固體物理學(xué)_能帶理論之三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似

1、04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論04_03 三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 1 模型和微擾計(jì)算模型和微擾計(jì)算 電子受到粒子周期性勢(shì)場(chǎng)的作用電子受到粒子周期性勢(shì)場(chǎng)的作用 勢(shì)場(chǎng)的起伏較小零級(jí)近似勢(shì)場(chǎng)的起伏較小零級(jí)近似 用勢(shì)場(chǎng)的平均值代替離子產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)用勢(shì)場(chǎng)的平均值代替離子產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng) VVr周期性勢(shì)場(chǎng)起伏量周期性勢(shì)場(chǎng)起伏量 VVV r 微擾來處理微擾來處理勢(shì)場(chǎng)的平均值勢(shì)場(chǎng)的平均值01/3404_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 電子的波動(dòng)方程電子的波動(dòng)方程 222VEm rrr 晶格周期性勢(shì)場(chǎng)函數(shù)晶格周期性勢(shì)場(chǎng)函

2、數(shù) mVVrRr04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論1) 零級(jí)近似下電子的能量和波函數(shù)零級(jí)近似下電子的能量和波函數(shù)零級(jí)哈密頓量零級(jí)哈密頓量VmH2202薛定諤方程薛定諤方程 2200002VEmrrr電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)能量本征值能量本征值 01iV ek rkr2202kEVmk金屬金屬 個(gè)原胞構(gòu)成，體積個(gè)原胞構(gòu)成，體積123NN N N0VNv04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 周期性邊界條件周期性邊界條件滿足正交歸一化條件滿足正交歸一化條件312123123lllNNNbbbk電子的波矢電子的波矢電子的零級(jí)本征波函數(shù)電子的零級(jí)本征波函數(shù)

3、01ieVk rkr0*0,0Vd kkk kr04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論2) 微擾時(shí)電子的能量和波函數(shù)微擾時(shí)電子的能量和波函數(shù) 近自由電子近似模型近自由電子近似模型微擾的情形微擾的情形0HHHVmH2202( )HVVV r微擾后電子的能量微擾后電子的能量 120.EEEEkkkk電子的波函數(shù)電子的波函數(shù) 0(1).kkkrrr05/3404_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論一級(jí)能量修正一級(jí)能量修正電子的能量電子的能量 120.EEEEkkkk(1)( )0EHVVkkkkrk二級(jí)能量修正二級(jí)能量修正 2200HEEEkkkkkk kk(

4、)( )HVVVkkkrkkr k ()0(1/)ViVVeVdkk rkr krr04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論(1)000HEEkkkkkkk一級(jí)修正一級(jí)修正電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)0(1)( )( )( ).kkkrrr矩陣元矩陣元 的計(jì)算的計(jì)算 HVkkkr k 01ViVeVdVkk rkr krr引入積分變量引入積分變量mrR04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 0()()0 011mviimVeVdevNkk Rkk kr k應(yīng)用應(yīng)用312123123lllNNNbbbk312123123lllNNNbbbk1 12233mmmm

5、Raaa331122312312312123111222000mimllllllNNNimimimNNNmmmeeeekk R04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論112233123123,llllllnnnNNN123mimeN N NNkk R0mimek k R當(dāng)上式中當(dāng)上式中321,nnn 為整數(shù)為整數(shù)則有則有任意一項(xiàng)不滿足任意一項(xiàng)不滿足112233123123,llllllnnnNNN則有則有04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論112233nnnnkkbbbG 00 01nvinVeVdVvGkr k 0()0 011mviimVeVdevN

6、kk Rkk kr k331122123123llllllNNNkkbbb123mimeN N NNkk R10/3404_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論波函數(shù)一級(jí)修正波函數(shù)一級(jí)修正(1)000kHEEkkkkkk0( )11niiirV eV eeGrk rk rk(1)001nniinnVV eeEEG rk rkkk G電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)0(1)( )( )( )rrrkkk001( )1nniinnVeeEEVG rk rkkk GrnkkG04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論mrrR波函數(shù)波函數(shù)00nninnVeEEG rkk+G 不

7、變不變波函數(shù)波函數(shù)001( )1nniinnVeeEEVG rk rkkk Gr波函數(shù)可以寫成自由電子波函數(shù)和晶格周期性函數(shù)乘積波函數(shù)可以寫成自由電子波函數(shù)和晶格周期性函數(shù)乘積1( )( )ieuVk rkkrr00( )1nninnVueEE G rkkk Gr04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 微擾后電子的能量微擾后電子的能量0(1)(2).EEEEkkkk220(1)2(2)0020nnnkEVmEVEEEkkkkk G222002nnnVkEVmEEkkk G04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 一級(jí)修正波函數(shù)和二級(jí)能量修正趨于無窮大一級(jí)修

8、正波函數(shù)和二級(jí)能量修正趨于無窮大222002nnknVkEVmEEkk+G001( )1nniinnVeeEEVG rk rkkk Gr22nkkG102nnGkG當(dāng)當(dāng) 和和 的零級(jí)能量相等的零級(jí)能量相等 knk =k +G04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論n kkG102nnGkG 三維晶格三維晶格 波矢在倒格矢垂直平波矢在倒格矢垂直平 分面上以及附近的值分面上以及附近的值 非簡(jiǎn)并微擾不再適用非簡(jiǎn)并微擾不再適用15/3404_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論簡(jiǎn)單立方晶格中的倒格子空間簡(jiǎn)單立方晶格中的倒格子空間O點(diǎn)是一個(gè)倒格點(diǎn)點(diǎn)是一個(gè)倒格點(diǎn) 距離距離

9、O點(diǎn)最近鄰的倒格點(diǎn)有點(diǎn)最近鄰的倒格點(diǎn)有6個(gè)個(gè) 紙面內(nèi)有紙面內(nèi)有4個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn)_紅點(diǎn)標(biāo)記紅點(diǎn)標(biāo)記 垂直于紙面有垂直于紙面有2個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn)04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論* A和和A兩點(diǎn)波矢大小相等，零級(jí)能量相同兩點(diǎn)波矢大小相等，零級(jí)能量相同 同時(shí)相差一個(gè)倒格矢同時(shí)相差一個(gè)倒格矢 兩個(gè)狀態(tài)的相互作用矩陣元不為零兩個(gè)狀態(tài)的相互作用矩陣元不為零1nGb112233nnnnkkbbbG* B和和B兩點(diǎn)波矢大小和兩點(diǎn)波矢大小和A點(diǎn)相同點(diǎn)相同 但不滿足但不滿足 幾個(gè)狀態(tài)的相互幾個(gè)狀態(tài)的相互 作用矩陣元為零作用矩陣元為零04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理

10、論* 四點(diǎn)波矢大小相等四點(diǎn)波矢大小相等 零級(jí)能量相同零級(jí)能量相同 相差一個(gè)倒格矢相差一個(gè)倒格矢 幾個(gè)狀態(tài)作用矩陣元不為零幾個(gè)狀態(tài)作用矩陣元不為零1234,C CC C2133113411 kkbkkbbkkb 三維情形中，簡(jiǎn)并態(tài)三維情形中，簡(jiǎn)并態(tài) 的數(shù)目可能多于兩個(gè)的數(shù)目可能多于兩個(gè) 04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論2 布里淵區(qū)和能帶布里淵區(qū)和能帶 在在k空間把原點(diǎn)和所有倒格矢中點(diǎn)的垂直平分面畫出空間把原點(diǎn)和所有倒格矢中點(diǎn)的垂直平分面畫出 k空間分割被為許多區(qū)域空間分割被為許多區(qū)域 每個(gè)區(qū)域內(nèi)每個(gè)區(qū)域內(nèi) E k 是連續(xù)變化的是連續(xù)變化的 而在這些區(qū)域的邊界上能量而在這

11、些區(qū)域的邊界上能量E(k)發(fā)生突變發(fā)生突變 這些區(qū)域稱為這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)布里淵區(qū)04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 布里淵區(qū)布里淵區(qū) 簡(jiǎn)單立方晶格簡(jiǎn)單立方晶格k空間的二維示意圖空間的二維示意圖20/3404_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 屬于同一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶屬于同一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶 每一個(gè)布里淵區(qū)的體積相同每一個(gè)布里淵區(qū)的體積相同_倒格子原胞的體積倒格子原胞的體積 每個(gè)能帶的量子態(tài)數(shù)目每個(gè)能帶的量子態(tài)數(shù)目 _ 2N (計(jì)入自旋計(jì)入自旋) 三維晶格中，不同方向上能量斷開的取值不同三維晶格中，不同方向上能量斷開的取值不

12、同 使得不同的能帶發(fā)生重疊使得不同的能帶發(fā)生重疊 不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)在第一布里淵區(qū)在k方向上能量最高點(diǎn)方向上能量最高點(diǎn) A k方向上能量最高點(diǎn)方向上能量最高點(diǎn)C 二維正方格子二維正方格子 C點(diǎn)的能量比第二布里淵區(qū)點(diǎn)的能量比第二布里淵區(qū)B點(diǎn)高點(diǎn)高04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 和第二布里淵區(qū)能帶的重疊和第二布里淵區(qū)能帶的重疊04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論用簡(jiǎn)約波矢用簡(jiǎn)約波矢 表示能量和波函數(shù)表示能量和波函數(shù)

13、kmkkG( )( )nnEandkkr能量和波函數(shù)能量和波函數(shù) 必須同時(shí)指明它們屬于哪一個(gè)能帶必須同時(shí)指明它們屬于哪一個(gè)能帶22200( )2nnnVkEVmEEkkk Gk001( )1mnniiinnnVeeeEEVGrG rk rkkk Gr04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論3 幾種晶格的布里淵區(qū)幾種晶格的布里淵區(qū) 1) 簡(jiǎn)單立方格子簡(jiǎn)單立方格子 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 原點(diǎn)和原點(diǎn)和6個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直平分面圍成的立方體個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直平分面圍成的立方體123aaaaiajak123222aaabibjbk 倒格子基矢倒格子基矢 正格子基矢正格子基矢 簡(jiǎn)單立方格

14、子簡(jiǎn)單立方格子25/3404_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 簡(jiǎn)單立方格子簡(jiǎn)單立方格子04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論2) 體心立方格子體心立方格子 正格子基矢正格子基矢123()2()2()2aaaa-i+ j+kai- j+kai- j+k1232()2()2()aaabj+kbi+kbi+ j 倒格子基矢倒格子基矢a4 邊長(zhǎng)邊長(zhǎng) 的面心立方格子的面心立方格子第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)原點(diǎn)和原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十

15、二面體個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 體心立方格子第一布里淵區(qū)各點(diǎn)的標(biāo)記體心立方格子第一布里淵區(qū)各點(diǎn)的標(biāo)記04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論3) 面心立方格子面心立方格子123()2()2()2aaaaj+kak +iai+ j1232()2()2()aaab-i+j+kbi-j+kbi-j+k 正格子基矢正格子基矢 倒格子基矢倒格子基矢a4 邊長(zhǎng)邊長(zhǎng) 的體心立方格子的體心立方格子第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)30/3404_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和8個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分 面圍成的正八面體，和沿立方軸的面圍成的正八面體，和沿立方軸的6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連個(gè)次近鄰格點(diǎn)連 線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角, 形成的形成的14面體面體04_03_三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 八個(gè)面是正六邊形八個(gè)面是正六邊形 六個(gè)面是正四邊形六個(gè)面是正四邊形面心立方格子面心立方格子 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)04_