1819階段復(fù)習(xí)課三角恒等變換

1、第三課三角恒等變換核心速填(教師用書獨具)1 . C(a±®cos (a±®= cos_o(cos g?sin ain 32. S(a±®sin (= sin_ocos_ 辻os_o6in一33. T(a±®,亠 tan a±an 3tan (o±®=.1?tan otan 34. 二倍角公式(1)S2 a：sin 2a= 2sin acos a.C2 a：cos 2ca cos a sin(3)1 ±n 2 a (sin acos o),Sin a±cos a7.

2、 輔助角公式22f(x) = asin x+ bcos x= a + b sin(x+Q.體系構(gòu)建題型探究 a 2cos a 1 = 1 2sin2 a-2ta n a(3)T2 a：tan 2aa 丄 2 .1 tan a5.半角公式1 cos a sin a sin a 1 + cos aa(性：a(2) C2：a(3) T2：6. 有關(guān)公式的逆用及變形 (1)tan a±an 3tan (a±®(1?tan otan 3.2(2)cos a=1 + COS 2a2sin a=1 COS 2a2 -給值求值問題給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，

3、解題的關(guān)鍵在于“變角”.使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：將待求式用已知 三角函數(shù)表示.將已知條件轉(zhuǎn)化而推出可用的結(jié)論. 其中“湊角法”是解決此 類問題的常用技巧.解題時首先是分析已知式與待求式之間角、函數(shù)、結(jié)構(gòu)間的 差異，有目的的將已知式、待求式的一方或兩方加以變換，找出它們之間的聯(lián)系， 最后求出待求式的值.例已知口 3n< a< n tan a+r-=乎.4'tan -3(1)求 tan -的值；5sin2求a c-2+ 8sin qcos-一2-小2+ 11cos 2 82sin的值.【導(dǎo)學(xué)號：79402144】思路探究(1)結(jié)合-的取值范圍，求解tan -

4、的值；(2)利用降幕公式和誘導(dǎo)公式先統(tǒng)一角，通過三角變換轉(zhuǎn)化成關(guān)于 tan -的式子代入求值即可.解由 tan -+z" = 10,得 3tan2 a+ 10tan -+ 3 = 0,即 tan -= 3 或 tan -tan 31=3.3 n1又丁< -<n 所以 tan -= $.1 cos -1 + cos -5 X + 4si n + 11 X 82cos -原式=5 5cos + 8sin + 11 + 11cos 162 2cos 5V26.2cos 24sin + 3cos 4ta n + 3跟蹤訓(xùn)練i'3 n5 in3 廠n 3 n 亠“ +1 .

5、已知 sin + = 13，cos4 B = 5，且 0< <4< 阻壬，求 cos(+ 3的值.【導(dǎo)學(xué)號：79402145】n 3 n解TOVaV 4VBV4，3 n 3 nn n<才 +aVn, - 2<4- 3< 0.5a 13,p=3, 丿5, cos芋+a = <4丿12又sin.n4cos(a+ ® = sin三角函數(shù)式的化簡與證明sin4*-5.+Ij3 n、 (n 、53B cos-4 + a sin 4- B=新 5 -三角函數(shù)式的化簡是三角變換應(yīng)用的一個重要方面， 其基本思想方法是統(tǒng) 角、統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱在具體實施過程中

6、，應(yīng)著重抓住“角”的統(tǒng)一通過 觀察角、函數(shù)名、項的次數(shù)等，找到突破口，利用切化弦、升幕、降幕、逆用公 式等手段將其化簡.三角函數(shù)式的證明實質(zhì)上也是化簡，是有方向目標(biāo)的化簡；根本原則：由繁到簡, 消除兩端差異，達(dá)到證明目的.卜例證明:1 + sin 2 0 cos 20=tan 01 + sin 2 0+ cos 29" 思路探究可從左邊向右邊證明，先把角由 20向0轉(zhuǎn)化，再實現(xiàn)函數(shù)名稱向 tan 0轉(zhuǎn)化.sin 2 0+( 1 cos 20解左邊=sin 2 0+( 1 + cos 2022sin 0cos 0+ 2sin 0 sin 0cos 0+ sin 0=2 =2sin 0c

7、os 0+ 2cos 0 cos 0cos 0+ sin 0=tan 0=右邊.跟蹤訓(xùn)練2.求證:3x x ta n 2 tan2s in xcos x+ cos 2x證明2s in xcos x+ cos 2xi3x2sin 23xcos22 + cos3x+2 2sin3xx3xx) 3x2 3x x 3x乂tan 2 tan 2.cos "2 cos 23x x2cos 2cos 22 sin ycos 2 cos gsin 2sin 三角恒等變形的綜合應(yīng)用與三角恒等變形有關(guān)的綜合問題一般有以下兩種類型：以三角恒等變形為主要的化簡手段，考查三角函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)給出的三角函 數(shù)關(guān)系

8、式較為復(fù)雜，我們要先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡， 將函數(shù)表達(dá)式變形為y= Asin(3x+©)+ k或y=Acos(3汁©)+ k等形式，然后再 根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì).以向量運算為載體，考查三角恒等變形.這類問題往往利用向量的知識和公 式，通過向量的運算，將向量條件轉(zhuǎn)化為三角條件，然后通過三角變換解決問題； 有時還從三角與向量的關(guān)聯(lián)點處設(shè)置問題，把三角函數(shù)中的角與向量的夾角統(tǒng)一 為一類問題考查.例 已知向量 a= (1， , 3)，b= (sin x，cos x)，f(x) = a b.2 0 .2cos 2 sin 0 1(1)若f(2

9、 0,求 2 丁的值；2sin 0+ 4當(dāng)x 0，n時，求函數(shù)f(x)的值域.2 02cos 2 sin 0 1思路探究 可先由f(0)= 0求tan 0,再化簡/n 后，由tan 0值V2sin ：0+ 4/代入求值;(2)先化簡成f(x) = Asinx+妨的形式，再據(jù)x范圍求3汁©范圍，進而求得f(x)的值域.解(1)； a= (1， 3), b= (sin x, cos x), f(x)= a b= sin x 3cos x,I f(9= 0,即 sin 0 3cos 0= 0, tan 0= 3,2 .2cos 2 sin 0 1cos 0 sin 0sin 0+ cos

10、01 tan 0tan 0+ 11 33+ 1=2+ . 3.(2)f(x) = sin x.3cos x= 2sin xI x 0 , n,x-補2n當(dāng)x3=扌，即x= 0時，取最小值一Q3,當(dāng)x 3= n即x= 52時，取最大值2,當(dāng)x 0, n時，函數(shù)f(x)的值域為.3, 2.1,且A為銳角.跟蹤訓(xùn)練3.已知向量 m= (sin A, cos A), n = ( .3, 1),且 m n =(1) 求角A的大小；(2) 求函數(shù) f(x) = cos 2x + 4cos Asin x(x R)的值域.解 由題意得 mn= ,3sin A cos A= 1,(n ( n 1 2si n A

11、6 = 1, si nA 6 = 2.n nn由A為銳角得A 6= 6， A= 3.1由知cos A= 2，2所以 f(x) = cos 2x+ 2sin x= 1 2sin x+ 2sin x=2 sin x123-2因為x R,所以sin x 1,1,因此,13當(dāng)sin x= 2時，f(x)有最大值2，當(dāng)sin x= 1時，f(x)有最小值一3,所以所求函數(shù)f(x)的值域為卜3, 2.轉(zhuǎn)化與化歸的思想三角式的恒等變換是解三角函數(shù)問題的方法基礎(chǔ)，所謂三角式的恒等變換， 就是運用有關(guān)概念和公式把給定的三角式化為另一等價形式.轉(zhuǎn)化與化歸的思想 是三角恒等變換應(yīng)用最廣泛的，也是最基本的數(shù)學(xué)思想，它

12、貫穿于三角恒等變換 的始終，要認(rèn)真體會理解，在解題過程中學(xué)會靈活應(yīng)用.已知 sin a 2 = 4，cos 2 B= 13，且 a 2和2 B分別為第二、第象限角，求tan 2也卩的值.思路探究先根據(jù)aaa+ B2B的范圍求得其正、余弦再求正切值，最后由二-a 2 a B求解解T sin aa 2為第二象限角,a 2 =又 cos a1sin2a- 2 =-5.B =珞，且2 B為第三象限角,二 tana弘-3 tanG-肩令,_513.(a2 fa-sin 2 B=1 c°s 2 B=- tanp=tantan aB-tan 亍3 1263跟蹤訓(xùn)練1 + tan aa 45B 13X乜16-4.已知 sin a COS a=¥, a 0,J, Sin求Sin a和COS a的值;求COS a【導(dǎo)學(xué)號:79402146】2 1解 由題意得(sin a- cos 0)