153-4定積分的概念

1、定積分的概念定積分的概念探究（一）：定積分的有關(guān)概念與表示探究（一）：定積分的有關(guān)概念與表示 思考思考1 1：對(duì)于由直線(xiàn)：對(duì)于由直線(xiàn)x xa a，x xb(ab(ab)b)，y y0 0和曲線(xiàn)和曲線(xiàn)y yf(xf(x) )所圍成的曲邊梯形的所圍成的曲邊梯形的面積面積S S，可以歸結(jié)為一個(gè)什么形式的和的，可以歸結(jié)為一個(gè)什么形式的和的極限？極限？ 1l i m( )ninibaSfnx xy ya ab by yf(xf(x) )Oi思考思考2 2：對(duì)于做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體，若：對(duì)于做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體，若速度函數(shù)為速度函數(shù)為vv(t(t) )，則物體在，則物體在attb時(shí)段內(nèi)行駛的路程時(shí)段內(nèi)行駛

2、的路程s，可以歸結(jié)為一個(gè)什，可以歸結(jié)為一個(gè)什么形式的和的極限？么形式的和的極限？1l i m( )ninibasvnt tvabvv(t(t) )Oi思考思考3 3：一般地，如果函數(shù)：一般地，如果函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 a，b 上連續(xù)，用分點(diǎn)上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0 0 x1 1x2 2xixn nb將區(qū)將區(qū)間間 a，b 等分成等分成n n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間間 xi i1 1，xi i(i(i1 1，2,2,，n)n)上任取一上任取一點(diǎn)點(diǎn) 作和式作和式 ，那么，那么當(dāng)當(dāng)nn時(shí)，時(shí)，S Sn n的極限是否一定存在？的極限是否一定存在？i1l i m( )ninib

3、aSfn一定存在一定存在思考思考4 4：數(shù)學(xué)上，把：數(shù)學(xué)上，把 叫叫做函數(shù)做函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a，b 上的定積分，上的定積分，記作記作 ，即即1l i m( )ninibafn( )baf x dx1( )l i m( )nbinaibaf x dxfn 其中其中 -積分號(hào)積分號(hào) a-積分下限積分下限 b-積分上限積分上限 區(qū)間區(qū)間 a，b -積分區(qū)間積分區(qū)間 函數(shù)函數(shù)f( (x) ) -被積函數(shù)被積函數(shù) x-積分變量積分變量 f( (x) )dx-被積式被積式( )baf x dx二、定積分的幾何意義：二、定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (

4、x)dxf (x)dx。 特別地，當(dāng) ab 時(shí)，有baf (x)dx0。 由連續(xù)曲線(xiàn)由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x) ( (f(x) 0) 0) ，直，直 線(xiàn)線(xiàn)x=a、x=b及及x軸所圍成的曲邊梯軸所圍成的曲邊梯 形的面積形的面積. . 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時(shí)，由時(shí)，由y f (x)、x a、x b 與與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yOdxxfSba)(ab y f (x) y f (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S表示上述曲邊梯形面積的相反數(shù)。表示上述曲邊梯形面積的相反數(shù)。二、定積分的幾何意義：二、定積分的幾何

5、意義：( )baf x dx ( ( ) )b ba af f x x d dx xS S ( ( ) )b ba af f x x d dx xS S 積積分分在在幾幾何何上上ab yf (x)Ox y( )yg x探究探究:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用如何用定積分表示圖中陰影部分的面積定積分表示圖中陰影部分的面積?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaSSSf x dxg x dx2( )baSg x dx三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x( g)x( fba babadx)x( g

6、dx)x( f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf badx)x(fk三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3: 3: 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (x)1 例例1：利用定積分的定義：利用定積分的定義,計(jì)算計(jì)算 的值的值. 130 x d i m( )l i m111l i m(1)44nnnniinix dxinnnn= =+=邋1.bbaadxdxba ( )( ).baa

7、bf x dxf x dx 性質(zhì)4：性質(zhì)5：性質(zhì)6：( )0.aaf x dx 思考思考4 4：02rxdx？22sin xdx ？1201x dx ？2r / 4 0則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba （2）設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，（3） 例例2 2 計(jì)算計(jì)算 的值的值. . 320(23)xxdx-+x xy yO O3 33 3320(23)

8、l i m9nnxxdxS-+= 例例3 3 計(jì)算計(jì)算 的值的值. .1201(1)(1)x dxxdx-+-蝌x xy yO O2 21 120(1)?x dx-= 例例4 4 一質(zhì)點(diǎn)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度一質(zhì)點(diǎn)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度 （單位：（單位：m/sm/s），），求質(zhì)點(diǎn)在求質(zhì)點(diǎn)在0st13s0st13s時(shí)段內(nèi)行駛的路程時(shí)段內(nèi)行駛的路程. . 22 (03)()18(37)339(713)ttv tttt=-+ x xy yO O3 318187 71313s s144m 144m 將和式的極限表示成定積分112limcoscoscoscosxnnnnnnn112lim0aaaaxnan111

9、lim122xnnn01cosxdx10ax dx1011dxx復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): :定積分的基本運(yùn)算性質(zhì)：定積分的基本運(yùn)算性質(zhì)：( )( )bbaakf x dxkf x dx=蝌(1)(1) ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf xdxg xdx=蝌(2)(2)( )( )( )cbbacaf x dxf x dxf x dx+=蝌（3 3）2.2.直接用定積分的定義計(jì)算的值是很煩直接用定積分的定義計(jì)算的值是很煩瑣的，有些定積分幾乎不能直接用定義瑣的，有些定積分幾乎不能直接用定義計(jì)算，因此尋求一個(gè)簡(jiǎn)便、有效的計(jì)算計(jì)算，因此尋求一個(gè)簡(jiǎn)便、有效的計(jì)算原理求定積分的值，就成為一個(gè)迫切

10、需原理求定積分的值，就成為一個(gè)迫切需要解決的問(wèn)題要解決的問(wèn)題. .3.3.我們已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算方我們已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算方法，如果能建立導(dǎo)數(shù)與定積分的內(nèi)在聯(lián)法，如果能建立導(dǎo)數(shù)與定積分的內(nèi)在聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求定積分，那是非常理系，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求定積分，那是非常理想和美妙的想和美妙的. .探究（一）：探究（一）：物體位移的幾種算法物體位移的幾種算法 思考思考1 1：一個(gè)作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體的位一個(gè)作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體的位移移y與時(shí)間與時(shí)間t t的函數(shù)關(guān)系為的函數(shù)關(guān)系為yy(t(t) )，那么，那么它在時(shí)間段它在時(shí)間段a，b內(nèi)的位移內(nèi)的位移s等于什么？等于什么？sy(b)y(a). 思

11、考思考2 2：設(shè)物體的速度設(shè)物體的速度v與時(shí)間與時(shí)間t t的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān)系為系為vv(t)，那么它在時(shí)間段，那么它在時(shí)間段a，b內(nèi)的內(nèi)的位移位移s用定積分怎樣表示？用定積分怎樣表示？ ( )basv tdt=思考思考3 3：物體在時(shí)刻物體在時(shí)刻t t的速度的速度v(t(t) )與位移與位移y(t(t) )的關(guān)系是什么？的關(guān)系是什么？v(t(t) )y(t(t).).思考思考4 4：綜上分析，物體在時(shí)間段綜上分析，物體在時(shí)間段a，b內(nèi)的位移內(nèi)的位移s有哪些表示式？有哪些表示式？ ( )( )( )( )bbaasv tdty tdty by a=-蝌思考思考5 5：在下圖中，如何理解物體在時(shí)間

12、在下圖中，如何理解物體在時(shí)間段段a，b內(nèi)的位移內(nèi)的位移 ？ ( )basy tdt=ab tysyy(t(t) )11l i m()()nbinaibasy ty tdtn-=-=探究（二）：探究（二）：微積分基本定理微積分基本定理 思考思考1 1：我們?cè)蟮靡运俣任覀冊(cè)蟮靡运俣葀(t)t t22 2作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)，在作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)，在0t10t1時(shí)段時(shí)段內(nèi)行駛的路程為定積分內(nèi)行駛的路程為定積分 ,若利用上述原理求定積分若利用上述原理求定積分 的的值，如何計(jì)算？值，如何計(jì)算？ 1205(2)3tdt-+=120(2)tdt-+11230031(2)(2 )315121033tdt

13、tt dt-+=-+= -+-=蝌思考思考2 2：一般地，如果一般地，如果f( (x) )是區(qū)間是區(qū)間a，b 上的連續(xù)函數(shù)，并且上的連續(xù)函數(shù)，并且 ，那么那么 等于什么？等于什么？ ( )( )Fxf x=( )baf x dx( )( )( )baf x dxF bF a=-定積分定積分叫做叫做微積分基本定理微積分基本定理，又叫做，又叫做牛頓萊牛頓萊布尼茲公式布尼茲公式，為了方便，我們常把，為了方便，我們常把F(F(b) )F(F(a) )記成記成 .那么用微積分基本定那么用微積分基本定理計(jì)算定積分理計(jì)算定積分 的關(guān)鍵是什么？的關(guān)鍵是什么？ ( )( )( )( )bbaaf x dxFx

14、dxF bF a=-蝌( )|baF x( )baf x dx找到滿(mǎn)足找到滿(mǎn)足 的函數(shù)的函數(shù)F(F(x) ). ( )( )Fxf x=思考思考5 5：對(duì)給定的函數(shù)對(duì)給定的函數(shù)f( (x) )，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足 的函數(shù)的函數(shù)F(F(x) )是不惟一的，是不惟一的，不同的不同的F(F(x) )有什么差別？對(duì)定積分有什么差別？對(duì)定積分 的值是否有影響？的值是否有影響？( )( )Fxf x=( )baf x dx若若 ，則，則 . . 12( )( )FxFx=12( )( )F xF xc=+沒(méi)有影響沒(méi)有影響!理論遷移理論遷移 例例1 1 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分： （1 1） ；（；（2 2）

15、 . . 211dxx3211(2)xdxx-22111l n|l n2dxxx=3231211122(2)()|3xdxxxx-=+= 1. 1.微積分基本定理是微積分中最重要、微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果，它揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分最輝煌的成果，它揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效辦法定積分的一種有效辦法. .小結(jié)小結(jié) 2. 2.尋找滿(mǎn)足尋找滿(mǎn)足 的函數(shù)的函數(shù)F F( (x) )，一般運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公，一般運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，從反方向上式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，從反方向上求出求出

16、F F( (x) ). .( )( )Fxf x= 例例2 2 計(jì)算下列定積分，利用曲邊梯形計(jì)算下列定積分，利用曲邊梯形的面積，你能從計(jì)算結(jié)果中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)的面積，你能從計(jì)算結(jié)果中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？論嗎？（1 1） ；（；（2 2） ；（3 3） . . 0si nxdxp2si nxdxpp20si nxdxp2 22 20 0 xyO O2 20si n2xdxp=2si n2xdxpp= -20si n0 xdxp=0si nxdxp2si nxdxpp20si nxdxp【結(jié)論【結(jié)論】（1 1）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x x軸軸上方時(shí)，定積分的值為正數(shù)，且等于

17、曲上方時(shí)，定積分的值為正數(shù)，且等于曲邊梯形的面積；邊梯形的面積；（2 2）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x x軸軸下方時(shí)，定積分的值為負(fù)數(shù)，且等于曲下方時(shí)，定積分的值為負(fù)數(shù)，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；邊梯形的面積的相反數(shù)；（3 3）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于）當(dāng)定積分對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x x軸軸上方部分的面積與位于上方部分的面積與位于x x軸下方部分的面軸下方部分的面積相等時(shí)，定積分的值為零積相等時(shí)，定積分的值為零. .（4 4）若若f( (x) )為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 ；( )0aaf x dx-=0( )2( )aaaf x dxf x dx-=蝌（5 5）若若f( (x) )為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 ， 其中其中a0 0為常數(shù)為常數(shù). ( )0aaf x dx-= 例例3 3 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：2211xdxx-（1 1） ； 941(1)xdxx+320|1 |xdx-44412xxdx-+（2 2）