全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題及解析

1、2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：1-8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線漸進(jìn)線的條數(shù)（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（A） （B） （C） （D）（3）設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的.（A）充分必要條件 （B）充分非必要條件 （C）必要非充分條件 （D）非充分也非必要（4）設(shè)，則有（A） （B） （C） （D）（5）設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，且對(duì)任意的都有，則使不等式成立的一個(gè)充分條件是（A）， （B）， （C）， （D），（6）設(shè)區(qū)域由曲線，圍成

2、，則（A） （B）2 （C） （D）（7）設(shè)，其中為任意常數(shù)，則線性相關(guān)的向量組為（A） （B） （C） （D）（8）設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空題：9-14小題，每小題4分。請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。（9）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則_（10）_（11）設(shè)，其中函數(shù)可微，則_（12）微分方程滿足條件的解為_（13）曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是_（14）設(shè)為3階矩陣，為的伴隨矩陣，若交換的第一行與第二行得到矩陣，則_三、解答題：15-23，共94分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟。（15）（本題滿分10

3、分） 已知函數(shù)，記（）求的值（）若當(dāng)時(shí)，是的同階無窮小，求。（16）（本題滿分10分）求的極值（17）（本題滿分12分）過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，又切線與軸交于點(diǎn)，區(qū)域由與線段及軸圍成，求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。（18）（本題滿分10分）計(jì)算二重積分，其中區(qū)域?yàn)榍€與極軸圍成（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足方程及，（）求的表達(dá)式；（）求曲線的拐點(diǎn)。（20）（本題滿分10分）證明： 。（21）（本題滿分10分）（）證明方程（的整數(shù)），在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個(gè)實(shí)根；（）記（）中的實(shí)根為，證明存在，并求此極限。（22）（本題滿分11分）設(shè)， （）求；（）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，線性方程組

4、有無窮多解，并求其通解。（23）（本題滿分11分）已知，二次型的秩為2.（）求實(shí)數(shù)的值（）求利用正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)型。2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：（1）【答案】C【分析】本題考查漸近線的概念與求法. 【詳解】水平漸近線： 因?yàn)?，所以該曲線只有一條水平漸近線；垂直漸近線：函數(shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以該曲線只有一條垂直漸近線； 斜漸近線：因?yàn)?，所以該曲線沒有斜漸近線。故應(yīng)選(C).（2）【答案】A【分析】考查導(dǎo)數(shù)定義或求導(dǎo)公式。本題既可以用導(dǎo)數(shù)定義求，也可求出導(dǎo)函數(shù)再代入點(diǎn)?！驹斀狻糠ㄒ唬河深}設(shè)知而法二：因?yàn)樗?，故?yīng)選（A）（3）【答案】B【分析】本題考查數(shù)列的

5、性質(zhì)和級(jí)數(shù)的性質(zhì)?！驹斀狻糠ㄒ唬撼浞中裕阂?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞增，又因?yàn)閿?shù)列有界，所以數(shù)列收斂，從而。非必要性：令，則數(shù)列收斂，而數(shù)列無界；故應(yīng)選（B）。法二：充分性：因?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞增，又因?yàn)閿?shù)列有界，所以數(shù)列收斂，從而級(jí)數(shù)收斂，有級(jí)數(shù)收斂的必要條件可得非必要性：令，則數(shù)列收斂，而數(shù)列無界；故應(yīng)選（B）。（4）【答案】D【分析】考查定積分性質(zhì)、定積分換元積分法?！驹斀狻糠ㄒ?先比較與大小 由于（因?yàn)闀r(shí)，），所以；再比較與的大小 由于（因?yàn)闀r(shí)，），所以；最后比較與的大小由于 ，所以；故應(yīng)選（D）。法二:；，因?yàn)闀r(shí)，所以，并且連續(xù)，所以，因此；令，則從而當(dāng)時(shí)，顯然有，所以，從而，又因?yàn)檫B續(xù)，所

6、以有，故。 綜上，故應(yīng)選（D）。（5）【答案】A【分析】本題考查偏導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)關(guān)系、單調(diào)的判定定理?！驹斀狻恳?yàn)?，若，則；又因?yàn)?，若，則，所以當(dāng)，時(shí)， ，故應(yīng)選（A）（6）【答案】D【分析】二重積分的計(jì)算，首先應(yīng)畫出區(qū)域，觀察其是否具有某種對(duì)稱性，如具有對(duì)稱性,則應(yīng)先考慮利用對(duì)稱性化簡二重積分，然后選擇適當(dāng)坐標(biāo)系化為二次積分計(jì)算?！驹斀狻糠ㄒ唬寒嫵龇e分區(qū)域的草圖如右圖所示。用曲線將劃分為如圖所示顯然關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，從而由對(duì)稱性可得 ： 故應(yīng)選（D）（7）【答案】C【分析】 考查向量組線性相關(guān)的判定.三個(gè)三維向量構(gòu)成的向量組既可以用行列式是否為零來判是否線性相關(guān)，又可以利用矩陣的秩來討論。

7、本題利用行列式判定快速、直接?！驹斀狻?因?yàn)?；。由于為任意常?shù)，所以線性相關(guān)。故應(yīng)選（C）。（8）【答案】B【分析】考查矩陣的運(yùn)算。將用表示，即，然后代入計(jì)算即可?！驹斀狻坑捎?，所以，則，故故應(yīng)選（B）。二、填空題（9）【答案】1【分析】考查隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，常用方法是用微商或隱函數(shù)求導(dǎo)法則完成?！驹斀狻糠ㄒ唬簩⒋敕匠?，可得。方程兩端對(duì)導(dǎo)數(shù)，得，所以，故；方程兩端再對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，從而可以得到。法二：將代入方程，可得。方程兩端微分得：，從而，且 又，從而。（10）【分析】考查定積分的概念及項(xiàng)和數(shù)列求極限?！驹斀狻浚?1）【答案】0【分析】考查多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t或微分完成。

8、【詳解】法一：由于，于是。 法二： ，從而， ，故。（12）【答案】【分析】將變量當(dāng)做函數(shù)，變量做自變量，則方程為一階線性微分方程，用公式求出通解，代入初始條件即可?！驹斀狻糠匠炭烧頌椋瑢⒖醋鲆蜃兞?，為一階線性非齊次微分方程，通解，即。由，解得，所以所求特解為。（13）【答案】【分析】考查曲率的概念與計(jì)算。代入公式計(jì)算便可?！驹斀狻坑捎?，所以可得，解得，此時(shí)，故所求曲線上的點(diǎn)為。（14）【答案】【分析】考查伴隨矩陣的性質(zhì)與矩陣行列式的性質(zhì)與運(yùn)算?！驹斀狻坑捎?，所以。三、解答題（15）【分析】（）求未定式的極限，主要考查等價(jià)無窮小代換、洛必達(dá)法則或泰勒公式；（）考查無窮小比較，可用無窮小比較的

9、定義寫出一個(gè)極限式，由極限的逆問題算出?！驹斀狻浚ǎ┓ㄒ唬?法二：（）法一：由于 由題設(shè)（非零常數(shù)），即（非零常數(shù)）所以 要使上極限存在且非零，必有。法二：由于而，所以，綜上可知：，故（16）【分析】二元顯函數(shù)求極值，先求出所有駐點(diǎn)，然后利用無條件極值的充分條件判定每一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，是極大還是極小，并求出極值點(diǎn)的函數(shù)值?！驹斀狻坑捎冢?解方程組：可得：或。所以函數(shù)全部駐點(diǎn)為、。 又 對(duì)駐點(diǎn)，由于， 所以，且，從而為極大值； 對(duì)駐點(diǎn) ，由于， ，所以，且，從而為極小值。（17）【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用與定積分的幾何應(yīng)用。先根據(jù)題設(shè)求出切點(diǎn)，進(jìn)而寫出切線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積和旋

10、轉(zhuǎn)體體積公式求出面積和體積?！驹斀狻吭O(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于，由題意知曲線在點(diǎn)的切線過點(diǎn)，從而，解得，故切點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以切線方程為，即，易求得切線與軸交點(diǎn)，從而區(qū)域的面積或 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積或（18）【分析】考查初等函數(shù)的二重積分，化為極坐標(biāo)系下的二次積分計(jì)算?！驹斀狻?（19）【分析】（）求出方程的通解代入方程確定任意常數(shù)即可，或方程兩端求導(dǎo)數(shù)與解出（）將（）中得到的函數(shù)表達(dá)式代入，然后利用常規(guī)方法求得拐點(diǎn)?！驹斀狻浚ǎ┓ㄒ唬旱奶卣鞣匠虨?，解得,所以；將代入，得，所以，故。法二：方程兩端求導(dǎo)數(shù)得將上式代入，可得。（）由于，從而從而定義域內(nèi)為零或不存在點(diǎn)只有，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?/p>

11、當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以又，所以是曲線的拐點(diǎn)。（20）【分析】證明函數(shù)不等式，由于不等式的形狀為，故用最大最小值法完成。【詳解】令，則從而單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而是在區(qū)間內(nèi)的最小值，從而當(dāng)時(shí)，恒有，即，亦即（21）【分析】（）用零點(diǎn)定理證明至少有一個(gè)實(shí)根，用單調(diào)性證明最多有一個(gè)實(shí)根；（）用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明?！驹斀狻浚ǎ┝睿院瘮?shù)在閉區(qū)間連續(xù)，又因?yàn)?，由零點(diǎn)定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根；又因?yàn)?，所以在單調(diào)增加，所以方程在內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根；綜上可得方程（的整數(shù)），在區(qū)間內(nèi)有且有唯一個(gè)實(shí)根。（）由）可知，從而數(shù)列有下界，又因?yàn)?，所以從而而所以，即?shù)列單減

12、。由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知極限存在。 由可知 由于，所以，從而，記，則，從而。（22）【分析】考查行列式的計(jì)算、線性方程組解的存在性定理。（）按第一列展開；（）對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等航變換化為階梯型求出，進(jìn)一步化為行最簡形求通解?！驹斀狻浚ǎǎ?duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，有因?yàn)榫€性方程組有無窮多解，所以，解得。將增廣矩陣進(jìn)一步化為行最簡形，有從而可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，非齊次方程的特解為，所以通解為，其中為任意常數(shù)。（23）【分析】考查矩陣秩的概念與求法及其性質(zhì)、特征值與特征向量的求法。（）利用秩的性質(zhì)得到矩陣的秩為2，再利用初等行變換將化為階梯型即可求出；（）求出矩陣的特征值與全部線性無關(guān)的特征向量，將他們正交化、單位化可得到正交矩陣。【詳解】（）由于，而二次型的秩為，即，故。對(duì)矩陣作初等行變換化為階梯型，有從而