熱力學基礎習題課

1、熱 學習題課習題課2014.12.2第一章第一章 統(tǒng)計物理學統(tǒng)計物理學1.理想氣體狀態(tài)方程理想氣體狀態(tài)方程molMpVRTRTMpnkT 要求牢記，明確式中各參數的意義要求牢記，明確式中各參數的意義 除碰撞外，分子力可以略去不計除碰撞外，分子力可以略去不計 分子間及分子和器壁間的碰撞是完全彈性碰撞分子間及分子和器壁間的碰撞是完全彈性碰撞 分子可以看作質點分子可以看作質點 212mv23pn理想氣體的分子模型為：理想氣體的分子模型為：1. 從分子動理論導出的從分子動理論導出的壓強公式來看壓強公式來看, 氣體作氣體作用在器壁上的壓強用在器壁上的壓強, 決決定于定于_和和_ 單位體積內的分子數單位體

2、積內的分子數 n, 分子的平均平動動能分子的平均平動動能2. 在推導理想氣體壓在推導理想氣體壓強公式中，體現統(tǒng)計強公式中，體現統(tǒng)計意義的兩條假設是意義的兩條假設是_和和_沿空間各方向運動的沿空間各方向運動的分子數目相等分子數目相等222xyzvvv32kTpnkT233molkTRTmMv溫度的統(tǒng)計意義：溫度的統(tǒng)計意義：氣體溫度是分子平均平動動能的量度分子的平均能量分子的平均能量2kikT質量為質量為 理想氣體的內能理想氣體的內能M02molmolMMiEERTMM內能隨溫度的改變內能隨溫度的改變 2molMiER TM氣體處于平衡態(tài)時，分子的任何一個自由度的平均動能都相氣體處于平衡態(tài)時，分子

3、的任何一個自由度的平均動能都相等，均為等，均為 ，這就是，這就是能量按能量按自由度自由度均分定理均分定理. .kT21試寫出下列各式的物理意義：試寫出下列各式的物理意義： 分子每一自由度所均分的能量分子每一自由度所均分的能量自由度為自由度為 i 的的分子的平均能量分子的平均能量雙原子氣體雙原子氣體分子的平均能量分子的平均能量1/3mol單原子理想氣體的內能單原子理想氣體的內能1mol單原子理想氣體的內能單原子理想氣體的內能10 mol自由度為自由度為 i 的理想氣體的內能的理想氣體的內能kT12ikT2kT5/2RT12RT32iRT54、麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 Nddvvv：區(qū)

4、區(qū)間間內內的的分分子子數數NNddvvv：區(qū)區(qū)間間內內的的分分子子 數數占占總總分分子子數數的的百百分分比比 NfNdd vv（1）.速率分布函數：速率分布函數： NfNdd vv 表示速率表示速率 v 附近附近單位單位速率區(qū)間的分子數占分速率區(qū)間的分子數占分子總數的百分比子總數的百分比 .（2）.速率分布曲線速率分布曲線（a a） 曲線曲線 f vvv)(vfovvv dSd Sfdd vv 區(qū)間區(qū)間內的分子數內的分子數占總分子數占總分子數的百分比的百分比dvvv（b b） 曲線曲線 Nf vvv)(vfo1vS2v Sf21d vvvvNN 表示速率在表示速率在 區(qū)間的分子數占總分子數的百

5、區(qū)間的分子數占總分子數的百分比分比 . .12vv 歸一歸一化條件化條件 f0d1 vvv( )Nf vovvv dSd SNfdd vv 區(qū)間區(qū)間內的分子數內的分子數dvvv（3）.麥氏分布函數麥氏分布函數 23/22242mkTmfekT （4）.三種統(tǒng)計速率三種統(tǒng)計速率最概然速率最概然速率v)(vfopvfmaxpkTRTmM22v平均速率平均速率 f0d vvvvkTRTmM88 v平方平均速率平方平均速率 f220d vvvv方均根速率方均根速率rmskTRTmM233 vv分布函數和分布函數和溫度溫度的關系的關系分子質量相同，分子質量相同，試比較試比較T T1 1和和T T2 2的

6、的大小大小pkTRTmM22vpp12 vvTT12分布函數和分布函數和分分子質量子質量的關系的關系溫度相同，試比較溫度相同，試比較MM1 1和和MM 2 2的大小的大小pp12 vvMM12證明題證明題例例: :說明下列各式的物理意義說明下列各式的物理意義fd)( )dnf 21)(fd21)(Nfd解：解：NNfdd)(利用定義分析利用定義分析表示分子速率在表示分子速率在v值附近單位速率區(qū)間內的分子數占總分子值附近單位速率區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比，也可表示任何一個分子速率在數的百分比，也可表示任何一個分子速率在v值附近單位速值附近單位速率區(qū)間內出現的概率。率區(qū)間內出現的概率。 表示

7、分子速率在表示分子速率在 vv+dv 區(qū)間內的分子數占總分子數區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比或出現的概率的百分比或出現的概率fd)( )vvnfdNVdNNdNV表示單位體積內，分子速率在表示單位體積內，分子速率在 vv+dv 區(qū)間內的分子數區(qū)間內的分子數表示在速率表示在速率v v1 1vv2 2速率區(qū)間內，分子出現的概率。速率區(qū)間內，分子出現的概率。21)(fd21)(Nfd表示分子速率在表示分子速率在v1 v 2間隔內的分子數。間隔內的分子數。v1 v2速率區(qū)間內分子的平均速率速率區(qū)間內分子的平均速率 2121ddvvvvvvvvvff NNNN21d/ vvvNN21d vvvv 分子

8、平動動能的平均值分子平動動能的平均值分子平均碰撞頻率：分子平均碰撞頻率：22dnz 分子平均自由程：分子平均自由程：22122kTzn dd P5.重力場中粒子的分布：重力場中粒子的分布：kTmghenn/0/00mgh kTgh RTpn kTen kTe00lnlnppkTRThmgpgp波爾茲曼能量分布波爾茲曼能量分布6 6. .分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律( (推導推導) )忽略忽略粒子間的相互作粒子間的相互作用用 處于重力場中的某種氣體，在高度處于重力場中的某種氣體，在高度Z 處單位體積內的分處單位體積內的分子數即分子數密度為子數即分子數密度為 n 。若。若f（v）是分子的速

9、率分布函）是分子的速率分布函數，則坐標數，則坐標 x x + dx 、y y + dy 、z z + dz 介于區(qū)間介于區(qū)間內，速率介于內，速率介于v v + dv 區(qū)間內的分子數區(qū)間內的分子數 dN =（ ）zyxvvnfdddd)(iER T2 內能增量內能增量定體摩爾熱容定體摩爾熱容系統(tǒng)對外做功系統(tǒng)對外做功VW0,0外界對系統(tǒng)做功外界對系統(tǒng)做功VW0,0 ViCR2 VCT 定壓摩爾熱容定壓摩爾熱容pVCCR溫度升高溫度升高溫度降低溫度降低TE0,0系統(tǒng)吸熱系統(tǒng)吸熱Q0 系統(tǒng)放熱系統(tǒng)放熱Q0 TE0,0摩爾熱容比摩爾熱容比pVCC/ 一、一、熱力學第一定律熱力學第一定律QEW 過程量過程

10、量狀態(tài)量狀態(tài)量狀態(tài)量狀態(tài)量只決定于（只決定于（ ），），而與（而與（ ）無關無關始末狀態(tài)，過程始末狀態(tài)，過程邁耶公式邁耶公式(推導過程要掌握推導過程要掌握)過程過程等體等體等壓等壓等溫等溫絕熱絕熱W EQ方程方程 VpP-V圖圖VpVpVp000ppTT1212 恒恒量量VCTVCTVVTT1212 恒恒量量VCTpCT p V pVpV1 12 2 恒恒 量量VRTV21ln pV 恒恒量量TV1 恒恒量量pT1 恒恒量量VCTpVp VE11221 二、四種過程二、四種過程VRTV21ln 三、循環(huán)過程三、循環(huán)過程pVOAa21QQE0正循環(huán)：正循環(huán)： 順時針順時針WQQ12凈凈0 pVO

11、Aa21QQ逆循環(huán)：逆循環(huán)： 逆時針逆時針WQQ21凈凈0 W凈凈= 曲線所圍的面積曲線所圍的面積nQQQ12正循環(huán)：正循環(huán)： 順時針順時針WQQ12凈凈0 逆循環(huán)：逆循環(huán)： 逆時針逆時針WQQ21凈凈0 W凈凈= 曲線所圍的面積曲線所圍的面積nQQQ121. 熱機循環(huán)熱機循環(huán)pVOAa21QQ熱機熱機高溫熱源高溫熱源低溫熱源低溫熱源T1T2WQ1Q2熱機效率熱機效率 WQ1QQ211WQQ12 1. 熱機循環(huán)熱機循環(huán)pVOAa21QQ熱機熱機高溫熱源高溫熱源低溫熱源低溫熱源T1T2WQ1Q2熱機效率熱機效率 WQ1QQ211WQQ12 2. 制冷循環(huán)制冷循環(huán)pVOAa21QQ致冷機致冷機高溫

12、熱源高溫熱源低溫熱源低溫熱源T1T2WQ1Q2致冷機致冷系數致冷機致冷系數 WQ2WQQ12QQQ212 2. 致冷循環(huán)致冷循環(huán)pVOAa21QQ致冷機致冷機高溫熱源高溫熱源低溫熱源低溫熱源T1T2WQ1Q2致冷機致冷系數致冷機致冷系數e WQ2WQQ12QQQ212 3. 卡諾循環(huán)卡諾循環(huán)Vop2TW1TABCD1p2p4p3p1V4V2V3V21TT 卡諾循環(huán)由兩個等溫過程和兩個卡諾循環(huán)由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成絕熱過程組成卡諾熱機卡諾熱機QTQT221111 卡卡諾諾TTT212 3. 卡諾循環(huán)卡諾循環(huán)Vop2TW1TABCD1p2p4p3p1V4V2V3V21TT 卡諾循環(huán)由兩個

13、等溫過程和兩個卡諾循環(huán)由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成絕熱過程組成卡諾熱機卡諾熱機QTQT221111 卡卡諾諾卡諾致冷機卡諾致冷機212QQQ 卡卡諾諾關于可逆過程和不可逆過程的判斷：關于可逆過程和不可逆過程的判斷： (1) 可逆熱力學過程一定是準靜態(tài)過可逆熱力學過程一定是準靜態(tài)過(2) 準靜態(tài)過程一定是可逆過程準靜態(tài)過程一定是可逆過程(3) 不可逆過程就是不能向相反方向進行的過程不可逆過程就是不能向相反方向進行的過程(4) 凡有摩擦的過程凡有摩擦的過程,一定是不可逆過程一定是不可逆過程以上四種判斷，其中正確的是以上四種判斷，其中正確的是 6 .6 .熵熵玻爾茲曼熵公式玻爾茲曼熵公式 lnk

14、S克勞修斯熵公式克勞修斯熵公式 TQSd熵增加原理熵增加原理孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)自發(fā)過程自發(fā)過程0 S過程等容等溫等壓絕熱可逆過程0絕熱自由膨脹(證明其不可逆證明其不可逆)12VVlnR PdVT2ln1VCPV pC dTTvC dTT12vTTlnC 12VVlnR PdVTdQSdT不同過程的熵變不同過程的熵變例例 解：（解：（1）過程過程：過程過程 ：abc0P09P0VVP03V 1mol單原子單原子分子的理想氣體，經歷如圖所示的可逆循分子的理想氣體，經歷如圖所示的可逆循環(huán)，連接環(huán)，連接ac兩點的曲線兩點的曲線的方程為的方程為 ，a點點的溫度為的溫度為 。（。（ 1）試以）試以 、R表示

15、表示、過程中氣過程中氣體吸收的熱量。（體吸收的熱量。（2）求此循環(huán)的效率。）求此循環(huán)的效率。 200/pV Vp 0T0T IVbaQCTT 32VCR 32baR TT 32bbaVpp0012p V 012RT IIpcbQCTT 52pCR 52cbR TT 52bcbpVV00ccpVVp 03V 0045p V 045RT 過程過程 ： IIIVacECTT 32acR TT 32aaccp Vp V0039p V 039RT 例例:1千克千克0的水和一個的水和一個100的熱源接觸，當水溫達到的熱源接觸，當水溫達到100時，水的熵增加多少時，水的熵增加多少?熱源的熵增加多少熱源的熵增

16、加多少?水和熱源的水和熱源的總熵增加多少總熵增加多少(水的定壓比熱容為水的定壓比熱容為4.187103Jkg-1K-1 )? 解解 水的熵的增加量為水的熵的增加量為 373.151273.1533-1d373.15ln273.15 4.187 10 ln1.3661.306 10 J KppCTSCT熱源的熵的增量為熱源的熵的增量為 53-121004.187 101.122 10 J K373.15373.15pCS 水和熱源的總熵的增加量為水和熱源的總熵的增加量為 3-1120.184 10 J KSSS 因因 ，所以這個過程是不可逆的。，所以這個過程是不可逆的。 0S 例：理想氣體開始處

17、于例：理想氣體開始處于T T1 1=300K, p=300K, p1 1=3.039=3.039 10105 5Pa, Pa, V V1 1=4m=4m3 3狀態(tài)，先等溫膨脹至狀態(tài)，先等溫膨脹至16m16m3 3，接著經過一等體過，接著經過一等體過程達到某一壓強，再經絕熱壓縮回到初態(tài)。設全部程達到某一壓強，再經絕熱壓縮回到初態(tài)。設全部過程都是可逆的且過程都是可逆的且 =1.4=1.4在在P-VP-V圖和圖和T-ST-S圖上分別畫出圖上分別畫出上述循環(huán)。（上述循環(huán)。（2 2）計算每段過程和循環(huán)過程所做的功）計算每段過程和循環(huán)過程所做的功和熵變。和熵變。解：（解：（1）ST123Vconst.T const.V const.Q 2d0T 13d0Q d/SQ T ddd,V mCTESTT 0,0( )ln(/)V mS TSCT T 12等溫過程，氣體對外做功：等溫過程，氣體對外做功：23等容過程，氣體對外做功等容過程，氣體對外做功A2=0熵的增加：熵的增加：熵的增加：熵的增加： 221162111111ddln1.685 10JVVVVVVAp VpVpVVV -1d