復(fù)變函數(shù)3泰勒級數(shù)ppt課件

1、3 泰勒級數(shù) 設(shè)函數(shù) f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個圓周, 它與它的內(nèi)部全含于D, 把它記作K, 又設(shè)z為K內(nèi)任一點.z0Kzrz按柯西積分公式, 有1( )( )d ,2Kff zizzzz且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzzzzzzzzzz由于積分變量取在圓周 上 點 在 的內(nèi)部所以101000101( )d( )()2()1( )()d .2()NnnnKnnn NKff zzzizfzzizzzzzzzz0Kzrz由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成( )1000010()( )(

2、)( )!1( )( )()2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdizzzz其中( )000lim( )0,()( )()!NNnnnRzKfzf zzzn如果能證明在 內(nèi)成立 則在K內(nèi)成立, 即 f (z)可在K內(nèi)用冪級數(shù)表達.000zzzzqzrz令，q與積分變量z無關(guān), 且0q1.z0Kzrz K含于D, f (z) 在D內(nèi)解析, 在K上連續(xù), 在K上有界, 因此在K上存在正實數(shù) M 使| f (z) | M.01221d| )(|21d)()()(21| )(|000010 NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzRzzzzz因而,

3、下面的公式在K內(nèi)成立:( )000()( )()!nnnfzf zzzn稱為f (z)在z0的泰勒展開式, 它右端的級數(shù)稱為 f (z)在z0處的泰勒級數(shù). 圓周K的半徑可以任意增大, 只要K在D內(nèi). 所以, 如果z0到D的邊界上各點的最短距離為d, 那么 f (z)在z0的泰勒展開式在圓域 |z-z0|d 內(nèi)成立.定理定理(泰勒展開定理泰勒展開定理) 設(shè)設(shè) f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, z0為為D內(nèi)的一內(nèi)的一點點, d為為z0到到D的邊界上各點的最短距離的邊界上各點的最短距離, 則當(dāng)則當(dāng)|z-z0|d 時時, 00( )0( )(),1(),0,1,2,.!nnnnnf zczzc

4、fznn成立 其中 注： 假如 f (z)在z0解析, 則使 f (z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R等于從z0到 f (z)的距z0最近一個奇點a 的距離, 即R=|a-z0|. yz0ax 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù), 因而是唯一的. 利用泰勒展開式, 我們可以直接通過計算系數(shù):), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展開成冪級數(shù), 這被稱作直接展開法例如, 求 ez 在 z = 0處的泰勒展開式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因為ez在

5、復(fù)平面內(nèi)處處解析, 上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立, 收斂半徑為+.同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開式:3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn 除直接法外, 也可以借助一些已知函數(shù)的展開式, 利用冪級數(shù)的運算性質(zhì)和分析性質(zhì), 以唯一性為依據(jù)來得出一個函數(shù)的泰勒展開式, 此方法稱為間接展開法. 例如sin z在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn 解 由于函數(shù)有一奇點z=-1,

6、 而在|z|1內(nèi)處處解析, 所以 可在|z|1內(nèi)展開成z的冪級數(shù). 因為 211( 1),| 1.1nnzzzzz 例1 把函數(shù) 展開成z的冪級數(shù). 21 1z將上式兩邊求導(dǎo)得 21121123( 1),| 1.(1)nnzznzzz 例2 求對數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級數(shù)展開式.解 ln(1+z)在從-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)是解析的, -1是它的奇點, 所以可在|z|1展開為z的冪級數(shù).1OR=1xy01ln(1)( 1),1nnnzzz因為逐項積分得0001dd( 1)d,1zzznnz231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn 即解析在函數(shù)0)(zzf的

7、冪級數(shù)的某鄰域內(nèi)可展開為在00)(zzzzf解析在區(qū)域函數(shù)Dzf)(0( )f zDzz在 內(nèi)任一點處可展開為的冪級數(shù)推論推論1 1： 注：解析的等價條件：在區(qū)域函數(shù)Dzf)(內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)域函數(shù)Dzf)() 1 (條件，內(nèi)可微，且滿足在區(qū)域RCDvu,)2(關(guān)；內(nèi)連續(xù)且積分與路徑無在區(qū)域函數(shù)Dzf)() 3(內(nèi)可展開為冪級數(shù)在區(qū)域函數(shù)Dzf)()4(推論推論2 2： 解析，在區(qū)域設(shè)函數(shù)Dzf)(),(,00DzdistRDz00( )f zzzRz則在內(nèi)可展開為 的冪級數(shù)推論推論3:冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個奇點冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個奇點. (即使冪級數(shù)在其收斂圓周

8、上處處收斂即使冪級數(shù)在其收斂圓周上處處收斂)例如：)(02zfnznn1,z 在上絕對收斂),1(21)(1znzzzfn但)(1zfz時：近于沿實軸從單位圓內(nèi)部趨當(dāng)是一個奇點。即1z推論推論4：展開式：解析，且有在設(shè)函數(shù)Taylor)(0zzf00( )() ,nnnf zCzz最近的一個奇點，的距是0)(zzfa為其收斂半徑。則0zRa例如：,61)(02nnnzCzzzf; 2R則其收斂半徑,)(61)(02nnnizCzzzf5.R 則其收斂半徑而如果把函數(shù)中的x換成z, 在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)211z1-z2+z4-它有兩個奇點i, 而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上, 所以這個

9、級數(shù)的收斂半徑只能等于1. 因而, 即使我們只關(guān)心z的實數(shù)值, 但復(fù)平面上的奇點形成了限制. 在實變函數(shù)中有些不易理解的問題, 一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情, 例如在實數(shù)范圍內(nèi), 展開式242211( 1)1nnxxxx 的成立必須受|x|R1時, 即| z |R, 011()nnnnnncczzz收斂。因而, 只有在R1|z-z0|R2的圓環(huán)域, 原級數(shù)才收斂.z0R1R2例如級數(shù)10110(),1,| |,| |.| | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab與 為復(fù)常數(shù)中的負冪項級數(shù)當(dāng)即時收斂 而正冪項級數(shù)則當(dāng)時收斂 所以當(dāng)時,原級數(shù)

10、在圓環(huán)域收斂;當(dāng)時,原級數(shù)處處發(fā)散在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如, 可以證明, 上述級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求導(dǎo).冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), 級數(shù)100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)?先看下例.21( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz 函數(shù)在及都不解析 但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的先研究的情形:由此可見在內(nèi)是可以展開為z的冪級數(shù)其次,在圓環(huán)域:0

11、|z-1|1內(nèi)也可以展開為z-1的冪級數(shù):2121111( )(1)11 (1)11(1)(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz 1Oxy定理定理 設(shè)設(shè) f (z)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 R1 |z-z0| R2內(nèi)解析內(nèi)解析, 那么那么010( )()1( )d . (0, 1, 2,)2()nnnnnCf zczzfcnizzzz 其中C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線.證 設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點, 在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2, K2的半徑R大于K1的半徑r, 且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西積分公式得21

12、1( )1( )( )2 2 KKfff zddizizzzzzzz0220,1.zzKzKzzz對第一個積分在上在內(nèi)220100,1( )1( )()22()nnnKKffddzzizizzzzzzz和泰勒展開式一樣 可以推得111( )d .,2KfKizzzzz第二個積分由于 在上010,1.zzKzzz點 在的外部0001111zzzzzzzz 因此10011100()1() ,()()nnnnnnzzzzzzzz R1R2zrK1zRK2zz011101101( )1( )dd()( ),22()NnNnnKKffzzRzizizzzzzzz 1100()( )1( )d .2()n

13、Nnn NKzfRzizzzzz其中000,01|zrqqzzzzz令則，因此有100001|( )|( )|d2|nNnKzfRzszzzzzz111112.|( )|.21Nnn NMM qqrMf zKrq是在上的最大值lim0,lim( )0.NNNNqRz因為所以00001( )()()() ,nnnnnnnnnf zczzczzczz因此2110101( )d ,(0,1,2,);2()1( )d ,(1,2,) .2()nnKnnKfcnizfcnizzzzzzz 如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡單閉曲線C, 則根據(jù)閉路變形原理, 這兩個式子可用一個式子來表示:101( )

14、d ,(0, 1, 2,)2()nnCfcnizzzz Cz0R1R20101( )( )() ,d ,(0, 1, 2,)2()nnnnnCff zc zzcnizzzz 于是稱為函數(shù)f (z)在以z0為中心的圓環(huán)域: R1|z-z0|R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式, 它右端的級數(shù)稱為 f (z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù). 一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負冪項的級數(shù)是唯一的, 這個級數(shù)就是 f (z)的洛朗級數(shù). 根據(jù)由正負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運算, 代換, 求導(dǎo)和積分等方法去展開, 以求得洛朗級數(shù)的展開式.解： 函數(shù) f (z) 在圓環(huán)域 i) 0 |z

15、| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 內(nèi)是處處解析的, 應(yīng)把 f (z)在 這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù). 1112f zzz例 把在復(fù)平面上展開為z的冪級數(shù)。xyO1xyO12xyO2先把 f (z)用部分分式表示:11( ).12f zzz2222111i)0 | 1( )12121137(1)1.222248zf zzzzzzzzz在內(nèi):ii) 在1 |z| 2內(nèi)：111111( )1122112f zzzzzz 222211111(1)12221111.248nnzzzzzzzzzziii) 在2|z|+內(nèi):111111( )121211f zzzzzzz 2223

16、4111124(1)(1)137.zzzzzzzzz例2 把函數(shù).|0e)(13內(nèi)展開成洛朗級數(shù)在zzzfz解 因有133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz 23e12!3!nzzzzzn 注意: 一個函數(shù) f (z)可以在奇點展開為洛朗級數(shù)，也可在非奇點展開。 函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點隔開的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析, 因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例). 我們不要把這種情形與洛朗展開式的唯一性相混淆. 所謂洛朗展開式的唯一性, 是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式是唯一的. 例如在 z=i 和z=-

17、i處展開函數(shù) 為洛朗級數(shù)。12( )()if zz zi在復(fù)平面內(nèi)有兩個奇點: z=0與z=-i, 分別在以i為中心的圓周: |z-i|=1與|z-i|=2上.因而, f (z)在以i為中心的圓環(huán)域(包括圓域)內(nèi)的展開式有三個:1)在|z-i|1中的泰勒展開式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展開式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展開式;在復(fù)平面內(nèi)有一個奇點: z=0在以-i為中心的圓周:|z+i|=1上.因而, f (z)在以-i為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開式有二個: 1)在0 |z+i|1中的洛朗展開式; 2)在1|z+i| +中的洛朗展開式。Oiii0特別的，當(dāng)洛朗級數(shù)的系數(shù)公式101( )d . (0, 1, 2,)2()nnCfcnizzzz 1n 時，有CdzzfiC)(21112)(CidzzfC（即可利用Laurent系數(shù)計算積分） 其中C為圓環(huán)域R1|z-z0|R2內(nèi)的