第七講：高階偏導(dǎo)數(shù)極值題ppt課件

1、第七講第七講 高階偏導(dǎo)數(shù)、極值高階偏導(dǎo)數(shù)、極值1高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,ln zyxr ru222 例例1 (練習(xí)九練習(xí)九/一一(2) 設(shè)設(shè)求求 zzyyxxuuu 解解211rxrxrxrrux 21ryyrruy 21rzzrruz 42232221rxrrxrxruxx )(4222rzruzz 4222ryruyy 2422123rrrruuuzzyyxx 例例2 設(shè)設(shè) , 求求 ),(xy yxfz2 yxz 2解解22122122fxyxyfxyfxyfxz )()()(22122fxyxxyfyyxz )()(xfxfyfxxfxfyfx1112222212212211

2、1 22312113221212fxyyfyfxfxxf 求求 例例3 (練習(xí)九練習(xí)九/二二) , ),( yx zy xyzfu2232 設(shè)設(shè)2Cf 且且 , zxu 2解解313122xfyzfxfyzfux )()(323323112111 fxyfxfxyfzfyuxz32312121121623xffyxyzffxzyyf 例例4 ),(yxzz 設(shè)設(shè) 由由 確定確定 , 求求 0 ),(yzxyf22xz 解解將方程兩邊對將方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo) ( z 是是 x , y 的函數(shù)的函數(shù) ) 有有021 xzyff21yffxz 兩邊再對兩邊再對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得012221222

3、1211 )()(xzyffxzfxzyxzyff將將 代入解得代入解得 xz )()()(122122211122322221ffffffffyxz 例例5 證明證明: 當(dāng)當(dāng) 時時 , 方程方程 y xy ,022222222 yuyyxuxyxux可化為可化為 , 其中其中 u 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 022 u解解把把,看作中間變量看作中間變量 uxyxuxuxu2 uuxyuyuyu1)( uxxyxu2221)(xuxuxuxy 2222312224232 uxyuxyyuyuyuyuxyu 222222221)(22222221 uuxux)(yuyuyuxyxu

4、 222221 uxyuxyux2222321代入原方程得代入原方程得: 0222 uy022 u 例例6在函數(shù)在函數(shù) u = f(x , y) 中中 , 若令若令 , sincosry , rx 試證試證 : 22222222222ruryuyyxuxyxux 解解把把 x , y 看作中間變量看作中間變量yxuuryyurxxuru sincos)(sin)(cosyxururru 22)(sin)(cosryurxuryurxuyyyxxyxx yyxyxxuuu 222sincossincosyyxyxxurururrur2222222)sin(cossin)cos( yyxyxxuy

5、xyuux222 例例7 設(shè)設(shè) , 求求 ),(yxf),(),( , 00223 yxyxxy),(),(000 yx , ),(, ),(0000yxxyf f解解當(dāng)當(dāng) 時時 ,0 ),(yx222223)()(),(yxxyyyxfx 2222223)()(),(yxyxxyyxfy 00000000 xfxffxx),(),(lim),(00000000 yfyffyy),(),(lim),(yfyffxxyxy ),(),(lim),(0000000110022230 yyyyy)()()(limxfxffyyxyx ),(),(lim),(00000000000 xxlim, yf

6、0 試證試證: 對任意的常數(shù)對任意的常數(shù) c , f (x , y) = c 為一為一例例8在函數(shù)在函數(shù) z = f (x , y) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 且且直線的充要條件是直線的充要條件是0222 yyxxyyxxxyfffffff)()(解解 “ ” 設(shè)設(shè) f (x , y) = c 為一直線為一直線 , 則有則有dbyaxyxf ),(000 yyxyxxyxfffbfaf , , , , 0222 yyxxyyxxxyfffffff)()( “ ”只需證明由只需證明由 f (x , y) = c 確定的函數(shù)確定的函數(shù) y = y(x)有有0 )( xy將將 f (

7、x , y) = c 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)有求導(dǎo)有 0 dxdyffyx),(),( yxfyxfdxdyyx 222)()()( yyxyxffdxdfffdxddxyd 2)()()( yyyyxxxyxxyfdxdyfffdxdyfff 2)()()( yyyyxxxyxxyfdxdyfffdxdyfff 021223 )()()( yyxxyyxxxyyffffffff y = y(x) 是線性函數(shù)是線性函數(shù) f (x , y) = c 為一直線為一直線 2極值極值 、最值、最值1、局部極值、局部極值 例例9 (練習(xí)九練習(xí)九/六六) 設(shè)設(shè) 有一有一 )(),(yxxeyxfay222

8、 駐點(diǎn)為駐點(diǎn)為 M0 = (1 , 1) ,(1) 求常數(shù)求常數(shù) a 的值的值(2) 研究函數(shù)在該點(diǎn)處是否取得極值研究函數(shù)在該點(diǎn)處是否取得極值 ？解解(1) 02222211112 ),()( , )( ),(yxxaexefayay02 )( aea2 a (2) 此時此時 )( , )(yxxefxefyyyx222222222 )( , )( , yxxefxefefyyyyxyyxx22241422222 08400211422 eeeD ),( 駐點(diǎn)駐點(diǎn) M0 不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2、條件極值、條件極值 最值最值 函數(shù)函數(shù) 在該點(diǎn)沿在該點(diǎn)沿 222zyxzyxf ),(, l011

9、例例10 在橢球面在橢球面 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn) , 使使 122222 zyx方向的方向?qū)?shù)最大方向的方向?qū)?shù)最大解解 , , 02121 l設(shè)所求點(diǎn)為設(shè)所求點(diǎn)為 M = ( x , y , z )( , , , , yxzyxlfM 202121222構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù) )()(),(1222222 zyxyxzyxL zLyLxLzyx 24242 , , 122222 zyx解得可能的最值點(diǎn)為解得可能的最值點(diǎn)為: ) , , ( , ) , , (021210212121 PP , 2221 PPlflf比較比較 知知) , , (021211 P為所求的點(diǎn)為所求的點(diǎn)例例11 (練習(xí)九練習(xí)九/十三十三) 在曲面在曲面 ,1 zyx :上作一個切平面上作一個切平面 , 使它與三個坐標(biāo)面所圍成的使它與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最大四面體體積最大 , 求切平面方程求切平面方程解解 任取任取 M = ( x , y , z ) , 法向法向: , , zyxn111 切平面切平面:0111 )( )( )( zZzyYyxXx1 zZyYxX 即即截距截距: zcybxa , , xyzV61 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù): )(1 zyxxyzL 022 xxyzLx 022 yyxz