高等數(shù)學(xué)教學(xué) 第三節(jié) 函數(shù)的極限ppt課件

1、一、函數(shù)極限的定義一、函數(shù)極限的定義二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)三、小三、小 結(jié)結(jié) 2/24一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 , )(xfy 對(duì)對(duì)0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過(guò)程的六種方式:二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :3/24一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過(guò)過(guò)程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn)

2、 x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)言語(yǔ)刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)言語(yǔ)刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近.4/24定定義義 Axfxx )(lim01、定義：、定義：.)(,0, 0, 00 Axfxxst恒有恒有時(shí)時(shí)5/242、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx留意：留意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小

3、小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 6/24例例2).( ,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證證明明證證,)(0 xxAxf為了為了, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 7/24例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf為為了了, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義. 1x,)( Axf要要使使

4、,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx8/243.單側(cè)極限單側(cè)極限(one-sided limit):例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從從左左側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近;0 xx記作記作,0 xx從從右右側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近;0 xx記作記作yox1xy 112 xy9/24左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)()(lim00AxfAx

5、fxx 或或記記作作.)()(lim00AxfAxfxx 或或記記作作(left-hand limit)(right-hand limit)10/24.)()()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例5證證1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x11/24例例6 6).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的

6、分段點(diǎn),0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故12/24.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限13/24問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx

7、fx 經(jīng)過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的察看經(jīng)過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的察看:14/24定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：15/24:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且16/24xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形

8、完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA17/24xxysin 例例7. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin 為了為了x1 X1 , , 0 ,1 X取取時(shí)時(shí)恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 18/24三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1. 部分有界部分有界性性定定理理 若若在在某某個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過(guò)過(guò)程程的的一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)刻刻, ,在在此此時(shí)時(shí)刻刻以以后后)(xf有有

9、界界. .2.獨(dú)一性獨(dú)一性19/24).0)(0)(,)(, 0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若。 3.3.定理定理( (部分保號(hào)性部分保號(hào)性) ).0( 0),0)( 0)(,)(, 0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若。 推論推論20/244.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000時(shí)時(shí)的的子子列列當(dāng)當(dāng)為為函函數(shù)數(shù)即即則則稱(chēng)稱(chēng)數(shù)數(shù)列列時(shí)時(shí)使使得得有有數(shù)數(shù)列列中中或或可可以以是是設(shè)設(shè)在在過(guò)過(guò)程程axxfxfxfx

10、fxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則則有有時(shí)時(shí)的的一一個(gè)個(gè)子子列列當(dāng)當(dāng)是是數(shù)數(shù)列列若若定理定理21/24例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .22/24xy1sin 例例8.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證：證： ,1 nxn取取, 0li

11、m nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且23/24 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 24/24四、小結(jié)四、小結(jié)函數(shù)極限的一致定義函數(shù)極限的一致定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見(jiàn)下表見(jiàn)下表)用時(shí)

12、用時(shí)2課時(shí)課時(shí)業(yè)業(yè)作作)3)(1(538 P25/24過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)辰以后從此時(shí)辰以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)辰以后從此時(shí)辰以后 )(xf Axf)(26/242-131習(xí)題習(xí)題P)(, )(, . 6212 kaxkaxxkkn若若對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)列列).( naxn證明：證明：證證明明：, )(12 kaxk)(2 kaxk又又.,0,01211 axKkstKk有有.,0,0222 axKkstKk有有對(duì)對(duì)上上述述.,2,221上兩個(gè)不等式均成立上兩個(gè)不等

13、式均成立取取NnstKKmaxN .成成立立即即 axn.limaxnn 故故 27/24例例5.lim00 xxxx 證：證：0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx 保保證證，故故可可取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx 00000. 0 xxxxxxxx 可可用用而而且且只只要要 .lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明34P 28/24 xy . 1xay . 2xey . 3xaylog. 4 xyln. 5 xyxycos. 7sin. 6 xyxycot. 9tan. 8 xyxycsc.11sec.

14、10 xyxyarccos.13arcsin.12 xarcyxycot.15arctan.14 29/241、冪函數(shù)、冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)Rxy oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 30/242、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 31/243、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，特別地，特別地1, 0(log aaxyaxyalog xya1log )1( a)0 , 1( ),時(shí)時(shí)，記記為為當(dāng)當(dāng)ea xyln 32/244、三角函數(shù)、三角函數(shù)xysin xysin Sine-正弦正弦函數(shù)正弦函數(shù)33/24xycos xyco

15、s cosine-余弦余弦函數(shù)余弦函數(shù)34/24xytan xytan tangent-正切，切線正切函數(shù)正切函數(shù)35/24xycot xycot cotangent-余切余切函數(shù)余切函數(shù)36/24xxycos1sec secant-正割xysec 正割函數(shù)正割函數(shù)37/24xxysin1csc xycsc Cosecant-余割余割函數(shù)余割函數(shù)38/245、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)xyarcsin 是整體記號(hào)arcsinxyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)39/24xyarccos 是整體記號(hào)arccosxyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)40/24xyarctan 同上x(chóng)yarctan

16、反反正正切切函函數(shù)數(shù)41/24 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為根本初等函數(shù)三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為根本初等函數(shù).xycot arc同上x(chóng)ycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arc42/24思索題思索題試試問(wèn)問(wèn)函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？43/24思索題解答思索題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(l

17、im0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.44/24.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時(shí)，只要時(shí)，只要取取，問(wèn)當(dāng)，問(wèn)當(dāng)時(shí)，時(shí)，、當(dāng)、當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時(shí)時(shí)，取取，問(wèn)問(wèn)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，、當(dāng)當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習(xí)習(xí) 題題45/24.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時(shí)極限存在的充分時(shí)極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)

18、(存存在在時(shí)時(shí)的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 46/24一、一、1 1、0.00020.0002； 2 2、397. .四、不存在四、不存在. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案47/24.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限48/24.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限49/24.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限50/24.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限51/24.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大