2 二 dr0 5 3cos r67解法一：留數(shù)定理解令z=e*，由留數(shù)定理知5 3cos)如i(3z2 +仏+3產(chǎn)_鼻dz3i z+(z+3)#從而 Res R z 廠1 = lim:32 =丄3i z 3 _4i#所以由留數(shù)定理知:宀 iResRzd 也 irn nI =l4i 丿 2#解法二：萬能公式1 t22令tant,貝V cos, d2 dt，所以21+t1+t2n1dr1 t2-_31_t2dt二Edt5 3-be21tL(t d1 =arcta nfW .丿2 241 +LS丿5 3cosr1

10、t2亠. n-：_2從上面兩種求解方法對比可以得到，方法一應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行積分求解，計算量小, 思路清晰顯然,在第二種方法求解時，運(yùn)用萬能公式將三角函數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為 求無窮積分的解，其計算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于第一種方法例2計算積分(0 乞 p <1)d日21 -2pcos： p解法一：留數(shù)定理 令z 則曠-込當(dāng)p“時，iz1-2pcos丁 p2 二 1 _ p z zp2 二»pz-z所以1dzf izU z_p 1_pz8#且在圓z c1內(nèi)被積函數(shù)只以z=p為一階極點，在z =1上無奇點，則依定理警也）吐!哩乙孑川討0“小所以由留數(shù)定理知:I =2冗 iResR(z), p 1-2冗

11、 i吩(gp<1)#解法二：萬能公式0令tan t,則 cost21 -t1 t2dt，所以2ndr1 -2p cos：2-：1 t -2p 2 pt2dt1 t21 -2p1-t22,2 p tdtpt t1 -P2占2Pt +t jP -1p -11-P2arcta n1-P29從例二這個例子我們還是可以發(fā)現(xiàn) ，雖然運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的萬能公式也能求解出來，但是計算量太大.而留數(shù)公式則大大簡化了計算量，回避了計算量大的缺點，并 且體現(xiàn)了思維的簡潔性，思路的清晰性，給人一目了然的感覺.例3計算積分丨丨0 a2sin2 丁#解法一：留數(shù)定理令z弋宀0 r < 2 1，2 - hz，則

12、iz1 2| 2 0 a2 sin2 -=2i.zdzz z2 2az T z2 -2az -1被積函數(shù)在z =1內(nèi)有兩個一級極點：-aa2 1, z2 = a2 1,故由留數(shù)定理有I =2i 2| iRe sR z ,乙 L：；，ResR z ,z2 na . a1 2id 丁2 0 a2(sin2 v cos2 v) sin2 r1 2I 丨sec2 d2 0 a21 tan2 v tan" 一：ii:ii 22dt22 Rt2 ；a2 1t2t22 -： a21 a212 1解法二：萬能公式令 t 二 tan 二，dt 二 sec2v，貝Udra2 sin2 ；|1 2H dr

13、2 0 a2 sin21012a、a2 1a+七Q =na、a2 1由于本例題的被積函數(shù)是關(guān)于sin2x的有理式的積分，所以在使用萬能公式時做的x代換是t =ta nx,比令t=ta n-稍微簡單些，但是與留數(shù)定理比較還是略顯復(fù)雜2例4計算積分2【sin2 二0 a bcos4z2dziz.22(Z2 -12、dz2 2a 彳z z 1 b2 22b z - z z - : z -其中土產(chǎn)為實系數(shù)二次方程.2 Z. dZ12#1=0b的兩個相異的實根.由根與系數(shù)的關(guān)系oP =1，且顯然円|«,故必叫 <1, >1.于是，被積函數(shù)f(z )在Z =1上無奇點，在單位圓ZC1

14、內(nèi)只有一個二階極點z=0和一個一階極點Z-.，- 阻sf(»Z2 1 2Z2 Z 1bR ff 、(Z2 -1 )(1、2 n (a-M由留數(shù)定理得2aba -Pb2b2a +2y'a2 -b2bb#對于例4,比例1,例2,例3更為復(fù)雜，如果,4運(yùn)用萬能公式進(jìn)行代換求解，其計算 量可以想象.所以運(yùn)用留數(shù)定理大大減少了我們的運(yùn)算量 綜上，由以上四個例子可以得出，我們在計算有關(guān)三角函數(shù)的定積分的時候可以避 免用萬能公式，而是根據(jù)具體情況運(yùn)用留數(shù)定理尋找較為簡單的解法，可以簡化我們的計算量，讓人思路清晰，一目了然參考文獻(xiàn):1鐘玉泉復(fù)變函數(shù)論M高等教育出版社，2004.:2蓋云英復(fù)變

15、函數(shù)與積分變換指導(dǎo)M科學(xué)出版社，2004.:3王玉玉.復(fù)變函數(shù)論全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解M中國時代經(jīng)濟(jì)出版社，2008.:4王瑞蘋.論留數(shù)與定積分的關(guān)系J 荷澤學(xué)院學(xué)報,2005.:5余家榮.復(fù)變函數(shù)論M高等教育出版社，2004.:6李紅，謝松發(fā).復(fù)變函數(shù)與積分變換M華中科技大學(xué),2003.:7路可見.解析函數(shù)邊值問題.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1987:8譚欣欣，張莉.復(fù)變函數(shù)全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與解題能力訓(xùn)練M.大連：大連理工大學(xué)出版社2002.:9孫清華，孫昊.復(fù)變函數(shù)內(nèi)容、方法與技巧M.武漢：華中科技出版社.2003.10 Sidorov Yu V,Fedoryuk M V,Shabunin M I

16、.Lectures on the Theory of Functions ofa Complex Variable.Moscow:Mir publishers,1985The Comparison of Integral Computation through the Application ofResidue Theorem and Mathematical An alysisAbstract In the computation of certain Trigonometric integral, it is usually very cumbersome or difficult to compute the in tegratio n of trigo no metric