2013考研數(shù)三真題及解析

1、2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）當(dāng)x > 0時，用o（x）表示比x高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是（）(A) x o(x2) =O(X3)23(B) O(x) O(x ) =O(X )(C) o(x2) o(x2) =o(x2)(D) O(x) O(X2) =O(X2)（2）函數(shù)f (x)=x(x 1)ln |x|的可去間斷點(diǎn)的個數(shù)為（A）0（B）1（C）2（D）3（3）設(shè) Dk是圓域 D =（x,y）|x2 y1位于第 k 象限的部

2、分，記 I （x）dxdy k=1,2,3,4 ，Dk則（）（A ） I10(B)I20(C)I30(D)I40（4）設(shè)an為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是（）oO（A ）若 an an 1,則二（T）n'an 收斂n =1QO（B）若7 （-1）心務(wù)收斂，則an an1n ±(C)若a an收斂，則存在常數(shù)n 4P 1,使 lim nPan 存在(D)若存在常數(shù)P 1，使lim nPan存在，則an收斂Yn 二(5)設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若 AB二C,則B可逆，則*1 a 2 0(6)矩陣aba與0 bJ a b£ 0(A) 矩陣C的行向量組與矩陣(B) 矩陣

3、C的列向量組與矩陣(C) 矩陣C的行向量組與矩陣(D) 矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價A的列向量組等價B的行向量組等價B的列向量組等價0、0相似的充分必要條件為°(A) a=O,b =2(B) a =0, b為任意常數(shù)(C) a=2,b=0(D) a =2,b為任意常數(shù) N(5,32),(7)設(shè) Xi, X2, X3是隨機(jī)變量，且 XiN(0,1), X2N(0,22)，Pj 二 P-2 沐)空2(j =1,2,3),則()(a) P>P2F3(B) P2 ar aF3(C) /P >F2(D) P ar >F2(8)設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立，則X和Y的概

4、率分布分別為,X0123YTi1P121418q8P131313則 PX Y =2=()(A)(B)(C)(D)112181612二、 填空題：9_14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙.指定位置上.、2、' n（9）設(shè)曲線y=f（x）和v=x x在點(diǎn)（0,1）處有公共的切線，則lim nf i =。Y in十2丿（10）設(shè)函數(shù) z = z（x, y）由方程（z+ y）x = xy確定，則 （12） =。cXIn x（11） 求x 2dx。1（1+x）21（12）微分方程y -y y = 0通解為y二。4（13）設(shè)A二厲）是三階非零矩陣，| A |為A的行列式，Aj為aj的

5、代數(shù)余子式，若aj Aj =0（i,j =1,2,3）,則 A 二（14） 設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 XN（0,1），則E（Xe2X） =。三、 解答題：15 23小題，共94分.請將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或 演算步驟.（15）（本題滿分10分）當(dāng)X 0時，1 -cosx cos2x cos3x與axn為等價無窮小，求 n與a的值。（16）（本題滿分10分）1設(shè)D是由曲線y=x3，直線x=a（a 0）及x軸所圍成的平面圖形，VV分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若 Vy = 10Vx，求a的值。（17）（本題滿分10分）設(shè)平面內(nèi)區(qū)域 D由直線x

6、 = 3y, y=3x及x y =8圍成計(jì)算i i x2dxdy。D（18）（本題滿分10分）設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價格函數(shù)為P =60 ,（ p是單價，單位：1000元，Q是銷量，單位：件），已知產(chǎn)銷平衡，求：（1）該商品的邊際利潤。(2) 當(dāng)P=50時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。(3) 使得利潤最大的定價 P。(19) (本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在0, ：上可導(dǎo)，f(0) =0且lim f(x)=2，證明(1)存在 a . 0 ,使得 f (a) =11(2)對(1)中的 a，存在：；：=(0, a),使得 f'( J .a(20) (本

7、題滿分11分)f1a)(0 1設(shè)A=,B=，當(dāng)a,b為何值時，存在矩陣 C使得AC-CA=B，并求所有矩陣C 。J 0丿J b丿(21) (本題滿分11分)(II )若:正交且均為單位向量，證明二次型f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型 2yf y。(22) (本題滿分11分)設(shè)X,丫是二維隨機(jī)變量，X的邊緣概率密度為3x2, O x： 1,fx0,其他.，在給定x0*1 的條件下，丫的條件概率密度fYX yx = x3I 0,0 ： y ： x,其他.(1) 求X,Y的概率密度f x,y ；(2)丫的邊緣概率密度fY y .(23)(本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為exf (x )才 X30,

8、X 0,其中二為未知參數(shù)且大于零, 其它.X1,X2, Xn為來自總體2 2設(shè)二次型f (捲兀兀)=2佝捲+a?X2 +a3X3)十人+dx2 "3X3 )，記a =a2,P =b2(I)證明二次型f對應(yīng)的矩陣為2：二i '；X的簡單隨機(jī)樣本.(1) 求二的矩估計(jì)量；(2) 求二的最大似然估計(jì)量2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題答案、選擇題:18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中,項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)Xr 0時，用O(X)表示比X高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是(A) x O(X2) =O(X3)

9、23(B) O(X)O(X ) =O(X )(C) o(x2) o(x2) =O(X2)(D) O(X) O(X2) =O(X2)【答案】D【解析】O(x) O(X2) =O(X)，故D錯誤。(2)函數(shù)f (x)二x(x 1)ln |x|的可去間斷點(diǎn)的個數(shù)為(A) 0(B) 1(C) 2(D)3【答案】C【解析】由題意可知f (x)的間斷點(diǎn)為0, -1。又lim f (x)xj 二 limx-0Xx -1x(x 1)ln x 一呵:xln xe -1x(x 1)ln Xxl nx二 lim x-0 x(x 1)ln x=1(x) -1lim f (x)二 limx 0一 x 0 x(x 1)l

10、n( -x)xln( -x)e -1=limx-Q x(x 1)ln( -x)lim Xln( x)x0 x(x 1)ln( -x)=1xX 1 lim f (x) = lim 一limx1 x(x 1)ln xx-1xln xe -1limx(x 1)ln x x 1xln xx(x 1)ln x<imx Q x(x 1)ln(-x)(_x)x _1eXZ!im1f(X)=呵1 x(x 1)ln(-x)=艸1 x(x 1)ln(-x)故f(X)的可去間斷點(diǎn)有2個。(3)設(shè) Dk是圓域 D -(x,y)|x2 y < 1位于第 k象限的部分，記 * 二.(y-x)dxdy k=1,

11、2,3,4 ,Dk則()(A ) Ii 0(B) I2 0(C) I30(D) I4 0【答案】B【解析】令x = r cos二y = r sin v，則有=.(y -Dk1x) dxdy0rd( sin -of1co s 寸)=d-(尢os 二 si n )3aTT2故當(dāng)k=2時，"尹”，此時有I3>0.故正確答案選B。(4) 設(shè)an為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是()0(A) 若 an an 1,則二(-1)nan 收斂n £(B) 若7 (-1)nan 收斂，則 an - an 1n -1QOP 1,使 lim nPan存在n-C(C)若7 an收斂，則存在常數(shù)(D

12、)若存在常數(shù)n生P 1，使lim nPan存在，則an收斂Yn#【答案】D【解析】根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法，當(dāng)qQP 1時，V丄收斂n# nP: :1，且/"存在，則j與池同(5)設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若 AB二C，且C可逆，則()(A )矩陣C的行向量組與矩陣 A的行向量組等價(B)矩陣C的列向量組與矩陣 A的列向量組等價(C) 矩陣C的行向量組與矩陣 B的行向量組等價(D) 矩陣C的行向量組與矩陣 B的列向量組等價 【答案】(B)，從而【解析】由C =AB可知C的列向量組可以由 A的列向量組線性表示，又 B可逆，故有 A=CBB )。A的列向量組也可以由 C的列向量組線性

13、表示，故根據(jù)向量組等價的定義可知正確選項(xiàng)為(B)= 0,b為任意常數(shù)(C)=2,b =0(D)= 2,b為任意常數(shù)【答案】(B)'1 a Pn a Paba為實(shí)對稱矩陣，故一定可以相似對角化，從而aba與J a 1丿J a 1丿0【解析】由于0b0011a的特征值為2,b,0。相似的充分必要條件為na1、200"(6)矩陣aba與0b0Jab<000>相似的充分必要條件為(A)= 0,b =2a -1-a-a -1 -b-a 二( -b)( -2)-2a2，從而 a=0,b為任意常數(shù)。-a 1(7)設(shè) X1, X2, X3是隨機(jī)變量，且 X1N(0,1), X2N

14、(0,22)，X3N(5,32),P 二 P-2 乞 Xj 乞 2(j =1,2,3),則()(a)r>p2aPj(B) /PP(C) /p 舉【答案】(A )【解析】由 X N 0,1 , X2 L N 0,22 , X3N 5,32 知，(A)12Pi =P一2 空 Xi 乞 2”.； = Pf Xi 空 2”.；=2門 2-1 ,P2 =P-2 蘭 X?蘭 2=P|X2 蘭 2 = 26 (11，故 p<i a p2.2由根據(jù)X3L N 5,3及概率密度的對稱性知，P1P2P3，故選(A)(8)設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立，則X和Y的概率分布分別為，X0123Y-101p121

15、418q8P131313則 PX Y =2 ()(D)(B)2【答案】(C)【解析】PX Y =2【；=pfx =1,Y =1 Pfx =2,Y =01 Pfx =3,Y=1，又根據(jù)題意 X,Y 獨(dú)立,故1pfx Y =2 PX =1?p 2 =1? PX =2?PY =0? PX =3?PY =，選(C).、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙 指定位置上.(9)設(shè)曲線 汁 f(x)和y =X2 -X在點(diǎn)(0,1)處有公共的切線，則【答案】-2【解析】y=x2-x在(1,0)處的導(dǎo)數(shù)是 y'(1) = 1，故 f'(1)=1, f(1) =0 ,nm

16、nf(市)Jim(10)設(shè)函數(shù) z = z(x,y)由方程(z+y)x=xy 確定，則 1(1,2)ex【答案】2一21 n2【解析】原式為exIn(z y) = xy,左右兩邊求導(dǎo)得：xyIn( z y) x乙=y,令x =1,y = 2 z + y得 z =0,Zx =2(1一1 n2)(11)求【答案】In 2【解析】In x1 、 Inx十燦)一 +dx_+In 亠1 x x(1 x)1 x 1 xIn x x+ln1 x1+x丿 V 1+xx +ln 1 x1(12)微分方程y" y y =0通解為y =4【答案】1xe2 C1xC2【解析】2 1 1特征方程為"

17、0,(二重根)，所以通解為y421X二 e2C1x C2(13 )設(shè)A = (aj)是三階非零矩陣，| A |為A的行列式,Aj為a.j的代數(shù)余子式，若ajAj= 0(i,j =1,2,3),則 A =【答案】【解析】-1由 aij + Aij 0可知，A = AA =aiA1 +a：2A2 +a：3A3 =a1jAj +a2jA2j +a3jA3j33=_、a” 二 _ i aij 叮 0j di :從而有A = At=-A2,故 A =-1.(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 XN(0,1)，則E(Xe2X) =【解析】由XL N 0,1及隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式知E Xe2X說 2xxe

18、x21 12 二 e 2dx 2二-bo xel24dx 二 2ennaxax2 1 2 2 1 2 2o(x )-(2x) o(x )-(3x) o(x )nnaxaxnax所以n(16)149且丄=1= a=72a 2a 2a(本題滿分10分)1=2設(shè)D是由曲線y = X3 ,直線x=a(a 0)及x軸所圍成的平面圖形， Vx,Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy =10Vx，求 a 的值。三、解答題：15 23小題，共94分.請將解答寫在答題紙.指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或 演算步驟.(15)(本題滿分10分) 當(dāng)X. 0時，1 cosx cos2x co

19、s3x與axn為等價無窮小，求 n與a的值。【解析】因?yàn)楫?dāng) Xr 0時，1 - cosx cos2x cos3x與axn為等價無窮小1 -cosx cos2x cos3x 所以limn1、ax又因?yàn)椋? -cosx cos2x cos3x=1cosx cosxcosx cos2x cosx cos2xcosx cos2x cos3x=1 -cosx cosx(1-cos2x) cosx cos2x(1-cos3x)即 HR 1 -cosx cos2x 心 寸口 1 cosx cosxd - cosb). cosx cos2x(1 - cosBx) xoaxx)0ax1 -cosx cosx(1

20、cos2x) cosx cos2x(1cos3x)=回 n +n+n)x 10ax1 2x2【解析】由題意可得:a 1 23Vx0(X3) dx=Ja1aVy =2二x x3dx =y 0所以空a7=10 3 二 aLam(17) (本題滿分10分)設(shè)平面內(nèi)區(qū)域 D由直線x =3y, y =3x及x y =8圍成.計(jì)算x2dxdy。D【解析】x2dxdy 二 x2dxdy 亠 iix2dxdyDDiD22 2 3x6 28 _x=x dx R dy + 2 x dx R dy33416_ 3(18) (本題滿分10分)一 一一Q設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000兀，可變成本為20兀/件，價格函數(shù)

21、為P =60,( p是單價，單位:1000元，Q是銷量，單位：件)，已知產(chǎn)銷平衡，求：(1) 該商品的邊際利潤。(2) 當(dāng)P=50時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。(3) 使得利潤最大的定價 P?！窘馕觥?I)設(shè)利潤為丨，則I =PQ -(20Q6000)= 40Q工1000-6000邊際利潤| ' =40 -500(II )當(dāng)P =50時，邊際利潤為20,經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng) P =50時，銷量每增加一個，利潤增加20eQ(III)令 I =0,得Q =20000,此時 P =60401000(19) (本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)f (x)在0,=上可導(dǎo)，f(0) =0且lim f(x)=2，

22、證明x_jbc(1) 存在 a 0 ,使得 f (a) =1(2) 對(1)中的a，存在：三(0, a),使得f I)=丄.a3【答案】(I)證明：Jim._f(x)=2,X,當(dāng)x X時，有f(x)f (x)在 0, X上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，存在a !.0,X 1，使得f (a) = 1(II) f (x)在0, a上連續(xù)且可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理,f(a) -f(0) = f()a =1/(0,a)，1故:;(0,a),使得 f()=a設(shè)A =(1aID 1、10,B =L1 b /當(dāng)a,b為何值時，存在矩陣【解析】C使得AC 一 CA二B，并求所有矩陣C 。由題意可知矩陣C為2階

23、矩陣，故可設(shè)C =x? + ax 0_ax1 1卜 x2 +ax4 =1(1)為X3 X4 =IX2axg = b廣0-1a0 0 f10-1-1-a10a 1-a10a>1 0-1-1 1 0 -1a01-a0 b,31_a0"0 -1-11 、0 1a01 + aT0 0 001 + ai0000 b 1 a由于方程組2 ，則由AC _CA = B可得線性方程組:1 廣10-1-11 、1T01_a01+a00-1a00b丿<01_a0b丿X4 /f0-1a0050-1-11、X1=& + k2 +1-a10a1T01100，故有x1,其中心k2任意.10-1

24、-1100000X3 = k1<01-a0b丿<00000丿1IX4 = k2從而有k+ k2 +1-k1Ck1k2.丿(21)(本題滿分11分)2 +(2*b3X3 )，記"=，zai'設(shè)二次型f(X1,X2,X3)=2 (a1X1+ a2X2 +a3X3biX1 +b2X2a2Jb2la31)有解，故有1 - a =0,b -1 -a =0 ,即卩a - -1,b =0,從而有(I)證明二次型 f對應(yīng)的矩陣為2：二'；(II )若,:正交且均為單位向量，證明二次型f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型2y； y?！敬鸢浮?1)2 2 2 2 2 2 2 2 2f =(2a +b ) x + (2a + b)>2+(2a+ b x (4a at 2b b) x « (41 as b b3) xi X3 ( 4 a2 a3 2 b2 ba 屜 xa' 2 a：也22a1ab1b22a1a<nb1t3 "/ 2a1aa2a1a3db2b則f的矩陣為2aa2 +db22af +b22a2a&l