201多邊形的內(nèi)角和與外角和

1、 三角形有三個(gè)內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角三角形有三個(gè)內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角形稱(chēng)為三邊形（但我們習(xí)慣稱(chēng)為三角形）形稱(chēng)為三邊形（但我們習(xí)慣稱(chēng)為三角形） 你能說(shuō)出三角形的定義嗎？三角形是由三條三條不在同一條直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次相接組成的封閉圖形 既然我們已經(jīng)知道什么叫三角形，你能根據(jù)三角形既然我們已經(jīng)知道什么叫三角形，你能根據(jù)三角形的定義，說(shuō)出什么叫四邊形嗎？的定義，說(shuō)出什么叫四邊形嗎？四邊形是由四邊形是由四條四條不在同一直線(xiàn)上不在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次相接組成的封閉的線(xiàn)段首尾順次相接組成的封閉圖形，記為四邊形圖形，記為四邊形ABCD 五邊形，它是由五邊形，它是由五條五條不在同一直不在

2、同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次相接組成的線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次相接組成的封閉圖形，記為五邊形封閉圖形，記為五邊形ABCDE 一般地，由一般地，由若干條若干條不在同一條不在同一條直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次相接組直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形成的封閉圖形叫做多邊形那么多邊形的定義呢？ 下面所示的圖形也是多邊形，但不在我們現(xiàn)在下面所示的圖形也是多邊形，但不在我們現(xiàn)在研究的范圍內(nèi)研究的范圍內(nèi) .一個(gè)多邊形，如果把它任意一邊雙向延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線(xiàn)的同一旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形. 有什么不同？有什么不同？凹多邊形凹多邊形凸多邊形凸多邊形注意：我們主注意：我們主要研究的都是要研究的都是凸多

3、邊形凸多邊形圖 8.3.2 1.1.如圖所示，如圖所示，AA、DD、CC、ABCABC是四邊形是四邊形ABCDABCD的四個(gè)內(nèi)角的四個(gè)內(nèi)角. . 3.CBE和和ABF都是與都是與ABC相鄰的外角，相鄰的外角， 兩者互為對(duì)頂角兩者互為對(duì)頂角，四邊形有八個(gè)外角，四邊形有八個(gè)外角. 既然三角形有三個(gè)既然三角形有三個(gè)內(nèi)角、三條邊，六個(gè)外角，內(nèi)角、三條邊，六個(gè)外角，那么四邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？那么四邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？2.AB2.AB、BCBC、CDCD、DADA是四邊是四邊形形ABCD的四條邊的四條邊. . 請(qǐng)大家細(xì)心地填一填，多邊形的內(nèi)角，邊，外請(qǐng)大家細(xì)心地填一填，多邊

4、形的內(nèi)角，邊，外角三者的關(guān)系表，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？角三者的關(guān)系表，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3344556677nn681012142n 連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段叫做多邊連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn)形的對(duì)角線(xiàn). 線(xiàn)段線(xiàn)段AC是四邊形是四邊形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)；的一條對(duì)角線(xiàn)；多邊形的對(duì)角線(xiàn)用虛線(xiàn)表示多邊形的對(duì)角線(xiàn)用虛線(xiàn)表示.請(qǐng)大家思考：五邊形請(qǐng)大家思考：五邊形ABCDE共共有幾條對(duì)角線(xiàn)有幾條對(duì)角線(xiàn)呢？呢？五邊形五邊形ABCDE共共有有5 5條對(duì)角線(xiàn)條對(duì)角線(xiàn).請(qǐng)大家思考：六邊形請(qǐng)大家思考：六邊形ABCDEF共共有幾條對(duì)角線(xiàn)有幾條對(duì)角線(xiàn)呢？呢？六邊形六邊形ABCDEF共共有有

5、9 9條對(duì)角線(xiàn)條對(duì)角線(xiàn).有沒(méi)有什么有沒(méi)有什么規(guī)律呢？規(guī)律呢？請(qǐng)問(wèn)：請(qǐng)問(wèn)：四四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線(xiàn)？邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線(xiàn)？請(qǐng)問(wèn)：請(qǐng)問(wèn)：五五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線(xiàn)？邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線(xiàn)？請(qǐng)問(wèn)：請(qǐng)問(wèn)：六六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線(xiàn)？邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線(xiàn)？請(qǐng)問(wèn)：請(qǐng)問(wèn)：N邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)？ 123N-3 我們已經(jīng)知道一個(gè)我們已經(jīng)知道一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180，那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢？五邊形、六邊形呢？那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢？五邊形

6、、六邊形呢？由此，由此，n邊形的內(nèi)角和等于多少呢？邊形的內(nèi)角和等于多少呢？我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思想什么？基本思想什么？化未知為已知化未知為已知 那么我們能不能利用三那么我們能不能利用三角形的角形的內(nèi)角和，來(lái)求出四內(nèi)角和，來(lái)求出四邊形的內(nèi)角和，以及五邊邊形的內(nèi)角和，以及五邊形、六邊形，形、六邊形，n邊形的內(nèi)邊形的內(nèi)角和？角和？ 請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過(guò)怎樣的方法把多邊形請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過(guò)怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為三角形？三角形？345n-2540 720 900 180 (n-2)1.從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā) 請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過(guò)怎樣的方法把多邊形請(qǐng)你認(rèn)真地想

7、一想，你能通過(guò)怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為三角形？三角形？23456n-1180 36 0 540 720 900 180 (n-1)-180 2.從邊上的一個(gè)點(diǎn)出發(fā)從邊上的一個(gè)點(diǎn)出發(fā) 請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過(guò)怎樣的方法把多邊形請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過(guò)怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形？為三角形？34567n180 360 540 720 900 180 n-3603.從多邊形內(nèi)一個(gè)點(diǎn)出發(fā)從多邊形內(nèi)一個(gè)點(diǎn)出發(fā) 請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過(guò)怎樣的方法把多邊形請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過(guò)怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形？為三角形？180 n- 36 0 = 180 n- 2X180 = 180

8、 (n-2)4.從多邊形外一個(gè)點(diǎn)出發(fā)從多邊形外一個(gè)點(diǎn)出發(fā)由此，我們就可以得出 : n邊形的內(nèi)角和為邊形的內(nèi)角和為_(kāi)(n-2) 180 它有什么作用它有什么作用呢呢?1.知道多邊形的邊數(shù)知道多邊形的邊數(shù),可以求出多邊形的度數(shù)可以求出多邊形的度數(shù).2.知道多邊形的度數(shù)知道多邊形的度數(shù),可以求出多邊形的邊數(shù)可以求出多邊形的邊數(shù).練習(xí)1 已知多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為900，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi).解:（n2）180 = 900 （n2）= 900 /180 （n2） = 5 n= 5 +2 n=77哇哇!這么簡(jiǎn)單呀這么簡(jiǎn)單呀! 練習(xí)2 已知在一個(gè)十邊形中，九個(gè)內(nèi)角已知在一個(gè)十邊形中，九個(gè)內(nèi)角的和的度數(shù)是

9、的和的度數(shù)是1290，求這個(gè)十邊形的另，求這個(gè)十邊形的另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)一個(gè)內(nèi)角的度數(shù).解解: : （10102 2）180180 =1440 =1440 , ,則十邊形的另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為則十邊形的另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1440 1440 - 1290- 1290 =150 =150 .先求出十邊形的內(nèi)角和先求出十邊形的內(nèi)角和,再減再減去去1290,就可以得出就可以得出. 前面我們學(xué)習(xí)了三角形的外角和是前面我們學(xué)習(xí)了三角形的外角和是360 ，當(dāng)時(shí)是怎樣研究出來(lái)的？當(dāng)時(shí)是怎樣研究出來(lái)的？ABCDEF1.先把三角形的三個(gè)外角和三個(gè)先把三角形的三個(gè)外角和三個(gè)內(nèi)角這六個(gè)角內(nèi)角這六個(gè)角的和求出來(lái)，剛好是三個(gè)

10、平角。的和求出來(lái)，剛好是三個(gè)平角。2.再用這六個(gè)角的和減去三個(gè)內(nèi)角的和，剩下再用這六個(gè)角的和減去三個(gè)內(nèi)角的和，剩下的就是三角形的外角和了！的就是三角形的外角和了！圖 8.3.6 那么你能研究出四邊形的外角和嗎？那么你能研究出四邊形的外角和嗎？整體思路：1.先求4個(gè)外角+4個(gè)內(nèi)角的和；內(nèi)角的和；2.再減去再減去4個(gè)內(nèi)角的和個(gè)內(nèi)角的和容易看出，容易看出，4個(gè)外角個(gè)外角+4個(gè)個(gè)內(nèi)角內(nèi)角=4個(gè)平角，個(gè)平角，而而4個(gè)個(gè)內(nèi)角的和是內(nèi)角的和是360 ，那么那么四邊形的外角和四邊形的外角和就是就是4X 180-360= 360.那么五邊形，六邊形，那么五邊形，六邊形，n邊形的外角和嗎？邊形的外角和嗎？五邊形的

11、外角和五邊形的外角和就是就是5X 180-540= 360 六邊形的外角和六邊形的外角和就是就是6X 180-720= 360。n邊形的外角和邊形的外角和就是就是nX 180- (n-2)X 180 = (n-n+2)X 180 = 360 任意多邊任意多邊形的外角形的外角和都為和都為360 三角形如果三條邊都相等，三個(gè)角也都相等，那么這三角形如果三條邊都相等，三個(gè)角也都相等，那么這樣的三角形就叫做樣的三角形就叫做正正三角形三角形.多邊形中，如果各條多邊形中，如果各條邊邊都相等，各個(gè)內(nèi)都相等，各個(gè)內(nèi)角角都相等，都相等，這樣的多邊形叫做這樣的多邊形叫做正多邊形正多邊形. .如正三角形、正四邊形如

12、正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形等等（正方形）、正五邊形等等 . .正三角形正三角形正四邊形正四邊形正五邊形正五邊形正六邊形正六邊形正八邊形正八邊形(或正三邊形或正三邊形)(或正四邊形或正四邊形)因?yàn)檎噙呅蔚拿總€(gè)角相等因?yàn)檎噙呅蔚拿總€(gè)角相等,所以知道所以知道正多邊形的邊數(shù)正多邊形的邊數(shù),就可以求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)就可以求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù).（n2）180/ n例 求正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)解解:正六邊形的內(nèi)角和為正六邊形的內(nèi)角和為（n2）180=（62）180=720,因而每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為因而每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為7206=120 .分析分析: n邊形的內(nèi)角和公式為邊形的內(nèi)角和公式為(n-2) 180 ,現(xiàn)在知道這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，代入這個(gè)公式現(xiàn)在知道這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，代入這個(gè)公式既可求出既可求出.老師老師,可以用計(jì)算器嗎可以用計(jì)算器嗎?練習(xí)練習(xí)3 正五邊形的每一個(gè)正五邊形的每一個(gè)內(nèi)內(nèi)角等于角等于_,外角等于外角等于_.解解: （n2）180/ n= （5