第七講：高階偏導數極值題ppt課件

1、第七講第七講 高階偏導數、極值高階偏導數、極值1高階偏導數的計算高階偏導數的計算,ln zyxr ru222 例例1 (練習九練習九/一一(2) 設設求求 zzyyxxuuu 解解211rxrxrxrrux 21ryyrruy 21rzzrruz 42232221rxrrxrxruxx )(4222rzruzz 4222ryruyy 2422123rrrruuuzzyyxx 例例2 設設 , 求求 ),(xy yxfz2 yxz 2解解22122122fxyxyfxyfxyfxz )()()(22122fxyxxyfyyxz )()(xfxfyfxxfxfyfx1112222212212211

2、1 22312113221212fxyyfyfxfxxf 求求 例例3 (練習九練習九/二二) , ),( yx zy xyzfu2232 設設2Cf 且且 , zxu 2解解313122xfyzfxfyzfux )()(323323112111 fxyfxfxyfzfyuxz32312121121623xffyxyzffxzyyf 例例4 ),(yxzz 設設 由由 確定確定 , 求求 0 ),(yzxyf22xz 解解將方程兩邊對將方程兩邊對 x 求導求導 ( z 是是 x , y 的函數的函數 ) 有有021 xzyff21yffxz 兩邊再對兩邊再對 x 求導得求導得012221222

3、1211 )()(xzyffxzfxzyxzyff將將 代入解得代入解得 xz )()()(122122211122322221ffffffffyxz 例例5 證明證明: 當當 時時 , 方程方程 y xy ,022222222 yuyyxuxyxux可化為可化為 , 其中其中 u 具有連續(xù)的二階偏導數具有連續(xù)的二階偏導數 022 u解解把把,看作中間變量看作中間變量 uxyxuxuxu2 uuxyuyuyu1)( uxxyxu2221)(xuxuxuxy 2222312224232 uxyuxyyuyuyuyuxyu 222222221)(22222221 uuxux)(yuyuyuxyxu

4、 222221 uxyuxyux2222321代入原方程得代入原方程得: 0222 uy022 u 例例6在函數在函數 u = f(x , y) 中中 , 若令若令 , sincosry , rx 試證試證 : 22222222222ruryuyyxuxyxux 解解把把 x , y 看作中間變量看作中間變量yxuuryyurxxuru sincos)(sin)(cosyxururru 22)(sin)(cosryurxuryurxuyyyxxyxx yyxyxxuuu 222sincossincosyyxyxxurururrur2222222)sin(cossin)cos( yyxyxxuy

5、xyuux222 例例7 設設 , 求求 ),(yxf),(),( , 00223 yxyxxy),(),(000 yx , ),(, ),(0000yxxyf f解解當當 時時 ,0 ),(yx222223)()(),(yxxyyyxfx 2222223)()(),(yxyxxyyxfy 00000000 xfxffxx),(),(lim),(00000000 yfyffyy),(),(lim),(yfyffxxyxy ),(),(lim),(0000000110022230 yyyyy)()()(limxfxffyyxyx ),(),(lim),(00000000000 xxlim, yf

6、0 試證試證: 對任意的常數對任意的常數 c , f (x , y) = c 為一為一例例8在函數在函數 z = f (x , y) 具有二階連續(xù)偏導數具有二階連續(xù)偏導數 , 且且直線的充要條件是直線的充要條件是0222 yyxxyyxxxyfffffff)()(解解 “ ” 設設 f (x , y) = c 為一直線為一直線 , 則有則有dbyaxyxf ),(000 yyxyxxyxfffbfaf , , , , 0222 yyxxyyxxxyfffffff)()( “ ”只需證明由只需證明由 f (x , y) = c 確定的函數確定的函數 y = y(x)有有0 )( xy將將 f (

7、x , y) = c 兩邊對兩邊對 x 求導有求導有 0 dxdyffyx),(),( yxfyxfdxdyyx 222)()()( yyxyxffdxdfffdxddxyd 2)()()( yyyyxxxyxxyfdxdyfffdxdyfff 2)()()( yyyyxxxyxxyfdxdyfffdxdyfff 021223 )()()( yyxxyyxxxyyffffffff y = y(x) 是線性函數是線性函數 f (x , y) = c 為一直線為一直線 2極值極值 、最值、最值1、局部極值、局部極值 例例9 (練習九練習九/六六) 設設 有一有一 )(),(yxxeyxfay222

8、 駐點為駐點為 M0 = (1 , 1) ,(1) 求常數求常數 a 的值的值(2) 研究函數在該點處是否取得極值研究函數在該點處是否取得極值 ？解解(1) 02222211112 ),()( , )( ),(yxxaexefayay02 )( aea2 a (2) 此時此時 )( , )(yxxefxefyyyx222222222 )( , )( , yxxefxefefyyyyxyyxx22241422222 08400211422 eeeD ),( 駐點駐點 M0 不是極值點不是極值點2、條件極值、條件極值 最值最值 函數函數 在該點沿在該點沿 222zyxzyxf ),(, l011

9、例例10 在橢球面在橢球面 上求一點上求一點 , 使使 122222 zyx方向的方向導數最大方向的方向導數最大解解 , , 02121 l設所求點為設所求點為 M = ( x , y , z )( , , , , yxzyxlfM 202121222構造拉格朗日函數構造拉格朗日函數 )()(),(1222222 zyxyxzyxL zLyLxLzyx 24242 , , 122222 zyx解得可能的最值點為解得可能的最值點為: ) , , ( , ) , , (021210212121 PP , 2221 PPlflf比較比較 知知) , , (021211 P為所求的點為所求的點例例11 (練習九練習九/十三十三) 在曲面在曲面 ,1 zyx :上作一個切平面上作一個切平面 , 使它與三個坐標面所圍成的使它與三個坐標面所圍成的四面體體積最大四面體體積最大 , 求切平面方程求切平面方程解解 任取任取 M = ( x , y , z ) , 法向法向: , , zyxn111 切平面切平面:0111 )( )( )( zZzyYyxXx1 zZyYxX 即即截距截距: zcybxa , , xyzV61 構造拉格朗日函數構造拉格朗日函數: )(1 zyxxyzL 022 xxyzLx 022 yyxz