從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看中學(xué)數(shù)學(xué)中的立體幾何及其教學(xué)

1、從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看中學(xué)數(shù)學(xué)中的立體幾何及其教學(xué) 數(shù)學(xué)教育研究 年第 期從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看中學(xué)數(shù)學(xué)中的立體幾何及其教學(xué)王連國山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 叢 艷山東省棗莊市山亭區(qū)西爰鎮(zhèn)建新小學(xué) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容及其特征思想方法,向量的引入把幾何問題代數(shù)化,使得空間,一般來說,現(xiàn)代數(shù)學(xué)是指世紀(jì) 年代以后誕 何結(jié)構(gòu)數(shù)量化,可以說把幾何學(xué)從定性研究階段推至生的數(shù)學(xué),它是研究各種變化的量的相互關(guān)系和聯(lián)系 定量分析階段.的學(xué)科.它產(chǎn)生的主要標(biāo)志是:羅巴切夫斯基?現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)在立體幾何中的體現(xiàn), ? 、高斯, ? 和. 立體幾何中蘊(yùn)含著豐富的集合論符號(hào)語言、向?波約 . ,創(chuàng)立非歐幾何,伽羅瓦語言.

2、, ? 創(chuàng)立群論,哈密頓 , ? 創(chuàng)立四元數(shù),以及康托, ? 數(shù)學(xué)語言可以分為抽象性數(shù)學(xué)語言和直觀性數(shù)等刨立集合論.從那以后發(fā)展起來的非歐幾何、抽 語言,包括數(shù)學(xué)概念、術(shù)語、符號(hào)、式子、圖形等 .自象代數(shù)、集合論、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、數(shù)理邏輯、數(shù)學(xué)基 康托創(chuàng)立集合論以后,集合語言與符號(hào)成為現(xiàn)代數(shù)等的基礎(chǔ).立體幾何中包含文字語言、符號(hào)語言、圖形程礎(chǔ)等,都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容.¨】在幾何基礎(chǔ)方面,希爾伯特 , ? 言等.因此,我們可以借助集合語言來表達(dá)立體幾何畔對(duì)歐幾里得公理體系進(jìn)行現(xiàn)代改造,建立了希爾 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,在這里我們把線和面理解為的集合,點(diǎn)和線分別用大寫和小寫英文字母表示,

3、平面用 ,盧, 表示 , ? 引入 維空問概念,把三維幾何發(fā)展為多維幾何. 世紀(jì)以后, ? 文字語言 集合或符號(hào)語言等人又以集合論為基礎(chǔ),建立了 維歐氏空間的結(jié)構(gòu)理論.兩直線相交于點(diǎn) 口 一 現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在研究對(duì)象、方法和思想上直線和平面相交口一 有著顯著的不同.第一,在研究對(duì)象上,初等數(shù)學(xué)以數(shù)兩直線平行 一 或 /和三維空間的圖像為主要研究對(duì)象,而現(xiàn)代數(shù)學(xué)則以直線和平面平行一 或/任意集合及其之間的各種關(guān)系為主要研究對(duì)象.第二,在思想和方法上,現(xiàn)代數(shù)學(xué)以集合論為基礎(chǔ),普遍采用如果一條直線上的兩 ,點(diǎn)在 ; ,一公理化方法和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)一處理.如:集合論個(gè)平面內(nèi),那么 這條直線在此

4、平面內(nèi)觀點(diǎn)、公理化觀點(diǎn)、結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)和同構(gòu)觀點(diǎn),是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn).第三,在數(shù)學(xué)語言上,現(xiàn)代數(shù)學(xué)全面使用集合論符號(hào)、數(shù)理邏輯符號(hào),使其語言更加統(tǒng)一和形式 平面外一條直線與此平:口,一 口 面內(nèi)的一條直線平行, :因此,現(xiàn)代數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)相比有以下特征:則該直線與此平面平行 亙 口 , 口/口擴(kuò)充了研究對(duì)象,現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究集合以及集合與集合如果一個(gè)平面內(nèi)有兩之問的關(guān)系,研究結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)語言更加形式化、嚴(yán)格條相交直線都平行與:口,: ,且化和規(guī)范化;數(shù)學(xué)思維進(jìn)一步加強(qiáng),抽象程度越來越另一個(gè)平面,那么這兩 / , / 爭 /高.數(shù)學(xué)思想和方法發(fā)生根本變化,形成統(tǒng)一的公個(gè)平面平行理化和結(jié)構(gòu)化思想.應(yīng)用上越來

5、越廣泛,越來越顯著;同時(shí)與現(xiàn)代技術(shù)結(jié)合越來越密切.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都 ,口 ,中學(xué)數(shù)學(xué)中的立體幾何垂直,則這條直線與此 ,上 上口中學(xué)數(shù)學(xué)是指在中學(xué)數(shù)學(xué)教材和課外活動(dòng) 包括平面垂直數(shù)學(xué)競賽 中的數(shù)學(xué) .立體幾何是初等數(shù)學(xué)的一個(gè)分一支,采用公理化的方法研究空間的點(diǎn)、線、面的各種位個(gè)平面過另一個(gè)平置關(guān)系、性質(zhì)以及應(yīng)用,用來培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能面的垂線,則這兩個(gè)平, 乍面垂直施高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)后,對(duì)中學(xué)幾何的內(nèi)容進(jìn)行了一垂直與同一個(gè)平面的些刪減和調(diào)整,將高中數(shù)學(xué)課程分為必修課程和選兩條直線平行 口上口, 上口 口/ 修課程,新增了簡單幾何體的認(rèn)識(shí)、三視圖、平行投影和中心投影等,并且

6、滲透了許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí),如空間 年第 期 數(shù)學(xué)教育研究?下面我們利用集合思想來解決立體幾何中的例子.因此,從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看高中立體 何知識(shí),例 :三個(gè)平面兩兩柏交,有三條交線,求證:這 不僅能夠加深我們對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,而且能夠條交線互相平行或交于一點(diǎn).。幫助我們更好的把握立體幾何的概念、定理和公 的分析:我們把文字語言轉(zhuǎn)化為集合語言,利用集合本質(zhì)屬性及其來龍去脈.思想解決問題. 極限和微積分思想進(jìn)入立體幾何用集合語言表述為:已知, 盧?。,盧 ,: , ,極限和微積分的內(nèi)容是高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)分析的主一 .求“/ / 或口 ? 要內(nèi)容,高中數(shù)學(xué)新教材在必修課中用微積分的思想證明:若“垂即

7、“/ ,則有? 口 ,一“推導(dǎo) 球的表面積,并且在推導(dǎo)球的體積時(shí),運(yùn)用了一 ,又。, 二 ,. /?,從而“/ / . “分割球、取近似值、求和、然后轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確值”的方法,若“ ? ,則 ?體現(xiàn)了極限思想全面滲透到高中兒何中. . ;同樣, 一口從高觀點(diǎn)下來看中學(xué)立體幾何的教學(xué). . .所以, ?. . ,即三條直線交于一點(diǎn). 要將現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中,使現(xiàn)代數(shù). 向量空間和內(nèi)積空間與立體幾何的融合.學(xué)和高中數(shù)學(xué)聯(lián)系更加密切,這就要求高中教師不僅 中學(xué)數(shù)學(xué)幾何中引入二維和三維空間向量,可具有淵深的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)作為基礎(chǔ),而且要有相應(yīng)的以看作是多維空間的基礎(chǔ)或原型.如,兩點(diǎn)問的距離, 教學(xué)

8、策略來運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)過來,這些特例都可以推, 到 維向量空間.識(shí)時(shí)給出以下幾點(diǎn)建議:例如,在平面中, , :, , 掌握高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí).一 方面,通過高等一、二 , 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程,可以使教師受到高層次的嚴(yán)格的思維訓(xùn)練,更加深入地掌握數(shù)學(xué)的思想方法,提高數(shù)學(xué)素在 ?？臻g中,貝 有, , , ,養(yǎng);另一一方面,可以利用所掌握的高等數(shù)學(xué)知識(shí)居高臨 、二了 ;下的去研究初等數(shù)學(xué)中的問題,從而深刻地理解和吃對(duì)于中任意兩點(diǎn), ,透教材,深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),發(fā)揮高等數(shù)學(xué)對(duì)初等,則有,數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用,在教學(xué)中做到深入淺出. 如領(lǐng)悟微百 一一一。 一 積分思想處理球的體積,利用等價(jià)

9、關(guān)系理解向量的定利用空間向量和內(nèi)積空間有利于學(xué)生把握線、義,利用拓?fù)渥儞Q證明多面體的歐拉公式等.面平行、垂直的本質(zhì).向量的運(yùn)用降低了立體幾何中的熟練掌握初等數(shù)學(xué)知識(shí)外,還要掌握與教材有思維程度,使抽象的問題定量化,增加了問題的可操作關(guān)的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)哲學(xué)等與現(xiàn)代數(shù)學(xué)有關(guān)的性,讓學(xué)生處理起來得心應(yīng)手,易激發(fā)學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí).例如,在求柱體、棱臺(tái)、球體的體積時(shí)可以向?qū)W生的興趣.介紹中國的“牟合方蓋”原理和祖抒亙提出的“冪勢(shì)既同,用向量形式表示立體幾何中線、面的位置關(guān)系: 則積不容異”一 , 一 ,”表示法向量.還可以讓學(xué)生比較下這些原理和微積分思想的異同.。:兩直線平行 三 一 日 一

10、在教學(xué)方法上,利用計(jì)算機(jī)和多媒體技術(shù)制作三維課件,來處理幾何體的展開圖和二視圖,讓學(xué)生從”:兩直線垂直三一 三 一多角度的感受幾何體模型,提高學(xué)生的窄間想象能力.。:平面“與平面 平行或垂直三兩平面的法向 注重文字語言、符 語言、圖形語占之間的相量 :與” 平行或垂直。:直線 與平面 的平行或垂直直線 與平面培養(yǎng)學(xué)生的空間能力,而且還能夠豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)語盧的法向量”垂直或平行言.文字語言雖然通俗易懂,但不易表露知識(shí)的內(nèi)部結(jié)十勾;圖像語言直觀、生動(dòng),易生成表象, 不夠精確;符。:異面直線所成角的公式. 一 青針號(hào)語言雖然抽象,但是非常簡潔、準(zhǔn)確.雖然文字語言、。:兩乎面 , 所成的二面角日,/ , 為兩平面的符號(hào)語言、圖想語言各有優(yōu)缺,但是它們對(duì)表達(dá)的某一法向量,則 臼一 訂 ,或 口一 一 , 一內(nèi)容具有等效性.因此,對(duì)抽象的立體幾何概念、定理:翌來說要求學(xué)生用不同的語青來表述,有利于學(xué)生對(duì)概/ 念、定理的理解和把握,有助于分析問題、解決問題.此外,直線的平行和相等向量都可以從等價(jià)類的 在處理點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的證月時(shí),提倡學(xué)生角度來理解,所有互相平行的直線都可以看作同一個(gè)采用不同的方法 向量法、綜合法即傳統(tǒng)方法 去證明,等價(jià)類 這里把直線的重合看成特殊的平行 ,這樣更有利于學(xué)生把握空間異面直線所成的角;相等向量都理,當(dāng)講完向量知識(shí)后,教師要求學(xué)生用向量的知識(shí)去可以簡化為從