隨機(jī)信號分析課件2

1、隨機(jī)信號分析Random Signal Analysis水聲工程學(xué)院College of Underwater Acoustic Engineering第二章第二章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程第二章 隨機(jī)過程噪聲電壓的起伏波形噪聲電壓的起伏波形00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5-8-6-4-202468x 10-3tX(t)Brownian motionBrownian motion22 交流發(fā)電機(jī)輸出電壓交流發(fā)電機(jī)輸出電壓其中其中r r和和為隨機(jī)振幅和隨機(jī)相位。為隨機(jī)振幅和隨機(jī)相位。 單個(gè)樣本函數(shù)為單個(gè)樣本函數(shù)為)cos()(trtx)(cos()(),(iiit

2、rtx),(itxt2.1 隨機(jī)過程的基本概念及其統(tǒng)計(jì)特性 定義定義1 1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E的樣本空間的樣本空間S S ,若對每個(gè)元素若對每個(gè)元素S S，總有確知的時(shí)間函數(shù)，總有確知的時(shí)間函數(shù)X X( (t t,),tT,),tT與它相對應(yīng)；與它相對應(yīng)；這樣，對于所有的這樣，對于所有的S S，就可以得到一族時(shí)間，就可以得到一族時(shí)間t t的函數(shù)，的函數(shù)，將其稱為隨機(jī)過程。族中的每一個(gè)函數(shù)稱為該過程的樣本將其稱為隨機(jī)過程。族中的每一個(gè)函數(shù)稱為該過程的樣本函數(shù)。函數(shù)。 特定實(shí)驗(yàn)結(jié)果特定實(shí)驗(yàn)結(jié)果 一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)定義定義2 2：若對于每個(gè)特定的時(shí)間若對于每個(gè)特定的時(shí)間 都

3、是隨都是隨機(jī)變量，則稱機(jī)變量，則稱 為隨機(jī)過程。為隨機(jī)過程。 一個(gè)特定時(shí)間一個(gè)特定時(shí)間 一個(gè)取決于一個(gè)取決于的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量( ,)iiX t(1,2,) , ( , )iit iX t( , )X t( , )iitX t常用于對隨機(jī)過程的實(shí)際觀測常用于對隨機(jī)過程的實(shí)際觀測 用實(shí)驗(yàn)方法觀測到各個(gè)樣本用實(shí)驗(yàn)方法觀測到各個(gè)樣本樣本數(shù)目越多，越能掌握隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性樣本數(shù)目越多，越能掌握隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性常用于理論分析常用于理論分析可以看成隨機(jī)變量的推廣（可以看成隨機(jī)變量的推廣（n n維）維）隨機(jī)變量的維數(shù)越大，越能掌握隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)變量的維數(shù)越大，越能掌握隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

4、 4 4一一個(gè)確定值（個(gè)確定值（t t和和都固定）都固定） 2 2 一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)(t(t是變量，而是變量，而固定）固定） 1 1 一個(gè)時(shí)間函數(shù)族（一個(gè)時(shí)間函數(shù)族（t t和和都是變量）都是變量） 3 3一一個(gè)隨機(jī)變量（個(gè)隨機(jī)變量（t t固定，而固定，而是變量）是變量）2.1.2隨機(jī)過程的分類 一、按一、按X(t)X(t)的時(shí)間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進(jìn)行分類的時(shí)間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進(jìn)行分類1 1、連續(xù)型隨機(jī)過程連續(xù)型隨機(jī)過程任意的任意的 都是連續(xù)型隨機(jī)變量；都是連續(xù)型隨機(jī)變量；2 2、離散型隨機(jī)過程離散型隨機(jī)過程任意的任意的 都是離散型隨機(jī)變量；都是離散型隨機(jī)變量；3 3、

5、連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)隨機(jī)序列任意離散時(shí)刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)變量；任意離散時(shí)刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)變量；4 4、離散隨機(jī)序列離散隨機(jī)序列隨機(jī)過程的時(shí)間和狀態(tài)都是隨機(jī)過程的時(shí)間和狀態(tài)都是離散離散的。的。二、按隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的形式不同進(jìn)行分類二、按隨機(jī)過程的樣本函數(shù)的形式不同進(jìn)行分類1 1、不確定性隨機(jī)過程不確定性隨機(jī)過程樣本函數(shù)的未來值不能由過去的觀測值準(zhǔn)確預(yù)測；樣本函數(shù)的未來值不能由過去的觀測值準(zhǔn)確預(yù)測；2 2、確定性隨機(jī)過程確定性隨機(jī)過程樣本函數(shù)的未來值可以由過去的觀測值預(yù)測。樣本函數(shù)的未來值可以由過去的觀測值預(yù)測。三、按隨機(jī)過程三、按隨機(jī)過程X(t)X(t)的的分布函數(shù)或概率密度的不同特性分類

6、的的分布函數(shù)或概率密度的不同特性分類1 1、正態(tài)過程、馬爾可夫過程、獨(dú)立增量過程、正態(tài)過程、馬爾可夫過程、獨(dú)立增量過程2 2、平穩(wěn)性過程、遍歷性、平穩(wěn)性過程、遍歷性3 3、寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲、寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲11 , ( )tTX t11 , ( )tTX t2.1.32.1.3隨機(jī)過程的概率分布隨機(jī)過程的概率分布12, ,nt tt12( ),( ),( )nX tX tX t時(shí)刻采樣，得到一族隨機(jī)變量時(shí)刻采樣，得到一族隨機(jī)變量不同采樣時(shí)刻的概率密度函數(shù)不同采樣時(shí)刻的概率密度函數(shù) 將對隨機(jī)變量的研究推廣到隨機(jī)過程中去。將對隨機(jī)變量的研究推廣到隨機(jī)過程中去

7、。一、一維概率分布一、一維概率分布 隨機(jī)過程在任一特定時(shí)刻隨機(jī)過程在任一特定時(shí)刻 取樣得到隨機(jī)變量取樣得到隨機(jī)變量 ，其概率，其概率分布為分布為 稱作隨機(jī)過程稱作隨機(jī)過程X(t)X(t)的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。 求偏導(dǎo)數(shù)數(shù)可得求偏導(dǎo)數(shù)數(shù)可得 稱作隨機(jī)過程稱作隨機(jī)過程X(t)X(t)的一維概率密度。的一維概率密度。隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有一維隨機(jī)變量的一隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有一維隨機(jī)變量的一維分布函數(shù)和一維概率密度的各種性質(zhì)；維分布函數(shù)和一維概率密度的各種性質(zhì)；隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是時(shí)間隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是時(shí)間t t

8、的函數(shù)；的函數(shù)；隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度描述該隨機(jī)過程在任一隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度描述該隨機(jī)過程在任一孤立時(shí)刻取值的統(tǒng)計(jì)特性。孤立時(shí)刻取值的統(tǒng)計(jì)特性。二、二維概率密度二、二維概率密度隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)的二維分布函數(shù)為的二維分布函數(shù)為 1tT1( )X t1111( ; )( )XFx tP X tx11111( ; )( ; )XXFx tfx tx隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)的二維概率密度為的二維概率密度為21212121212( ,; , )( ,; , )XXFx x t tfx x t tx x 三、三、n維概率分布維概率分布 隨機(jī)過程隨機(jī)過

9、程X(t)的的n維分布函數(shù)為維分布函數(shù)為 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的的n維概率密度為維概率密度為12121122( ,; , ,) ( ),( ),( )XnnnnFx xx t ttP X tx X txX tx1212121212( ,; , ,)( ,; , ,) XnnnXnnnfx xx t ttFx xx t ttx xx 12121122( ,; , )( ),( )XFx x t tP X tx X tx 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)的的n n維分布函數(shù)的主要性質(zhì)：維分布函數(shù)的主要性質(zhì)：1212( ,; , ,)0Xnnfx xx t tt121212( ,; , ,)1X

10、nnnnfx xx t tt dx dxdx重121212()1212( ,; , , )( ,; , ,)Xnnmmnn mXmmfx xx t tt dxdxdxfx xxt tt重1212( ,; , , ,)0XninFx xx t ttt12( ,; , ,)1XnFt tt 5 5、4 4、3 3、2 2、1 1、6 6、如果、如果 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有12121122( ,; , ,)( ; )(; )(; )XmmXXXnnfx xxt ttfx tfx tfx t12( ),( ),( )nX tX tX t全局特征全局特征N N維概率密度維概率密度二二維概率密度維概

11、率密度一一維概率密度維概率密度自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度均值均值方差方差高高階矩階矩高階譜高階譜高階矩高階矩局部特征局部特征2.1.4 2.1.4 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征 2.1.4 2.1.4 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征 在實(shí)際應(yīng)用中，要確定隨機(jī)過程的概率分布族，并加以分析，常在實(shí)際應(yīng)用中，要確定隨機(jī)過程的概率分布族，并加以分析，常比較困難；比較困難； 隨機(jī)變量的數(shù)字概念推廣到隨機(jī)過程中去；隨機(jī)變量的數(shù)字概念推廣到隨機(jī)過程中去；隨機(jī)過程數(shù)字特征通常不再是確定數(shù)值，而是確定的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)過程數(shù)字特征通常不再是確定數(shù)值，而是確定的時(shí)間函數(shù)。一、數(shù)學(xué)期望一、

12、數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)在任意一個(gè)時(shí)刻在任意一個(gè)時(shí)刻t t的取值是一個(gè)隨機(jī)變量的取值是一個(gè)隨機(jī)變量X(t)X(t)，將其，將其任意取值任意取值x(t)x(t)簡計(jì)為簡計(jì)為x x，由隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義可得，由隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義可得 為時(shí)間的確定函數(shù)，稱為隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望。為時(shí)間的確定函數(shù)，稱為隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望。( )( )( ; )XXmtE X txfx t dx二、均方值和方差二、均方值和方差 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X(t)X(t)的二階原點(diǎn)矩的二階原點(diǎn)矩 為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程X(t)X(t)的均方值。的均方值。 222( )( )( ; )XXtE Xtx fx t

13、 dx隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015tX(t)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X(t)X(t)的二階中心矩的二階中心矩 為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程X(t)X(t)的方差。的方差。 為中心化隨機(jī)過程。為中心化隨機(jī)過程。均方值和方差都是均方值和方差都是t t的確定函數(shù)；的確定函數(shù)；方差描述了諸樣本對于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度；方差描述了諸樣本對于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度； 222( )( )( )( )( ) XXtD X tE XtE X tmt( )( )XXX tmt二、自相關(guān)

14、函數(shù)二、自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)定義為隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)定義為相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)反映了反映了X(t)X(t)在任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)之間在任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)之間的的線性線性相關(guān)相關(guān)程度。程度。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1212( , )( )( )XRt tE X t X t12121212( ,; , )Xx x fx x t t dx dx 212( , )( , )( )( )( )XXRt tRt tE X t X tE Xt12ttt- -相依過程相依過程 如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程X(t)X(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足的自相關(guān)函數(shù)滿足1212( , )0| ,|XRt tt t則稱則稱X(t)X(t)

15、是相關(guān)是相關(guān)-相依的。相依的。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02tX(t)具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過程具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過程具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過程具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過程00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015tY(t) 隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)為隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)為 協(xié)方差函數(shù)描述了在任意兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間的相關(guān)程度。協(xié)方差函數(shù)描述了在任意兩個(gè)時(shí)

16、刻的起伏值之間的相關(guān)程度。 協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：1212( , )( )( )XKt tE X tX t1122( )( )( )( )XXE X tmtX tmt1122121212( )( )( ,; , )XXXxmtxmtfx x t t dx dx 121122( , )( )( )( )( )XXXKt tE X tmtX tmt12122112( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )XXXXE X t X tmt E X tmt E X tmt mt1212( , )( )( )XXXRt tmt mt 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有

17、推導(dǎo)可得推導(dǎo)可得 數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過程兩個(gè)最基本的數(shù)字特征，其它數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過程兩個(gè)最基本的數(shù)字特征，其它數(shù)字特征都可以通過二者間接求得。數(shù)字特征都可以通過二者間接求得。12ttt12( , )( , )XXKt tKt t2( )( ) XE X tmt2( )( )XD X tt222( )( )( )XXtE Xtmt【例題例題】分析正弦型隨機(jī)相位信號分析正弦型隨機(jī)相位信號0( )cos()X tAt0(- , )a 為數(shù)為勻隨變，求隨機(jī)信號的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)其其中中 和和常常，上上均均分分布布的的機(jī)機(jī)量量。 解：解：0( )( )cos()XmtE X tE

18、At01cos()2Atd01212( , )( )( )XRt tE X t X t0 10 2cos()cos()E AtAt20121cos()2Att2221( )( , )( )2XXXtRt tmtA20120121cos()cos()2 2A Etttt 22012012111cos()cos()2 222AttAttd2.1.52.1.5隨機(jī)過程的特征函數(shù)隨機(jī)過程的特征函數(shù) 概率密度和特征函數(shù)是一對傅立葉變換。利用特征函數(shù)可以簡概率密度和特征函數(shù)是一對傅立葉變換。利用特征函數(shù)可以簡化運(yùn)算。化運(yùn)算。一、一維特征函數(shù)一、一維特征函數(shù) 稱為隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程X(t)X(t)的一維特

19、征函數(shù)。的一維特征函數(shù)。 一維特征函數(shù)的傅立葉反變換為一維特征函數(shù)的傅立葉反變換為 11( )11( ; )ju X tXCu tE e1 1111( ; )ju xXefx t dx11( ; )Xfx t1 11111( ; )2ju xXeCu t du隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)的的n n階原點(diǎn)矩函數(shù)為階原點(diǎn)矩函數(shù)為 0( ; )( )( ; )()nnnnXXnuCu tE Xtx fx t dxju 二、二維隨機(jī)過程二、二維隨機(jī)過程121211221 122121212( ,; , )exp( )( )exp()( ,; , )XXCu u t tEju X tju X tju

20、 xju xfx x t t dx dx 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)的相關(guān)函數(shù)可表示為的相關(guān)函數(shù)可表示為 三、隨機(jī)過程的三、隨機(jī)過程的n n維特征函數(shù)維特征函數(shù) 稱為隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程X(t)X(t)的的n n維特征函數(shù)。維特征函數(shù)。12121212121221212120( , )( ,; , )( ,; , )XXXuuRt tx x fx x t t dx dxCu u t tu u 121211221 122121212( ,; , , )exp( )( )( )exp()(,; , , )XnnnnnnnXnnnCu uu t ttEju X tju X tju X tju

21、xju xju xfx xx t tt dx dxdx重 稱為隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程X(t)X(t)的二維特征函數(shù)。其傅立葉反變換為的二維特征函數(shù)。其傅立葉反變換為12121 12212121221(,; , )exp()( ,; , )2XXfx x t tju xju x Cu u t t du du 傅立葉反變換為傅立葉反變換為 121212121 12212( ,; , , )1( ,; , , )(2 )exp( ()XnnXnnnnnnnfx xx t ttCu uu t ttju xju xju xdu dudu重2.2.2 2.2.2 隨機(jī)過程相等隨機(jī)過程相等 11 隨機(jī)過程隨機(jī)

22、過程X(tX(t) )、Y(t)Y(t)的的所有樣本函數(shù)所有樣本函數(shù)皆皆相同相同，則稱兩個(gè)隨機(jī)過程，則稱兩個(gè)隨機(jī)過程（處處）相等。（處處）相等。2|( )( )| 0EX tY t 如果如果則稱隨機(jī)過程則稱隨機(jī)過程X(tX(t) )、Y(t)Y(t)在均方意義下相等。在均方意義下相等。2.2.32.2.3隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的微分微分及其數(shù)學(xué)期望與相關(guān)函數(shù)及其數(shù)學(xué)期望與相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)X(t)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)通常意義通常意義下的導(dǎo)數(shù)下的導(dǎo)數(shù)每個(gè)樣本函數(shù)都存在每個(gè)樣本函數(shù)都存在均方均方意義下的導(dǎo)數(shù)意義下的導(dǎo)數(shù)均方（均方（m.s.m.s.）導(dǎo)數(shù)）導(dǎo)數(shù) 0( )()( )( )limtd

23、X tX ttX tX tdtt 20()( )lim( )0tX ttX tEX tt 設(shè)設(shè)Y(t)Y(t)為可微過程為可微過程X(t)X(t)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其數(shù)學(xué)期望為，其數(shù)學(xué)期望為Y(t)Y(t)的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)0()( )( )limtX ttX tY tt 000()( )( )lim()( )()( )limlim( )YtXXttXX ttX tm tE Y tEtmttmtX ttX tEttdmtdt （212121212( , )( , )( , )XYXRt tR t tRt tt t 2.2.42.2.4隨機(jī)過程的積分及其數(shù)學(xué)期望與相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的積分及其數(shù)學(xué)期望

24、與相關(guān)函數(shù) 對于給定的實(shí)隨機(jī)過程對于給定的實(shí)隨機(jī)過程X(t)X(t)，我們構(gòu)成積分，我們構(gòu)成積分 若對過程若對過程X(t)X(t)的每個(gè)樣本函數(shù)的每個(gè)樣本函數(shù)X(t,)X(t,)，在黎曼意義下此積分存在，則，在黎曼意義下此積分存在，則相應(yīng)于每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果相應(yīng)于每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，積分都可得到一個(gè)數(shù)，積分都可得到一個(gè)數(shù)Y()Y()；但是對不同的；但是對不同的，積分值積分值Y()Y()也是不同的，故對所有試驗(yàn)結(jié)果，也是不同的，故對所有試驗(yàn)結(jié)果，Y Y是一個(gè)隨機(jī)變量。也就是一個(gè)隨機(jī)變量。也就是說，過程是說，過程X(t)X(t)在確定區(qū)間在確定區(qū)間a,ba,b上的積分上的積分Y Y是一個(gè)隨機(jī)變量。而對過程是一

25、個(gè)隨機(jī)變量。而對過程的每一個(gè)樣本來說，此積分是通常意義下的積分。的每一個(gè)樣本來說，此積分是通常意義下的積分。 若若則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量為過程為過程X(t)X(t)在確定區(qū)間在確定區(qū)間a,ba,b上的均方積分。上的均方積分。( )baYX t dt201lim( )0iniitiYX tt 01( )lim( )inbiiatiYX t dtX tt 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)12121212000000( , )( )( )( )( )( ,)ttYttttXRt tEXdXdE XdE XdRd d 0011 lim( )lim( )( )( )iinniiiittiibbXaaE YEX ttE

26、 X ttE X tdtmt dt 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望2.32.3平穩(wěn)性隨機(jī)過程和遍歷性過程平穩(wěn)性隨機(jī)過程和遍歷性過程 2.3.12.3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 一、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程及其數(shù)字特征一、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程及其數(shù)字特征1 1、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義 設(shè)有隨機(jī)過程設(shè)有隨機(jī)過程X(t)X(t)，若它的，若它的n n維概率密度不隨時(shí)間起點(diǎn)的選擇的不維概率密度不隨時(shí)間起點(diǎn)的選擇的不同而改變，即對于任何的同而改變，即對于任何的n n和和，過程，過程X(t)X(t)的的n n維概率密度滿足維概率密度滿足 則稱則稱X(t)X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)過程。為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹

27、義平穩(wěn)過程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。12121212( ,; , ,)( ,;,)XnnXnnfx xx t ttfx xx ttt2 2、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征 （1 1）若）若X(t)X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的一維概率密度與時(shí)間無關(guān)是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的一維概率密度與時(shí)間無關(guān) 令令 可得可得1t 11( ; )Xfx t11( ;)Xfx t1( ;0)Xfx1()Xfx ( )E X t111()XXx fx dxm2( )E Xt22111()

28、XXx fx dx ( )D X t22111()()XXXxmfx dx進(jìn)一步可求得進(jìn)一步可求得 均值均值 均方值均方值 方差方差（2 2）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程二維概率密度只與）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程二維概率密度只與t1t1、t2t2的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。間起點(diǎn)無關(guān)。 令令 可得可得 這時(shí)過程這時(shí)過程X(t)X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 協(xié)方差函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為 當(dāng)當(dāng)t1t1t2t2，即，即0 0時(shí)時(shí)121 , ttt 1212( ,; , )Xfx x t t1212( ,;,)Xfx x tt1221( ,;0,)Xfx xtt12( ,; )Xfx x12(

29、 , )XRt t121212( ,; )Xx x fx xdx dx ( )XR12( , )( )XXKt tK2( )XXRm(0)XK2X2(0)XXRm二、寬平穩(wěn)隨機(jī)過程二、寬平穩(wěn)隨機(jī)過程 滿足滿足 則稱則稱X(t)X(t)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 只涉及與一、二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征；只涉及與一、二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征；嚴(yán)平穩(wěn)過程只要均方值有界，則它必定是寬平穩(wěn)的，反之不一定嚴(yán)平穩(wěn)過程只要均方值有界，則它必定是寬平穩(wěn)的，反之不一定成立；成立；正態(tài)隨機(jī)過程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)是等價(jià)的。正態(tài)隨機(jī)過程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)是等價(jià)的。1212(

30、, )( ),( )( ) XXRt tE X tX tR2( )E Xt ( )XE X tm【例題例題】設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程0( )cos()X tat式中，式中，a a、 0 0皆為常數(shù)，皆為常數(shù)，是在是在(0,2(0,2) )上均勻分布的隨機(jī)變量。試問：上均勻分布的隨機(jī)變量。試問：X(t)X(t)是否是平穩(wěn)的隨機(jī)過程？為什么是否是平穩(wěn)的隨機(jī)過程？為什么？解解：隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的概率密度為的概率密度為102( )20felse200( )( )( )( )1cos()02XXmtE X tx t fdatdmX(t)X(t)的均值的均值X(t)X(t)的的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)12( ,

31、 )( ,)( )()XXRt tRt tE X t X t002000 cos()cos()coscos(22)2E atataEt 222000001coscos(22 )cos( )222XaatdR【例題例題】0( )( )cos()Y tX tt其中其中X(t)X(t)平穩(wěn)過程，平穩(wěn)過程，0 0 是確定量是確定量，相位，相位是在是在(0,2)(0,2)上均勻分布的隨上均勻分布的隨機(jī)變量。機(jī)變量。與與X(t)X(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。試討論統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。試討論Y(t)Y(t)的平穩(wěn)性。的平穩(wěn)性。解：解：Y(t)Y(t)的均值為的均值為00 ( )( )cos()( ) cos()0E Y tE X

32、 ttE X t EtY(t)Y(t)的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)000 ( ) ()( )()cos()cos()E Y t Y tE X t X ttt 0001( )()coscos(22 )2E X t X tEt 0( )cos( )XYRR (0)(0)YXRR 因此因此Y(t)Y(t)具有平穩(wěn)性。具有平穩(wěn)性。2220( )(0)cos022XaaE XtR 故故X(t)X(t)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。2.3.22.3.2遍歷性過程遍歷性過程 一般隨機(jī)過程要對大量樣本函數(shù)在特定時(shí)刻取值，用統(tǒng)計(jì)方一般隨機(jī)過程要對大量樣本函數(shù)在特定時(shí)刻取值，用統(tǒng)計(jì)方法到數(shù)字特征。這種方法成為統(tǒng)計(jì)平

33、均或集合平均，也簡稱法到數(shù)字特征。這種方法成為統(tǒng)計(jì)平均或集合平均，也簡稱為集平均。為集平均。辛欽證明：在具備一定的補(bǔ)充條件下，對平穩(wěn)隨機(jī)過程的一辛欽證明：在具備一定的補(bǔ)充條件下，對平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)取時(shí)間均值，就從概率意義上趨近于此過程的統(tǒng)個(gè)樣本函數(shù)取時(shí)間均值，就從概率意義上趨近于此過程的統(tǒng)計(jì)均值。計(jì)均值。任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整個(gè)隨機(jī)過程的特任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整個(gè)隨機(jī)過程的特性。性。具有遍歷性的隨機(jī)過程具有遍歷性的隨機(jī)過程X(t)X(t)00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5-8-6-4-202468x 10-3tX(

34、t)( )( )AX tX t1lim( )2TTTX t dtT( ,)( )()Xt tX t X t1lim( )()2TTX t X tdtT( )( )AX tX t( )XE X tm( ,)( )()Xt tX t X t( )()( )XE X t X tR二、遍歷性的實(shí)際意義二、遍歷性的實(shí)際意義任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均可以代替整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)平均；任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均可以代替整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)平均；遍歷過程的一、二階距函數(shù)具有明確的物理意義；遍歷過程的一、二階距函數(shù)具有明確的物理意義；( )X t1lim( )2TXTTmx t dtT221(0)lim( )2TXXTTRx t

35、dtT221lim ( )2TXXTTx tmdtT2XX電壓信號電壓信號直流分量直流分量總平均功率總平均功率交流平均功率交流平均功率電壓有效值電壓有效值1( )( )lim( )2TTTAX tX tX t dtT1( ,)( )()lim( )()2TXTt tX t X tX t X tdtT不具備遍歷性的平穩(wěn)過程不具備遍歷性的平穩(wěn)過程00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02tX(t) 2 2、平穩(wěn)隨機(jī)過程、平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)X(t)的均值具有遍歷性的充要條件為的均值具有遍歷性的充要條件為 證明：

36、證明： 是隨樣本函數(shù)不同而變化的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為是隨樣本函數(shù)不同而變化的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為 對于平穩(wěn)過程對于平穩(wěn)過程X(t)X(t)，可得，可得2201lim(1)( )02TXXTRmdTT( )X t1( )lim( )2TTTE X tEX t dtT1lim( )2TTTE X tdtT( )XE X tm( )X t( )D X t22( ) XXE X tm121221lim( , )4TTXTTTKt t dt dtT 211221lim()4TTXTTTKtt dt dtT 的方差為的方差為變量替換可得變量替換可得22221lim(1)( )22TXXXTTRmdTT

37、2201lim(1)( )2TXXTRmdTT被積函數(shù)偶函數(shù)由由X(t)X(t)的遍歷性可得的遍歷性可得 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 即，即， 依概率收斂于依概率收斂于 。因。因 由方差性質(zhì)可知，由方差性質(zhì)可知， 依概率依概率1 1成立。成立。3 3、自相關(guān)函數(shù)的遍歷性定理。、自相關(guān)函數(shù)的遍歷性定理。 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充要條件為的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充要條件為2( )0XD X t22( )( )0XP X tE X t( )X t( )E X t( )0D X t( )( )XX tE X tm 令令 ，就可得到均方值具有遍歷性的充要條

38、件。，就可得到均方值具有遍歷性的充要條件。4 4、對于正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若均值為零，自相關(guān)函數(shù)、對于正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若均值為零，自相關(guān)函數(shù) 連續(xù)，則可連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的一個(gè)充分條件為以證明此過程具有遍歷性的一個(gè)充分條件為2211101lim(1)( ( )( )02TXTBRdTT111( )()()()( )BE X tX tX tX t0( )XR0( )XRd 【例題】隨機(jī)過程【例題】隨機(jī)過程0( )sin()X tAt其中其中A A和和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，A A在在(0,1)(0,1)上均勻分布，上均勻分布，在在(0,2(0,2）上均勻分布。隨

39、機(jī)過程上均勻分布。隨機(jī)過程X(t)X(t)是否具有遍歷性？是否具有遍歷性？解：首先判斷解：首先判斷X(t)X(t)是否具有平穩(wěn)性是否具有平穩(wěn)性0( ) sin()0XE X tE A Etm20020( ,)sin()sin()1cos( )2XXRt tE AttE AR 21(0)2XRE A 0001( )( )limsin()2sinsinlim0TTTXTA X tX tAtdtTATmT可得隨機(jī)過程可得隨機(jī)過程X(t)X(t)均值具有遍歷性。時(shí)間相關(guān)函數(shù)為均值具有遍歷性。時(shí)間相關(guān)函數(shù)為0020( ,)( )()1limcos()cos()2cos( )2XTTTXt tX t X

40、tAtAtdtTAR R因此隨機(jī)過程不具有遍歷性。因此隨機(jī)過程不具有遍歷性。2.3.3 2.3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 22(0)( )0XXRE Xt 1 1 ( )()XXRR2 2 證：證： ( )( )()XRE X t X t()( )E X tX t()XR( )()XXKK3 3 (0)( )XXRR證：正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即證：正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即 2( )() 0E X tX t22( )2( )()()0E XtX t X tXt22( )( )()(0)XX

41、 tE XtE XtR平穩(wěn)2(0)2( )0XXRR(0)( )XXRR(0)( )XXKK在零點(diǎn)以外也可在零點(diǎn)以外也可能有最大值能有最大值 4 4 周期平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過程的周期平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過程的周期相同。周期相同。()XRT( )()E X t X tT( )()( )XE X t X tR5 5 若平穩(wěn)隨機(jī)過程含有一個(gè)周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有一個(gè)同周期若平穩(wěn)隨機(jī)過程含有一個(gè)周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有一個(gè)同周期的周期分量。的周期分量。0( )( )( )cos()( )X tS tN tatN t 20( )(

42、)( )cos( )2XSNNaRRRR ( )( )0,2( )S tN tN t、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；在()上均勻分布；為平穩(wěn)過程6 平穩(wěn)隨機(jī)過程中不含有任何周期分量，則平穩(wěn)隨機(jī)過程中不含有任何周期分量，則2lim( )( )XXXRRm 證：證：lim( )lim( )()XRE X t X t2lim( ) ()XE X t E X tmlim( )( )0XXKK 證：證： 7 若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值），則相關(guān)函數(shù)也將含有平均分量，若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值），則相關(guān)函數(shù)也將含有平均分量，且等于均值的平方，即且等于均值的平方，即2( )( )XXXRKm26(0)( )XXXRR在滿足

43、性質(zhì) 的條件下，有( )( )()XXXKE X tmX tm2( )XXRm22(0)(0)XXXXKRm(0)( )XXRR 8 平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)必須滿足平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)必須滿足( )0jXRed二、平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間 1 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)22( )( )( )(0)XXXXXXKRmrKr rX X()()r rX X()() 2 相關(guān)時(shí)間相關(guān)時(shí)間00( )Xrd定義定義1相關(guān)系數(shù)由其最大相關(guān)系數(shù)由其最大值值1 1下降下降到到0.050.05所所經(jīng)歷的經(jīng)歷的時(shí)間間隔時(shí)間間隔，計(jì)做相關(guān)時(shí)間計(jì)做相關(guān)時(shí)間。定義定義2矩形面積等于陰影矩形面積等于陰影面積來面積來定義定義

44、相關(guān)時(shí)間。相關(guān)時(shí)間。r rX X()()1 10.050.050 00 0【例題例題】已知平穩(wěn)隨機(jī)過程已知平穩(wěn)隨機(jī)過程X（t）的自相關(guān)函數(shù)為）的自相關(guān)函數(shù)為10( )100100cos10100XRe 求均值、均方差和方差。求均值、均方差和方差。 解：解：10( )100cos10100100XRe12( )( )XXRR22( )10XXmR 1210XXXmmm 2( )(0)300XE XtR22(0)200XXXRm2.42.4隨機(jī)過程的聯(lián)合概率分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的聯(lián)合概率分布和互相關(guān)函數(shù) 2.4.12.4.1兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合概率分布兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合概率分布 隨機(jī)過程隨機(jī)過程

45、X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的多維概率密度分別為的多維概率密度分別為 定義兩個(gè)隨機(jī)過程的多維聯(lián)合分布函數(shù)為定義兩個(gè)隨機(jī)過程的多維聯(lián)合分布函數(shù)為12121212( ,; , ,)(,; , ,)XnnYmmfx xx t ttfy yyt tt1212121211221122( ,; , , , , ,)( ),( ),( ), ( ), ( ), ()XYnmnmnnmmFx xxy yyt tt t ttP X tx X txX txY ty Y tyY ty12121212121212121212( ,; , , , , ,)( ,; , , , , ,)XYnmnmm nXYnm

46、nmnmfx xxy yyt tt t ttFx xxy yyt tt t ttx xxy yy 定義兩個(gè)隨機(jī)過程多維聯(lián)合概率函數(shù)為定義兩個(gè)隨機(jī)過程多維聯(lián)合概率函數(shù)為 如果如果 則稱隨機(jī)過程是相互獨(dú)立的。則稱隨機(jī)過程是相互獨(dú)立的。 如果兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合概率密度不隨時(shí)間變化，即與時(shí)間起點(diǎn)無如果兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合概率密度不隨時(shí)間變化，即與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則稱此過程為聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)或嚴(yán)平穩(wěn)相依過程。關(guān)，則稱此過程為聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)或嚴(yán)平穩(wěn)相依過程。1212121212121212( ,; , , , , ,)( ,; , ,)(,; , ,)XYnmnmXnnYmmfx xxy yyt tt t ttfx x

47、x t ttfy yyt tt2.4.22.4.2互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 互相關(guān)函數(shù)的定義為互相關(guān)函數(shù)的定義為 互協(xié)方差函數(shù)定義為互協(xié)方差函數(shù)定義為 121212( , )( ) ( )( , ; , )XYXYRt tE X t Y txyfx y t t dxdy 1211221212( , )( )( )( ( )( )( )( )( , ; , )XYXYXYXYKt tE X tmtY tm txmtym tfx y t t dxdy 如果兩個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)過程如果兩個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)過程 則稱隨機(jī)過程則稱隨機(jī)過程 X(t) X(t) 和和 Y(t) Y(t) 為聯(lián)合寬平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依。為聯(lián)合寬

48、平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依。 寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：1 1、 隨機(jī)過程正交隨機(jī)過程正交 隨機(jī)過程的不相關(guān)隨機(jī)過程的不相關(guān)121212( , )0( , )( )( )XYXYXYRt tKt tmt m t 或 121212( , )0( , )( )( )XYXYXYKt tRt tmt m t 或 121212( , )( , )( )( )XYXYXYKt tRt tmt m t互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差存在如下關(guān)系互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差存在如下關(guān)系1212( , )( ) ( )( )XYXYRt tE X t Y tR( )()( )()XYYXXYYXR

49、RKK2222( )(0)(0)( )(0)(0)XYXYXYXYXYRRRKKK 2 2、3 3、4 4、 歸一化相關(guān)函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù)歸一化相關(guān)函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù)221( )(0)(0)211( )(0)(0)()22XYXYXYXYXYRRRKKK( )( )( )(0)(0)XYXYXYXYXYXYKRm mrKK 時(shí)間互相關(guān)函數(shù)定義為時(shí)間互相關(guān)函數(shù)定義為 如果如果 稱過程稱過程 X(t) X(t) 和和 Y(t) Y(t) 具有聯(lián)合寬遍歷性。具有聯(lián)合寬遍歷性。1( )( ) ()lim( ) ()2TXYTTX t Y tX t Y tdtT( )( )XYXYR例題：設(shè)兩個(gè)

50、連續(xù)時(shí)間相位隨機(jī)信號例題：設(shè)兩個(gè)連續(xù)時(shí)間相位隨機(jī)信號 其中其中 為常數(shù)，為常數(shù)， 在在 上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。00( )sin() , ( )cos()X ttY tt0(, ) 解：這兩個(gè)過程的均值為零，都是寬平穩(wěn)的。解：這兩個(gè)過程的均值為零，都是寬平穩(wěn)的。0 10 20 10 201212120sin()cos()( , )(2()1sin, )11sin2()sin22XYXYXYtttKt tRt tmtmEtEt 1212( , )( , )0XYXYKt tRt t0(0, 1,)kk 即過程即過程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)在某些時(shí)刻是正

51、交的、不相關(guān)的。但兩者并不獨(dú)立。在某些時(shí)刻是正交的、不相關(guān)的。但兩者并不獨(dú)立。因此是聯(lián)合平穩(wěn)的。因此是聯(lián)合平穩(wěn)的。2.52.5復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程 2.5.12.5.1復(fù)隨機(jī)變量復(fù)隨機(jī)變量 復(fù)隨機(jī)變量定義為復(fù)隨機(jī)變量定義為 數(shù)字特征推廣到復(fù)隨機(jī)變量時(shí)必須遵循的原則是：在特殊情況下，數(shù)字特征推廣到復(fù)隨機(jī)變量時(shí)必須遵循的原則是：在特殊情況下，即當(dāng)即當(dāng)Y Y0 0時(shí)，時(shí)，Z Z的數(shù)字特征應(yīng)該等于隨機(jī)變量的數(shù)字特征應(yīng)該等于隨機(jī)變量X X的數(shù)字特征。的數(shù)字特征。 復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望ZXjY ZXYmE ZE XjE Ymjm22222 | ZXYDD ZE ZE XYE XE YD

52、D復(fù)隨機(jī)變量的方差復(fù)隨機(jī)變量的方差 復(fù)隨機(jī)變量復(fù)隨機(jī)變量Z Z1 1和和Z Z2 2的相關(guān)矩的相關(guān)矩12121 21 221*121122()()()Z ZX XYYX YY XKE Z ZE XYXYKKj KK 兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立 Z Z1 1 和和 Z Z2 2 相互獨(dú)立相互獨(dú)立12 1 21 12 212121122( ,)( ,)(,)X X YYX YX Yfx xy yfx yfxy 兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān) Z1 Z1 和和 Z2 Z2 不相關(guān)不相關(guān) 兩個(gè)隨機(jī)變量正交兩個(gè)隨機(jī)變量正交 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 正交正交121122()()0Z ZK

53、E XYXY12*120Z ZRE Z Z2.5.22.5.2復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程 復(fù)隨機(jī)過程的定義復(fù)隨機(jī)過程的定義其概率密度為其概率密度為其數(shù)學(xué)期望為其數(shù)學(xué)期望為( )( )( )Z tX tjY t12121212( ,; , , , , , )XYnnnnfx xxy yy t tt t tt( ) ( )( ) ( )( )( )ZXYmtE Z tE X tjE Y tmtjmt 其自相關(guān)函數(shù)為和協(xié)方差函數(shù)其自相關(guān)函數(shù)為和協(xié)方差函數(shù) 平穩(wěn)復(fù)隨機(jī)過程平穩(wěn)復(fù)隨機(jī)過程*( ,)( ) ()ZR t tE Z t Z t( ,)( )(0)ZXYZZZmmjmRt tRR *( ,)()(

54、( )( ) ( ()()ZZZKt tE Z Z tE Z tmtZ tmt其方差為其方差為22222( ) ( )|( )| ( )( ) ( ) ( ) ( )( )ZXYD tD Z tE Z tE X tY tE X tE Y tDtD t 復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù) 復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的不相關(guān)復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的不相關(guān) 復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的正交復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的正交 12*12( ,)( )()Z ZRt tE Zt Z t12*12( ,)()Z ZKt tE Z Z t12( ,)0Z ZKt t12( ,)0Z ZRt t2.62.6正

55、態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程 2.6.12.6.1正態(tài)隨機(jī)過程的一般概念正態(tài)隨機(jī)過程的一般概念 正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程X(t)X(t)的的n n維概率密度為維概率密度為 式中式中 是是n n維向量，維向量， 是是n n維矩陣。維矩陣。 1212( ,; , ,)Xnnfx xx t ttXmK11/2/2()()1exp2(2 )TXXnxmKxmK( ,)()()ikXikiikkikikKKt tE XmXmr 111212122212nnnnnnKKKKKKKKKK 正正態(tài)隨機(jī)過程的態(tài)隨機(jī)過程的n n維概率密度只取決于其一、二階矩函數(shù)維概率密度只取決于其一、二階矩函數(shù)數(shù)學(xué)期數(shù)學(xué)期望、方差和相

56、關(guān)系數(shù)。望、方差和相關(guān)系數(shù)。n n維概率密度為維概率密度為 1212211( ,; , ,)11exp()()2(2 )XnnnnikiXkXnnikXXfx xx t ttRxmxmRR11121121212222121212111nnnnnnnnnnrrrrrrrrrrRrrrrr2.6.22.6.2平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程 若正態(tài)隨機(jī)過程若正態(tài)隨機(jī)過程X(t)X(t) 此正態(tài)隨機(jī)過程稱為廣義平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。此正態(tài)隨機(jī)過程稱為廣義平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。 ( ,)() , ,1,2,(0)iXXikXk ik ikiXmmRt tRi knR 2.6.32.6.3正態(tài)隨機(jī)過程的性質(zhì)正態(tài)

57、隨機(jī)過程的性質(zhì) 1 1、正態(tài)隨機(jī)過程的、正態(tài)隨機(jī)過程的n n維概率密度完全取決于它的均值集合和協(xié)方差函數(shù)維概率密度完全取決于它的均值集合和協(xié)方差函數(shù)集合。集合。2 2、正態(tài)過程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)。、正態(tài)過程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)。3 3、如果正態(tài)隨機(jī)過程、如果正態(tài)隨機(jī)過程X(t)X(t)在在n n個(gè)不同時(shí)刻個(gè)不同時(shí)刻 采樣，所得一組采樣，所得一組隨機(jī)變量隨機(jī)變量 為兩兩互不相關(guān)，即為兩兩互不相關(guān)，即 則，這些隨機(jī)變量也是相互獨(dú)立的。則，這些隨機(jī)變量也是相互獨(dú)立的。12, ,nt tt12,nXXX( ,)()()0ikXikiikkKKt tE XmXm證明：證明：X(t)X(t)的的n n維

58、概率密度為維概率密度為21212211211()(,; , , )exp2(2 )niiXnnniinxmfx xx t tt 221()11exp22niiiiixm1122( ; )(; )(; )XXXnnfx tfx tfx t4 4、平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程、平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程X(t)X(t)與確定性信號之和的概率分布仍為正態(tài)分布。與確定性信號之和的概率分布仍為正態(tài)分布。證明：證明：s(t)s(t)的概率密度可以表示為的概率密度可以表示為Y(t)Y(t)的一維概率密度為的一維概率密度為故合成信號的一維概率密度也是正態(tài)的。故合成信號的一維概率密度也是正態(tài)的。同理，合成信號的二維概率密度為同理，合

59、成信號的二維概率密度為合成信號的一維概率密度也是正態(tài)的。合成信號的一維概率密度也是正態(tài)的。n n維概率密度也是正態(tài)的。維概率密度也是正態(tài)的。( )ss t( ; )( ; ) ( )YXfy tfx tys tx dx1212112(,; , )( ),( ); , )YXfy y t tfys tys t t t( ); )Xfys t t5 5、若、若 為為n n維正態(tài)隨機(jī)變量，又維正態(tài)隨機(jī)變量，又 均均方收斂方收斂于于 即對每個(gè)即對每個(gè)i i有有則則X X也是正態(tài)分布的隨機(jī)矢量。也是正態(tài)分布的隨機(jī)矢量。12( )( )( )( )TnX kXk XkXk( )X k12TnXX XX2l

60、im( )0 , 1iikEXkXin 6 6、若正態(tài)隨機(jī)過程、若正態(tài)隨機(jī)過程 在在T T上是均方可微的，則上是均方可微的，則 也是正也是正態(tài)過程。態(tài)過程。7 7、若正態(tài)隨機(jī)過程、若正態(tài)隨機(jī)過程 在在T T上是均方可積的，則上是均方可積的，則 是正態(tài)隨機(jī)過程。是正態(tài)隨機(jī)過程。( )()X t tT( )X t( )()X t tT( )( ) ( ,)( )( ) ( , ) ( ,)tabaY tXda tTY tXh tda tT【例題例題】設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程A A與與B B是兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量。且是兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量。且EA=EB=0EA=EB=0， 而而 為常數(shù)。求此過程的一