第三節(jié)數(shù)列的極限ppt課件

1、 前面我們已經(jīng)介紹了微積分的研究對(duì)象前面我們已經(jīng)介紹了微積分的研究對(duì)象 函數(shù)的函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，本章后面我們將介紹微積分學(xué)中的兩個(gè)相關(guān)知識(shí)，本章后面我們將介紹微積分學(xué)中的兩個(gè)重要基本概念重要基本概念極限與連續(xù)，其中極限是微積分學(xué)極限與連續(xù)，其中極限是微積分學(xué)的研究工具，連續(xù)是用極限來刻畫的函數(shù)的一個(gè)重的研究工具，連續(xù)是用極限來刻畫的函數(shù)的一個(gè)重要特征要特征. 數(shù)列的概念數(shù)列的概念 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)第三節(jié)第三節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、一、 數(shù)列的概念數(shù)列的概念 1. 數(shù)列的定義數(shù)列的定義 定義定義1 按一定順序排列的一列數(shù)按一定順序排列的一列數(shù)叫做一個(gè)數(shù)列叫做一

2、個(gè)數(shù)列, 簡記為簡記為 an . 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫數(shù)列的數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫數(shù)列的項(xiàng)項(xiàng), 第第 n 項(xiàng)項(xiàng)an 叫數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)叫數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng). 12,na aa例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n2n;,21,81,41,21n21n注注數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)間斷點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)間斷點(diǎn)列. 可看作一動(dòng)點(diǎn)可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 ( )naf n 數(shù)列也可以看作是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列也可以看作是整標(biāo)函數(shù), 即定

3、義域?yàn)檎麛?shù)集即定義域?yàn)檎麛?shù)集, 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)法則是通項(xiàng)表達(dá)式的函數(shù)法則是通項(xiàng)表達(dá)式的函數(shù). 即即下標(biāo)下標(biāo) 1 2 3 4 n 對(duì)應(yīng)通項(xiàng)對(duì)應(yīng)通項(xiàng) a1 a2 a3 a4 an f (n) f (1) f (2) f (3) f (4) f (n) 定義定義2 的函數(shù)的函數(shù). 當(dāng)自變量當(dāng)自變量n 按正整數(shù)按正整數(shù)1, 2, 3, 依次增大的順序取依次增大的順序取值時(shí)值時(shí), 函數(shù)值按相應(yīng)的順序排列成一串?dāng)?shù)函數(shù)值按相應(yīng)的順序排列成一串?dāng)?shù): 因?yàn)閿?shù)列因?yàn)閿?shù)列 可看成是定義在正整數(shù)集合上可看成是定義在正整數(shù)集合上( )naf n (1),(2),( ),fff n稱為一個(gè)無窮數(shù)列稱為一個(gè)無窮數(shù)列, 簡稱數(shù)

4、列簡稱數(shù)列. 2. 數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì) 定義定義3 隨著數(shù)列下標(biāo)的增大隨著數(shù)列下標(biāo)的增大, 對(duì)應(yīng)的項(xiàng)也隨之增大對(duì)應(yīng)的項(xiàng)也隨之增大. 即即則數(shù)列則數(shù)列 an 稱為單增數(shù)列稱為單增數(shù)列.12naaa 隨著數(shù)列下標(biāo)的增大隨著數(shù)列下標(biāo)的增大, 對(duì)應(yīng)的項(xiàng)也隨之減少對(duì)應(yīng)的項(xiàng)也隨之減少. 即即12naaa 則數(shù)列則數(shù)列 an 稱為單減數(shù)列稱為單減數(shù)列.(1) 數(shù)列的單調(diào)性數(shù)列的單調(diào)性(2) 數(shù)列的有界性數(shù)列的有界性 定義定義4 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列 an , 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M , 使得對(duì)任意使得對(duì)任意 an 滿滿足足不等式不等式則稱數(shù)列則稱數(shù)列 an 是有界的是有界的; 如果這樣的正數(shù)如果這樣的正數(shù)M

5、不存在不存在, 則稱數(shù)則稱數(shù)列列 an 是無界的是無界的.naM 注注 在數(shù)軸上在數(shù)軸上, 有界數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有界數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)an必落在閉區(qū)間必落在閉區(qū)間 -M, M 內(nèi)內(nèi).0, ( ).Mn Nf nM 恒恒有有例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列有界有界無界無界子列子列:將數(shù)列將數(shù)列 xn 在保持原有的順序情況下在保持原有的順序情況下, 任取其中無窮任取其中無窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列成為數(shù)列多項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列成為數(shù)列 xn 的子數(shù)列的子數(shù)列, 簡稱子列簡稱子列.如如， ， ，1321nxxx ， ， ，242nxxx均為數(shù)列均為數(shù)列 xn 的子列的子列, 子數(shù)列一般記為子數(shù)列一般

6、記為.knx， ，12knnnxxx其中其中121kknnnn .)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放二、二、 數(shù)列的極限數(shù)列的極限問題問題當(dāng)當(dāng) 無限增大時(shí)無限增大時(shí), 是否無限接近于某一確定的數(shù)是否無限接近于某一確定的數(shù)值值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:即數(shù)列即數(shù)列 的極限是的極限是1. nx于是給出數(shù)列極限的描述性定義于是給出數(shù)列極限的描述性定義: 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列 和常數(shù)和常數(shù) a, 若當(dāng)若當(dāng) 時(shí)時(shí), 無限接近無限接近nxn

7、nx于常數(shù)于常數(shù) a, 則稱則稱 a 是是 的極限的極限.nx數(shù)列極限的描述性定義中涉及三個(gè)問題：數(shù)列極限的描述性定義中涉及三個(gè)問題：n (1) 如何定量刻畫如何定量刻畫 ;nx(2) 如何定量刻畫如何定量刻畫 無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) a ;nx(3) 如何定量刻畫如何定量刻畫 n 的增大與的增大與 無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) a 之間之間的關(guān)系的關(guān)系. 1nxnnn11)1(1 以上例說明以上例說明:,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,100

8、00時(shí)時(shí)只只要要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,)1(時(shí)時(shí)只只要要 Nn.1成成立立有有 nx數(shù)列極限的嚴(yán)格分析定義數(shù)列極限的嚴(yán)格分析定義:如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.:定義定義N 其中其中;:每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 lim 0,0,.nnnxaNnNxa 使使時(shí)時(shí) 恒恒有有注注1. ;nnxaxa 不不等等式式 刻刻劃劃了了 與與 的的無無限限接接近近2. 預(yù)先給定的預(yù)先給定的 具有兩個(gè)特征具有兩個(gè)特征: 相對(duì)固定性相對(duì)固定性: 對(duì)于固定的對(duì)于固定的, 才能找到數(shù)列才能找到數(shù)列 從哪一從哪一

9、項(xiàng)開始滿足項(xiàng)開始滿足 .nxa nx (1) 任意性任意性: 因?yàn)橹挥幸驗(yàn)橹挥腥我庑∪我庑? 不等式不等式 才能表示才能表示nxa 無限接近無限接近 a. 表示表示 接近于接近于 a 的程度的程度.nx3. 存在的正整數(shù)存在的正整數(shù) N 與預(yù)先給定的正數(shù)與預(yù)先給定的正數(shù)有關(guān)有關(guān), 當(dāng)當(dāng)不同時(shí)所得不同時(shí)所得到到N 的不同的不同, 一般一般越小越小, N 越大越大. N = N().5. 數(shù)列極限的定義只能驗(yàn)證一個(gè)常數(shù)是否是數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義只能驗(yàn)證一個(gè)常數(shù)是否是數(shù)列的極限, 但但是不能用來求數(shù)列的極限是不能用來求數(shù)列的極限.利用數(shù)列極限的分析定義驗(yàn)證數(shù)列極限是否存在的關(guān)鍵是利用數(shù)列極限的分

10、析定義驗(yàn)證數(shù)列極限是否存在的關(guān)鍵是對(duì)任意給定的正數(shù)對(duì)任意給定的正數(shù), 通過不等式通過不等式 找到存在的正整找到存在的正整數(shù)數(shù) N .nxa 4. 對(duì)任意給定的正數(shù)對(duì)任意給定的正數(shù), 確定正整數(shù)確定正整數(shù) N 可以通過求解不等式可以通過求解不等式得到得到N , 其表達(dá)式為其表達(dá)式為 , 取取 . 這樣可以取定這樣可以取定 N, 但是但是 N可以不唯一可以不唯一.nxa ( )n ( )N 例例11( 1)lim1.nnnn 證證明明 證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn 1)1(1nnn就就有有. 1

11、)1(lim1 nnnn即即1. 用數(shù)列極限定義證明用數(shù)列極限定義證明23(1) lim2 (2) lim0(1).nnnnqqn (1)0, 因因?qū)?duì) 要要使使不不等等式式證證23332nnnn 3n 只只要要 30, ,N 故故對(duì)對(duì) 只只要要取取正正整整數(shù)數(shù)nN 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,就就恒恒有有故故由由數(shù)數(shù)列列極極限限的的定定義義知知, ,232nn 23lim2.nnn (2)0,(1) 因因?qū)?duì) 不不妨妨假假設(shè)設(shè)要要使使不不等等式式ln0,lnNq 所所以以對(duì)對(duì) 只只要要取取正正整整數(shù)數(shù)lnlnln ,lnnqnq 只只要要 即即 便便可可. .0nnqq 0nq nN 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),

12、, 就就恒恒有有故故由由數(shù)數(shù)列列極極限限的的定定義義知知, ,lim0nnq 2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).例例2 0, lim0, lim.nnnnnxxaxa 設(shè)設(shè)且且求求證證 證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)axaxaxnnn 從從而而有有aaxn a1 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí), 關(guān)鍵是任意給定關(guān)鍵是任意

13、給定 尋找尋找N.由于由于N 不唯一不唯一, 所以不必要求最小的所以不必要求最小的N. 可采用放大不等式可采用放大不等式求求 N., 0 適當(dāng)擴(kuò)大不等式的左邊適當(dāng)擴(kuò)大不等式的左邊證證0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n 取取, 11N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 就有就有0nx 故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取故也可取1N即即n. 11也可由也可由2) 1(10nnx取取11N 知知2( 1),(1)nnxn 證明證明例例lim0 .nnx , ) 1 ,0(解不等式解不等式lim(1)0nnn 證證(1)0nn 11nn 1n 成立成立, ,

14、只需只需1n 21n 即即成立成立, , 取取21max,1 ,N 則當(dāng)則當(dāng)n Nn N時(shí)時(shí), , 恒有恒有(1)0nn 故故lim(1)0nnn 對(duì)任意給定的對(duì)任意給定的 0, 0, 要使不等式要使不等式證明證明證證較難的題目較難的題目證明證明1lim nnn成立成立. .對(duì)任意給定的對(duì)任意給定的 0, 0, 要使不等式要使不等式 1nn01 nnnu令令適當(dāng)擴(kuò)大適當(dāng)擴(kuò)大222)1(2)1(1)1(nnnnnunnunnnuun 22211nnuunn 221n 1122 N取取則當(dāng)則當(dāng)n Nn N時(shí)時(shí), , 恒有恒有 1nn故故lim1.nnn 類似地證明類似地證明: 當(dāng)當(dāng)1 a是給定的實(shí)

15、數(shù)時(shí)是給定的實(shí)數(shù)時(shí), 1lim nna01 nnau令令nnnnnunuua 1)1(naun 0 annaun 1 aN取取簡證簡證x1x2x2 Nx1 Nx3x數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的幾何意義: 2 a aa, (,) , ().nnNxaaN即即 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)都都落落在在內(nèi)內(nèi) 只只有有有有限限個(gè)個(gè) 至至多多只只有有個(gè)個(gè) 落落在在其其外外若把若把 xn 看成數(shù)軸上的點(diǎn)看成數(shù)軸上的點(diǎn), 在數(shù)軸上任意取定在數(shù)軸上任意取定 a 的的鄰域鄰域, xN 以后的所有點(diǎn)都落在以后的所有點(diǎn)都落在 a 的的 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi).因?yàn)椴坏仁揭驗(yàn)椴坏仁?可改寫成可改寫成 ()nxanN N時(shí)時(shí), 所

16、有點(diǎn)所有點(diǎn) (n, xn)都都落在兩直線所形成的帶形區(qū)域內(nèi)落在兩直線所形成的帶形區(qū)域內(nèi). 如圖如圖基本極限：基本極限：lim1nnn lim1nna 1lim0nn 01, lim 0nnaa 1, limnnaa 時(shí)不存在時(shí)不存在1limlog limlog .aannnn 、不不存存在在1、有界性、有界性三、三、 數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆皆有有則則對(duì)對(duì)一一

17、切切自自然然數(shù)數(shù) .有界有界故故nx注注 有界性是數(shù)列收斂的必要條件而非充分條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件而非充分條件, 即有界即有界數(shù)列不一定收斂數(shù)列不一定收斂.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .( 1) n 例如例如, 是有界數(shù)列是有界數(shù)列, 但其極限不存在但其極限不存在(發(fā)散發(fā)散).2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義, sin nn例如例如, 是無界數(shù)列是無界數(shù)列, 其極限其極限 不存在不存在(發(fā)散發(fā)散).limsinnnn;2 bxNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng) ,

18、max21NNN 取取axbxnn .2 .時(shí)時(shí)才才能能成成立立上上式式僅僅當(dāng)當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.時(shí)時(shí)有有則則當(dāng)當(dāng)Nn )()(axbxbann 3、保號(hào)性、保號(hào)性定理定理3 3 假如假如 , , 且且 a 0 (a 0 (或或 a0 ), aN n N 時(shí)時(shí), , 恒有恒有 xn 0(xn 0(或或 xn 0).xn N n N 時(shí)時(shí), , 恒有恒有 xn 0(xn 0(或或 xn 0), xn 0), 則則a 0(a 0(或或 a a 0). 0).limnnxa 4、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性,21nixxxx,21knnnxxx .kkknnnnkkxxk

19、xxnnk 在在子子數(shù)數(shù)列列中中，一一般般項(xiàng)項(xiàng)是是第第項(xiàng)項(xiàng)，而而在在原原數(shù)數(shù)列列中中卻卻是是第第項(xiàng)項(xiàng)，顯顯然然，注注例如，例如，在數(shù)列在數(shù)列 中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)定義定義6nx在原數(shù)列在原數(shù)列 中的先后次序中的先后次序, 這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列列 的子數(shù)列的子數(shù)列(或子列或子列).nxnx定理定理4 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂, 且極限相同且極限相同證證 的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使,NK 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則

20、當(dāng)Kk .NnnnKkk . axkn.limaxknk 證畢證畢knnaa設(shè)設(shè)是是的的子子數(shù)數(shù)列列，則則lim ,lim.knnnkxaxa 若若必必有有即即注注 數(shù)列數(shù)列 的不同子列收斂于不同的極限值的不同子列收斂于不同的極限值, 則數(shù)列則數(shù)列nxnx是發(fā)散的是發(fā)散的. 例如例如, , 數(shù)列數(shù)列11,1, 1,1,( 1),n 因此得到數(shù)列因此得到數(shù)列 是發(fā)散的是發(fā)散的.1( 1)n 其子數(shù)列其子數(shù)列 收斂于收斂于1, 子數(shù)列子數(shù)列 收斂于收斂于-1, 21kx 2kx指指出出下下列列證證明明1lim nnn中中的的錯(cuò)錯(cuò)誤誤 證明證明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當(dāng)當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考題思考題思考題解答思考題解答 1nn)1ln(ln1 nn（等價(jià)）（等價(jià)）證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實(shí)際上就是不等式實(shí)際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用即證明中沒有采用“適當(dāng)放大適當(dāng)放大” 的值的值nnln從而從