第二章系統(tǒng)的時(shí)域分析ppt課件

1、系統(tǒng)的系統(tǒng)的時(shí)域分析 連續(xù)連續(xù)LTI系統(tǒng)用系統(tǒng)用N階常系數(shù)線性微分方程描述階常系數(shù)線性微分方程描述 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnnai 、 bj為常數(shù)。為常數(shù)。 離散離散LTI系統(tǒng)用系統(tǒng)用N階常系數(shù)線性差分方程描述階常系數(shù)線性差分方程描述 00jkfbikyajmjiniai 、 bj為常數(shù)。為常數(shù)。由于由于LTI系統(tǒng)具有線性特性和時(shí)不變特性，因此具有系統(tǒng)具有線性特性和時(shí)不變特性，因此具有:1微分特性或差分特性：微分特性或差分特性：假設(shè)假設(shè) T f(t)=y(t)那那么么 ttyttfTd)(d

2、d)(d假設(shè)假設(shè) Tfk= yk那么那么 T fk -fk-1= yk - yk-1 2積分特性或求和特性：積分特性或求和特性：假設(shè)假設(shè) T f(t)=y(t)那那么么 d)(d)(yfTtt假設(shè)假設(shè) Tfk= yk那那么么 nynfTknkn 例例 已知已知LTILTI系統(tǒng)在系統(tǒng)在f1(t)f1(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)為激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)為y1(t) y1(t) ，試求系統(tǒng)在，試求系統(tǒng)在f2(t)f2(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng) y2(t) y2(t) 。t011f1(t)f2(t)t011從從f1(t)和和f2(t)圖形可以看得出，圖形可以看得出，f2(t)與與f1(t)存在以下關(guān)存

3、在以下關(guān)系系 d)() 1()(11)1(12ftftft根據(jù)線性時(shí)不變性質(zhì)，根據(jù)線性時(shí)不變性質(zhì)，y2(t)與與y1(t)之間也存在同樣的關(guān)之間也存在同樣的關(guān)系系 d)()(11 2ytyt) 1()e1 (5 . 0)1(2tut齊次解特解全解求解微分方程求解微分方程 連續(xù)LTI系統(tǒng)用N階常系數(shù)線性微分方程描述 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn miiinjjjtfbtya00微分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng)微分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng), 由齊次解由齊次解yh(t)和特解和特解yp(t)組成組成

4、 齊次解齊次解yh(t)是齊次方程是齊次方程( )(1)110 ( )( ) ( )( )0nnnytayta y ta y t的解，它由特征方程的解，它由特征方程1110( )( )0nnntataa的的n 個(gè)特征根：個(gè)特征根：1，2，3，n確定確定特特 征征 根根 齊齊 次次 解解 單實(shí)根單實(shí)根r r 重實(shí)根重實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根一對(duì)共軛復(fù)根 tCetrreCtCtC 0111j21 ,tetDtC sincos當(dāng)一部分當(dāng)一部分ii假設(shè)有假設(shè)有 j j 個(gè)為單根各不相同時(shí)，個(gè)為單根各不相同時(shí)，齊次方程與這些根相應(yīng)解的形式為：齊次方程與這些根相應(yīng)解的形式為：trreDtDtD 0111tjttj

5、eCeCeC 2121一部分一部分i i （假設(shè)有（假設(shè)有r r 個(gè)個(gè)是相同的是相同的r r 重根），齊次重根），齊次方程與這些根相應(yīng)解的形式為：方程與這些根相應(yīng)解的形式為：齊次解齊次解yh(t) 又稱為自然響應(yīng)、固有響應(yīng)又稱為自然響應(yīng)、固有響應(yīng)特解特解yp(t)的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào) 的形式確的形式確定定 tf表表2 2列出了特解列出了特解 的各種形式。選定特解后將它的各種形式。選定特解后將它代入原微分方程，求出各待定系數(shù)，就求出了特解代入原微分方程，求出各待定系數(shù)，就求出了特解 typ特解又叫受迫強(qiáng)迫、強(qiáng)迫響應(yīng)特解又叫受迫強(qiáng)迫、強(qiáng)迫響應(yīng) 激勵(lì)激勵(lì) 特特 解解 A（

6、常數(shù)）（常數(shù)） P 不等于特征根不等于特征根 等于特征單根等于特征單根 等于等于r 重特征根重特征根 特征根均不等于特征根均不等于 （這里的（這里的 不等于特征根）不等于特征根） 表表2 2 不同特征根所對(duì)應(yīng)的特解不同特征根所對(duì)應(yīng)的特解 costsint tf typmt0111PtPtPtPmmmmte tPe tePtP 01trrrrePtPtPtP 0111 tQtP sin cosjtettr cos tettr sin teQtQtQtQtePtPtPtPtrrrrtrrrr 0111 0111sincosj完全解全響應(yīng)）：完全解全響應(yīng)）： 。將初始條件代入。將初始條件代入該式，求

7、出待定系數(shù)該式，求出待定系數(shù) Cj Cj 及及 Dr Dr 。至此，微分方程就求解完畢。至此，微分方程就求解完畢。 tytytyph 例例 已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程初始條件初始條件y(0)=1, y (0)=2, y(0)=1, y (0)=2, 輸入信號(hào)輸入信號(hào)f (t)=e-t u(t)f (t)=e-t u(t)，求，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)y(t)。0),()(8)( 6)(ttftytyty解解: (1) 求齊次方程求齊次方程 y(t)+6y(t)+8y(t) = 0 的齊次解的齊次解yh(t)26801224

8、 ，24h12( )eetty tKK特征根為特征根為齊次解齊次解yh(t)特征方程特征方程t0 (2) 求特解求特解yp(t)由輸入由輸入f (t)的形式，設(shè)方程的特解為的形式，設(shè)方程的特解為yp(t) = Ce-t將特解帶入原微分方程將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)即可求得常數(shù)C=1/3。e6(e ) 8 eettttCCC代入初值代入初值 121210 =131 02423yKKyKK 全解為全解為 24121( ) 03ttthpy tytytK eK eet1252116KK 全解為全解為24245111( )eee ,02635111( eee ) ( )263tttttty tt

9、u t 若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響 應(yīng)的物理概念。應(yīng)的物理概念。LTILTI系統(tǒng)的響應(yīng)也可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的響應(yīng)也可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 )()()( 零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tytytyzszi即即1. 零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的初零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的初始

10、狀態(tài)所引起的響應(yīng)。始狀態(tài)所引起的響應(yīng)。 0)()( )()( 01)1(1)(tyatyatyatynnn 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: 求解方法也是求齊次解）：求解方法也是求齊次解）： 根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式 再由初始條件確定待定系數(shù)再由初始條件確定待定系數(shù) 例例 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為: : y (t)+5y (t) +6y (t) =4f(t), t0 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系統(tǒng)的，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yzi(t)。解解: 系統(tǒng)的特征方程

11、為系統(tǒng)的特征方程為 25601223 ，系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為2312( )eettziy tKK y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =323( )6e5e,0ttziytt解得解得 K1= 6，K2= -5例例 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為：已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為： y (t)+2y (t) +5y (t) = 4f (t )+3f(t), t0 y (t)+2y (t) +5y (t) = 4f (t )+3f(t), t0 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) = 1y(0-) = 1，y(0-)

12、= 3y(0-) = 3，求系統(tǒng)的零輸入，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)響應(yīng)yzi(t)yzi(t)。解解: 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為22501212j12j ，12( )ecos2sin2 )tziytKtKt（y(0-)=y (0-)=K1=1 y (0-)= y(0-)= -K1+2K2 =3解得解得 K1= 1，K2= 2( )e (cos22sin2 ),0tziytttt2.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)f(t)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零

13、狀態(tài)響應(yīng)，用yzs(t)yzs(t)表示。表示。求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)方法：方法： 1) 直接求解初始狀態(tài)為零的微分方程。直接求解初始狀態(tài)為零的微分方程。 miiinjjjtfbtya00與經(jīng)典法類似，只是初始狀態(tài)為零與經(jīng)典法類似，只是初始狀態(tài)為零)()()(tytytyzspzshzs對(duì)照經(jīng)典法：對(duì)照經(jīng)典法： ( )( )( )zizszizshzspy tytytyytyt )()(tytytyph( )hy t經(jīng)典法的自然響應(yīng)經(jīng)典法的自然響應(yīng) 的系數(shù)由初始狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)的系數(shù)由初始狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)共同決定；零輸入響應(yīng)共同決定；零輸入響應(yīng) 的系數(shù)由僅由系統(tǒng)的初始

14、狀的系數(shù)由僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)來決定態(tài)來決定( )hy t ziyt 2) 卷積法：卷積法： 利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)的思路的思路1) 將任意信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合將任意信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合 2) 求出單位沖激信號(hào)作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)求出單位沖激信號(hào)作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 3) 利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意信號(hào)利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs (t) 卷積法求

15、解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs (t)推導(dǎo)推導(dǎo))()(tht)()(tht)()()()(thftf由時(shí)不變特性由時(shí)不變特性由齊次特性由齊次特性由積分特性由積分特性d)()()(tftf( ) ( )()dzsytfh t( )( )()d( )( )zsytfh tf th t設(shè)：設(shè)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)單位沖激響應(yīng) ：系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)：系統(tǒng)在單位沖激信號(hào) 激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。 th tN 階連續(xù)時(shí)間階連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足滿足 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathath

16、athmmmmnnn在在 以后，以后， ，上面的微分方程式變?yōu)椋?，上面的微分方程式變?yōu)椋?0t 0t( )(1)110 ( )( ) ( )( )0nnnhtahta h ta h t當(dāng)其特征根為當(dāng)其特征根為 、 、 、 （設(shè)均為單根時(shí)，其解（設(shè)均為單根時(shí)，其解也就是零輸入響應(yīng)，為也就是零輸入響應(yīng)，為n1 2 12121 j n n t t t tnjjh tC eC eC eu tC eu t故故 nm 時(shí)時(shí)nm 時(shí)時(shí), 為使方程兩邊平衡為使方程兩邊平衡, h(t)應(yīng)含有沖激及其應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù)，即高階導(dǎo)數(shù)，即( )10( )() ( )( )inm ntjijijh tC eu tA

17、t 將將h(t)代入微分方程，使方程兩邊平衡，確定代入微分方程，使方程兩邊平衡，確定系數(shù)系數(shù)Ci ， Aj例例1 1 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。0),(2)(3d)(dttftytty解：解： 當(dāng)當(dāng)f (t) = d (t)時(shí)，時(shí)，y(t) = h(t)，即，即 )(2)(3d)(dtthtth微分方程式的特征根微分方程式的特征根 = -3, 且且nm, 故故h(t)的形式的形式為為 )(e)( 3tuAtht)(2)( e3+ )( edd33ttuAtuAttt解得解得A=2)(e2)( 3tutht例例2 2

18、 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。0),( 3)(2)(6d)(dttftftytty解：解： 當(dāng)當(dāng)f (t) = d (t)時(shí)，時(shí)，y(t) = h(t)，即，即 )( 3)(2)(6d)(dttthtth動(dòng)態(tài)方程式的特征根動(dòng)態(tài)方程式的特征根 = -6, 且且n=m, 故故h(t)的形式為的形式為 )()(e)( t6tBtuAth解得解得A= -16, B =3)( 3)(2)()( e6+ )()( edd66tttBtuAtBtuAttt)(e16)(3)( t6tutth( )10( )(e ) ( )( )i

19、nm ntjijijh tCu tAt1) 由系統(tǒng)的特征根來確定由系統(tǒng)的特征根來確定u(t)前的指數(shù)形式。前的指數(shù)形式。2) 由微分方程右邊由微分方程右邊d (t)的最高階導(dǎo)數(shù)與方程的最高階導(dǎo)數(shù)與方程 左邊左邊h(t)的最高階導(dǎo)數(shù)確定的最高階導(dǎo)數(shù)確定d (j)(t)項(xiàng)。項(xiàng)。問題：還可如何求？問題：還可如何求？例例1 1 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。0),(2)(3d)(dttftytty3()3 ()2()()2()()3( )20tjY jY jF jY jH jF jjh tet d)()()()()(thfth

20、tfty)()()()(ththhht平移翻轉(zhuǎn)1. 將將f(t)和和h(t)中的自變量由中的自變量由t改為改為；2. 把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)得把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)得h(-)，再平移，再平移t；3. 將將f(t) 與與h(t- t)相乘；對(duì)乘積后信號(hào)的積分。相乘；對(duì)乘積后信號(hào)的積分。4. 不斷改變平移量不斷改變平移量t，計(jì)算，計(jì)算f(t) h(t- t)的積分。的積分。00j k f bi k y ajmjini ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymm

21、mmnnn)(tft)(tht)(e)(),()(),(*)(tuthtutfthtft計(jì)算)(f)(h)()e1 (0, 00,d1)(*)(0)(tuttethtfttt 例例 計(jì)算計(jì)算 y(t) = p1(t) y(t) = p1(t) * * p1(t)p1(t)。NoImageNoImagea) - t -1b) -1 t 0tttyt1d)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py (t) = 0 )(1tp0.5-0.51t)(1pt 5 . 0t5 . 0)()(11tpp10 t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp1t1c) 0 1tttyt1d)

22、(5 . 05 . 0y (t) = 0 例例 計(jì)算計(jì)算 y(t) = p1(t) y(t) = p1(t) * * p1(t)p1(t)。)(1tp0.5-0.51t)(1pc) 0 1tttyt1d)(5 . 05 . 0y (t) = 0 a) - t -1b) -1 t 0 tttyt1d)(5 . 05 . 0y (t) = 011-1)()(11tptpt 例例 計(jì)算計(jì)算 y(t) = p1(t) y(t) = p1(t) * * p1(t)p1(t)。1) 交換律交換律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律分配律 ( f1(t) + f2(t)

23、 ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 結(jié)合律結(jié)合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 平移特性平移特性 知知 f1(t) * f2(t) = y(t) 那么那么 f1(t - t1) * f2(t - t2) = y(t - t1 - t2) 5) 展縮特性展縮特性)(1)()(21atyaatfatft 表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量)()( )( )( )()( )( )( 01230123tfbtfbtfbtfbtyatyatyatyaa=a3, a2, a

24、1, a0; b=b3, b2, b1, b0; sys=tf(b,a)y=lsim(sys,f,t)sys=tf(b,a)b和a分別為微分方程右端和左端各項(xiàng)的系數(shù)向量f 是系統(tǒng)輸入信號(hào)向量，sys 是LTI系統(tǒng)模型，借助tf函數(shù)獲得 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)可用impulse函數(shù)直接求出，其調(diào)用形式為y=impulse(sys, t) 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)階躍響應(yīng)可用step函數(shù)直接求出，其調(diào)用形式為y=step(sys, t)t 表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量 sys 是LTI系統(tǒng)模型 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 離散時(shí)間離散時(shí)間LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)模型為的數(shù)學(xué)模型為2.

25、 經(jīng)典時(shí)域分析方法經(jīng)典時(shí)域分析方法:求解差分方程求解差分方程3. 卷積法卷積法:系統(tǒng)完全響應(yīng)系統(tǒng)完全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 求解齊次差分方程得到零輸入響應(yīng)求解齊次差分方程得到零輸入響應(yīng) 利用卷積和可求出零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積和可求出零狀態(tài)響應(yīng) zizsy kykyk * ziykf kh k 系統(tǒng)響應(yīng)求解方法系統(tǒng)響應(yīng)求解方法:00nmijija y kib f kj1. 迭代法迭代法: ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t

26、ymmmmnnn ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn一、迭代法一、迭代法 知知 n 個(gè)初始狀態(tài)個(gè)初始狀態(tài) y-1, y-2, y-2, y-n 和輸和輸入，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出。入，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出。01jkfbikyakyjmjini00jkfbikyajmjini 15 . 0kykuky代入初始狀態(tài)，可求得代入初始狀態(tài)，可求得5 . 115 . 01 15 . 000yuy75. 15 . 15 . 0105

27、 . 0 1 1 yuy875. 175. 15 . 01 1 5 . 022yuy依此類推依此類推缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。但它非常適合用于計(jì)算機(jī)計(jì)算。但它非常適合用于計(jì)算機(jī)計(jì)算。二、經(jīng)典時(shí)域分析方法二、經(jīng)典時(shí)域分析方法 差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng)差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng), 由齊次解由齊次解yhk和特解和特解ypk組成組成:phkykyky齊次解齊次解yhk的形式由齊次方程的特征根確定的形式由齊次方程的特征根確定特解特解ypk的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定定 齊次解齊次解 : : 差分方程：差分方程： kyh特征方程

28、特征方程00niia y ki00nn iiia(1) (1) 特征根是不等實(shí)根特征根是不等實(shí)根 r1, r2, r1, r2, , rn, rnknnkkrCrCrCky2211h(2) (2) 特征根是等實(shí)根特征根是等實(shí)根 r1=r2=r1=r2=rn =rn knnkkrkCkrCrCky121h(3) (3) 特征根是成對(duì)共軛復(fù)根特征根是成對(duì)共軛復(fù)根0j2, 1ejbarkCkCkykk0201hsincos 特解：特解：與微分方程相同，特解形式與輸入相關(guān)，求與微分方程相同，特解形式與輸入相關(guān)，求解方法也幾乎與連續(xù)的一樣。解方法也幾乎與連續(xù)的一樣。 常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式輸入信號(hào)特

29、解ak (a不是特征根)kAaak (a是特征根)kAkank0111AkAkAkAnnnnnkka)(0111AkAkAkAannnnkkk00cossin或kAkA0201sincoskakakk00cossin或)sincos(0201kAkAak ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn 例例 已知某二階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程已知某二階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = f k yk-5

30、yk-1+6yk-2 = f k 初始條件初始條件y0 = 0y0 = 0，y1 = -1y1 = -1，輸入信號(hào)，輸入信號(hào) f k = 2k ukf k = 2k uk，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)ykyk。特征根為特征根為齊次解齊次解yhk解解 ： (1) 求齊次方程求齊次方程yk-5yk-1+6yk-2 = 0的齊次解的齊次解yhk 特征方程為特征方程為0652 rr3, 221rrkkCCky3221h(2) 求特解求特解ypk由輸入由輸入f k的形式，設(shè)方程的特解為的形式，設(shè)方程的特解為將特解帶入原差分方程即可求得常數(shù)將特解帶入原差分方程即可求得常數(shù)A= -2。0,2pkAkk

31、yk(3) 求方程的全解，即系統(tǒng)的完全響應(yīng)求方程的全解，即系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk解得解得 C1= -1，C2= 1 0,232121phkkCCkykykykkk0021CCy1232 1 21CCy0,2321kkkykkk 若差分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若差分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響 應(yīng)的物理概念。應(yīng)的物理概念。1.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信

32、號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。00ikyaini 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: 求解方法：求解方法： 根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式 再由初始狀態(tài)確定待定系數(shù)。再由初始狀態(tài)確定待定系數(shù)。 ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (

33、1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn例 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為: yk+3yk-1+2yk-2=fk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1=0， y-2= 1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzik 。解：解： 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為解得解得 C1=1，C2= -20232 rr2, 121rr12 ( 1)( 2)kkziykCC21412021 12121CCyCCy ( 1)2( 2)0kkziykk 例 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為: yk+4yk-1+4yk-

34、2=fk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1=0， y-2= 1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzik 。解：解： 系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的特征方程為為系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實(shí)根）（兩相等實(shí)根） 解得解得 C1 = 4, C2= 40442 rr221 rrkkxCkCky)2()2(21022 121CCy142221CCy 4 ( 2)4( 2) ,0kkziykkk例 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程式為: yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 =fk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1 = 2， y-2= -1， y-3= 8，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzik 。解：解： 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方

35、程為系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征根為解得解得 C1= 1，C2= 0 ，C5= 505 . 05 . 023rrrj212,30.5,jerr 1231 ( )sincos222kziykCCkCk22 121CCy14231CCy88321CCy1 ( )5cos,022kziykkk 求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs k方法：方法： 1) 直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程。直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程。 2) 卷積法：卷積法： 利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的

36、外部激勵(lì)f kf k產(chǎn)生的產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yzs kyzs k表示。表示。2.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs k的思路的思路1) 將任意信號(hào)分解為單位脈沖序列的線性組合將任意信號(hào)分解為單位脈沖序列的線性組合 2) 求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的響應(yīng) 單位脈沖響應(yīng)

37、單位脈沖響應(yīng) 3) 利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意序列序列f k激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf k 。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs k推導(dǎo)推導(dǎo)由時(shí)不變特性由齊次特性由疊加特性khk nkhnknkhnfnknfnkhnfnknfTnn * zsnykf n h knf kh k設(shè)：設(shè)： 離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)hkhk定義定義 hkhk的求解的求解 迭代法迭代法 等效初始條件法等效初始條件法 單位脈沖序列單位脈沖序列 k作用于離散時(shí)間作用于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響

38、應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng), 用符號(hào)用符號(hào)hk表示。表示。 00jkbikhajmjini對(duì)對(duì) N 階階LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，離散時(shí)間系統(tǒng)， hk滿足方程滿足方程 ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn例例1 1 描述某離散因果描述某離散因果LTILTI系統(tǒng)的差分方程為系統(tǒng)的差分方程為 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hkhk。22 13kfkykyky解：解：hk滿足方程滿足方程 22 13kkhkh

39、kh對(duì)于因果系統(tǒng)有對(duì)于因果系統(tǒng)有h-1 = h-2 = 0，代入上面方程可推出，代入上面方程可推出122 1300hhh3 1203 1 1 hhh 注意：選擇初始條件的基本原則是必須將注意：選擇初始條件的基本原則是必須將dk的作用體現(xiàn)在初始條件中的作用體現(xiàn)在初始條件中可以選擇可以選擇h0和和h1 或或h-1和和h0作為初始條件作為初始條件解：解：hk滿足方程滿足方程 22 13kkhkhkh特征方程為特征方程為特征根為特征根為齊次解的表達(dá)式為齊次解的表達(dá)式為0232 rr2, 121rr0,)2() 1(21kCCkhkk代入初始條件，有代入初始條件，有121201123hCChCC 解得解

40、得 C1=-1，C2= 2)2(2) 1(kukhkk 卷積和的計(jì)算與性質(zhì)nkhnfkhkfn00j k f bi k y ajmjini ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn10kh k n或 h n f k 0k1n或 f n 0n1h - n nkhnfkhkfn例例1 已知已知f k = uk，hk = akuk，0a1，計(jì)算，計(jì)算yk = f k*hk01nf n 0n1h - n 01nf n h k - n , k 0

41、kk 0, f n與與hk-n圖形沒有相遇圖形沒有相遇yk=0 ny kf n h kn例例1 已知已知f k = uk，hk = akuk，0a1，計(jì)算，計(jì)算yk = f k*hk01nf n 0n1h - n 01nf n kh k - n ,0kk 0, f n與與hk-n圖形相遇圖形相遇nkknaky0 ny kf n h kn例例1 已知已知f k = uk，hk = akuk，0a1，計(jì)算，計(jì)算yk = f k*hkk 0，f n與與hk-n圖形相遇圖形相遇nkknaky0k 0， f n與與hk-n圖形沒有相遇圖形沒有相遇yk=00k1y k 例例2 計(jì)算計(jì)算 yk = RNk*

42、 RNkotherwise010 1NkkRNknN-101RNk 或 RNkn-(N-1)01RN-n ny kf n h kn例例2 計(jì)算計(jì)算 yk = RNk* RNkotherwise010 1NkkRNnN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k k 0 k 0時(shí)時(shí), RN n與與RN k-n圖形沒有相遇圖形沒有相遇yk = 0nN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k10Nk 0 k N -1時(shí)，重合區(qū)間為時(shí)，重合區(qū)間為0，k 110kkykn ny kf n h kn例例2 計(jì)算計(jì)算 yk = RNk* RNkotherwise010 1NkkRNnN-101RNn

43、k-(N-1)RNk -n ,k221NkN N-1 2N-2時(shí)，時(shí)，RN n與與RN k-n圖形不再相遇圖形不再相遇yk = 0 ny kf n h kn例例2 計(jì)算計(jì)算 yk = RNk* RNk k 0時(shí)時(shí), RN n與與RN k-n圖形沒有相圖形沒有相遇遇yk = 0 0 k N -1時(shí)，重合區(qū)間為時(shí)，重合區(qū)間為0，k 110kkykn N-1 2N-2時(shí)，時(shí)，RN n與與RN k-n圖形不再相遇圖形不再相遇yk = 0N-101kRNk*RNk2N-2N234123otherwise010 1NkkRNfk * hk = hk * fkfk * h1k * h2k = f k * h

44、1 k * h2 kf k * h1 k + h2 k = f k * h1 k + f k * h2 k*kykhkfkhkf*)(*nykhnfnhkfknknknf k * d k-n = f k-nf k-n * hk- l = yk- (n+l)例例5 5 計(jì)算計(jì)算 與與 的卷積和。的卷積和。4, 2, 0, 1kf3, 5, 4, 1kh 1422kkkkf利用位移特性利用位移特性*1422*khkkkkhkf 1422khkhkh12,26,26,15, 7, 4, 1*khkfky 沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性tt ytt fTd) ( dd) ( d tt ytt fTd) ( d

45、d) ( d tt ytt fTd) ( dd) ( d tt ytt fTd) ( dd) ( d )(*)()(1thtftx)(*)(*)()(*)()(212ththtfthtxty)(*)(*)()(*)(*)()(2121ththtfththtftyh(t)1)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2)交換兩個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的先后連接次序不影響系統(tǒng)總的沖激響應(yīng)。交換兩個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的先后連接次序不影響系統(tǒng)總的沖激響應(yīng)。 兩個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)也有同樣的結(jié)論。兩個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)也有同樣的結(jié)論。 ) ( ) ( ) () () ( )

46、 ( ) () ( 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn)(*)()(11thtfty)(*)()(22thtfty)(*)()(*)()(21thtfthtfty應(yīng)用卷積積分的分配律性質(zhì)，有應(yīng)用卷積積分的分配律性質(zhì)，有)()(*)()(21ththtftyh(t)并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。 兩個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的并聯(lián)也有同樣的結(jié)論。兩個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的并聯(lián)也有同樣的結(jié)論。 ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) () (

47、 01) 1 (1) (01) 1 (1) (t f b t f bt f b t f bt y a t y at y a t ymmmmnnn例例1 求圖示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，其中求圖示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，其中h1(t) = e-3t u(t)，h2(t) =(t -1) ，h3(t) = u(t)。 子系統(tǒng)子系統(tǒng)h1(t) 與與h2(t) 級(jí)聯(lián)，級(jí)聯(lián)， h3(t)支路與支路與h1(t) h2(t) 級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)。級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)。)()(*)()(321thththth)()(e*) 1(3tututt)() 1(e)1(3tutut例例2 求圖示系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，其中求圖示系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，其中

48、h1k =2kuk， h2k = dk-1 ，h3k = 3kuk， h4k = uk。 子系統(tǒng)子系統(tǒng)h2k與與h3k 級(jí)聯(lián)，級(jí)聯(lián)，h1k支路、全通支路支路、全通支路與與h2k h3k 級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)，再與級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)，再與h4k級(jí)聯(lián)。級(jí)聯(lián)。 全通支路滿足全通支路滿足 * y kf kh kf k 全通離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為單位脈沖序列全通離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為單位脈沖序列d k4321khkhkhkkhkh 15 . 0)3(5 . 1 )2(21kukukk利用利用MATLAB求解離散求解離散LTI利用利用MATLAB求解離散求解離散LTI其中：其中：b=b0,b1,bM , a=a0,

49、a1,aN x表示輸入序列，表示輸入序列，y 表示輸出序列。表示輸出序列。 系統(tǒng)的初始條件為零。系統(tǒng)的初始條件為零。 輸出序列輸出序列yn的長(zhǎng)度和輸入序列的長(zhǎng)度和輸入序列xn一樣。一樣。 MATLAB提供了求解零狀態(tài)差分方程的函數(shù)提供了求解零狀態(tài)差分方程的函數(shù)00nmijija y kib f kj110nkxMkyMn原始信號(hào)：原始信號(hào)：噪聲干擾的信號(hào)：噪聲干擾的信號(hào)： 噪聲信號(hào)：噪聲信號(hào)：利用利用M點(diǎn)的滑動(dòng)平均系統(tǒng)從信號(hào)點(diǎn)的滑動(dòng)平均系統(tǒng)從信號(hào)xk中濾去噪聲信號(hào)中濾去噪聲信號(hào)nkxk=sk+n k nksk=(2k)0.9k % Signal Smoothing by Moving Aver

50、age FilterN = 101;%generate (-0.5, 05)Uniformly distributed random numbersn = rand(1,N)-0.5;k=0:N-1;s=2*k.*(0.9.k);x=s+n;subplot(2,1,1);plot(k,n,r-., k,s,b-, k,x,g-);xlabel(Time index k); legend(nk,sk, xk); M =5; b = ones(M,1)/M; a =1; y = filter(b,a,x);Subplot(2,1,2);plot(k,s,b-, k,y,r-);xlabel(Tim

51、e index k); legend(sk,yk); 00nmijija y kib f kj0 20 40 60 80 100 -2 0 2 4 6 8 Time index k nk sk xk 0 20 40 60 80 100 -2 0 2 4 6 8 Time index k sk yk 綜合例題綜合例題 1. 已知某連續(xù)因果已知某連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 求求: (1)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(t) (2) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)、零狀態(tài)、零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)yf(t) (3)完全響應(yīng)、固有響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)完全響應(yīng)、固有響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng) (4)判斷該判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定

52、。系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 )( )(12)( 7)(tftytytyt 0)()(tutf1)0(y2)0( y系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 s2 + 7s + 12 = 0 特征根為特征根為 s1 = -3, s2 = -4兩不等實(shí)根）兩不等實(shí)根） 34( )eettziytABt 0零輸入響應(yīng)為零輸入響應(yīng)為 代入初始狀態(tài)代入初始狀態(tài)y(0-) , y(0-)y ()0yx ()0BA = = = 1 = y () 0)0( xyBA43= = 2 解得解得 A = 6 A = 6 B = B = -5-5系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 0,e5e6)(43ttyttx綜合例題綜合例題 1. 已知某連續(xù)因果已知某連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的微