運(yùn)籌學(xué)第十章 排隊(duì)論ppt課件

1、排隊(duì)論排隊(duì)論v引言v生滅過程和Poisson過程vM/M/s等待制排隊(duì)模型第一節(jié) 引言一、排隊(duì)系統(tǒng)的特征及排隊(duì)論排隊(duì)論(Queuing Theory)，又稱隨機(jī)效力系統(tǒng)實(shí)際(Random Service System Theory),是一門研討擁堵景象(排隊(duì)、等待)的科學(xué)。詳細(xì)地說，它是在研討各種排隊(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律性的根底上，處理相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制問題。排隊(duì)是我們?cè)谌粘Ｉ詈拖M(fèi)中經(jīng)常遇到的景象。例如，上、下班搭乘公共汽車；顧客到商店購(gòu)買物品；病員到醫(yī)院看病；旅客到售票處購(gòu)買車票；學(xué)生去食堂就餐等就經(jīng)常出現(xiàn)排隊(duì)和等待景象。除了上述有形的排隊(duì)之外，還有大量的所謂“無形排隊(duì)景象，如幾個(gè)

2、顧客打到出租汽車站要求派車，假設(shè)出租汽車站無足夠車輛、那么部分顧客只得在各自的要車處等待，他們分散在不同地方，卻構(gòu)成了一個(gè)無形隊(duì)列在等待派車。排隊(duì)的不一定是人，也可以是物：例如，通訊衛(wèi)星與地面假設(shè)干待傳送的信息；消費(fèi)線上的原料、半廢品等待加工；因缺點(diǎn)停頓運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器等待工人修繕；碼頭的船只等待裝卸貨物；要降落的飛機(jī)因跑道不空而在空中盤旋等等。顯然，上述各種問題雖互不一樣，但卻都有要求得到某種效力的人或物和提供效力的人或機(jī)構(gòu)。排隊(duì)論里把要求效力的對(duì)象統(tǒng)稱為“顧客,而把提供效力的人或機(jī)構(gòu)稱為“效力員或“效力機(jī)構(gòu)。實(shí)踐的排隊(duì)系統(tǒng)可以千差萬別，但都可以普通地描畫如下：顧客為了得到某種效力而到達(dá)系統(tǒng)、假設(shè)

3、不能立刻獲得效力而又允許排隊(duì)等待，那么參與等待隊(duì)伍，待獲得效力后分開系統(tǒng)，見圖10-1至10-4圖10-1 單效力臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)圖10-2 單隊(duì)列S個(gè)效力臺(tái)并聯(lián)的排隊(duì)系統(tǒng)圖10-3 S個(gè)隊(duì)列S個(gè)效力臺(tái)的并聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)圖10-4 單隊(duì)多個(gè)效力臺(tái)的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)類似地還可畫出許多其他方式的排隊(duì)系統(tǒng)，如串并混聯(lián)的系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)系統(tǒng)等雖然各種排隊(duì)系統(tǒng)的詳細(xì)方式不同，但都可以由圖10-5加以描畫圖10-5 隨機(jī)效力系統(tǒng)通常稱上圖表示的系統(tǒng)為一隨機(jī)聚散效力系統(tǒng)，任一排隊(duì)系統(tǒng)都是一個(gè)隨機(jī)聚散效力系統(tǒng)。這里，“聚表示顧客的到達(dá)，“散表示顧客的離去。所謂隨機(jī)性那么是排隊(duì)系統(tǒng)的一個(gè)普遍特點(diǎn)，是指顧客的到達(dá)情況(如相繼到達(dá)

4、時(shí)間間隔)與每個(gè)顧客接受效力的時(shí)間往往是事先無法確切知道的，或者說是隨機(jī)的。普通來說，排隊(duì)論所研討的排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客到來的時(shí)辰和效力臺(tái)提供效力的時(shí)間長(zhǎng)短都是隨機(jī)的，因此這樣的效力系統(tǒng)被稱為隨機(jī)效力系統(tǒng)小結(jié)排隊(duì)系統(tǒng)又稱隨機(jī)效力系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)又稱隨機(jī)效力系統(tǒng)有懇求效力的人或物；有懇求效力的人或物；有為顧客效力的人或物；有為顧客效力的人或物；顧客到達(dá)時(shí)間與接受效力時(shí)間是隨機(jī)的。顧客到達(dá)時(shí)間與接受效力時(shí)間是隨機(jī)的。構(gòu)造：構(gòu)造：顧客到達(dá)顧客到達(dá)-排隊(duì)排隊(duì)-效力機(jī)構(gòu)效力效力機(jī)構(gòu)效力-顧客離去顧客離去二、排隊(duì)系統(tǒng)的描畫實(shí)踐中的排隊(duì)系統(tǒng)各有不同，但概括起來都由三個(gè)根本部分組成：1輸入過程；輸入過程；2排隊(duì)及排隊(duì)

5、規(guī)那么排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)那么3效力機(jī)制效力機(jī)制1輸入過程這是指要求效力的顧客是按怎樣的規(guī)律到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的過程，有時(shí)也把它稱為顧客流普通可以從3個(gè)方面來描畫一個(gè)輸入過程。(1)顧客總體數(shù)又稱顧客源、輸入源。這是指顧客的來源。顧客源可以是有限的，也可以是無限的。例如，到售票處購(gòu)票的顧客總數(shù)可以以為是無限的，而車間內(nèi)停機(jī)待修得機(jī)器顯然是有限的。(2)顧客到達(dá)方式這是描畫顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，他們是單個(gè)到達(dá)，還是成批到達(dá)。病人到醫(yī)院看病是顧客單個(gè)到達(dá)的例子。在庫(kù)存問題中如將消費(fèi)器材進(jìn)貨或產(chǎn)品入庫(kù)看作是顧客，那么這種顧客那么是成批到達(dá)的。(3)顧客流的概率分布，或稱相繼顧客到達(dá)的時(shí)間間隔的分布。這是求解排隊(duì)系

6、統(tǒng)有關(guān)運(yùn)轉(zhuǎn)目的問題時(shí)，首先需求確定的目的。這也可以了解為在一定的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)K個(gè)顧客(K=1、2、)的概率是多大。顧客流的概率分布普通有定長(zhǎng)分布、二項(xiàng)分布、泊松流(最簡(jiǎn)單流)、愛爾朗分布等假設(shè)干種。2排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)那么 排隊(duì) 排隊(duì)分為有限排隊(duì)和無限排隊(duì)兩類。 有限排隊(duì)是指排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)是有限的，即系統(tǒng)的空 間是有限的，當(dāng)系統(tǒng)被被占滿時(shí)，后面再來的顧客將不能 進(jìn)入系統(tǒng)； 無限排隊(duì)是指系統(tǒng)中顧客數(shù)可以是無限的，隊(duì)列可以排到 無限長(zhǎng)，顧客到達(dá)系統(tǒng)后均可進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)或接受效力， 這類系統(tǒng)又稱為等待制排隊(duì)系統(tǒng)。有限排隊(duì)系統(tǒng)有限排隊(duì)系統(tǒng)損失制排隊(duì)系統(tǒng)混合制排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)空間為0的系統(tǒng)允許排隊(duì)，但又不允許

7、隊(duì)列無限長(zhǎng)這是指假設(shè)顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，一切效力臺(tái)都已被先來的顧客占用，那么他們就自動(dòng)分開系統(tǒng)永不再來。典型例子是，如拔號(hào)后出現(xiàn)忙音，顧客不愿等待而自動(dòng)掛斷，如要再打，就需重新拔號(hào)，這種效力規(guī)那么即為損失制。損失制排隊(duì)系統(tǒng)損失制排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)空間為0的系統(tǒng)混合制排隊(duì)系統(tǒng)混合制排隊(duì)系統(tǒng)這是等待制與損失制相結(jié)合的一種效力規(guī)那么，普通是指這是等待制與損失制相結(jié)合的一種效力規(guī)那么，普通是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無限長(zhǎng)下去。詳細(xì)說來，大致允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無限長(zhǎng)下去。詳細(xì)說來，大致有三種：有三種： 隊(duì)長(zhǎng)有限。當(dāng)排隊(duì)等待效力的顧客人數(shù)超越規(guī)定數(shù)量時(shí)，后來的顧客就自動(dòng)離去，另求效力，即系統(tǒng)的等待空間是

8、有限的。 如旅館的床位是有限的。 等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間不超越某一給定的長(zhǎng)度T，當(dāng)?shù)却龝r(shí)間超越T 時(shí)，顧客將自動(dòng)離去，并不再回來。如顧客到飯館就餐，等了一定時(shí)間后不愿再等而自動(dòng)離去另找飯店用餐。允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無限長(zhǎng) 逗留時(shí)間(等待時(shí)間與效力時(shí)間之和)有限。例如用高射炮射擊敵機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越高射炮射擊有效區(qū)域的時(shí)間為t 時(shí)，假設(shè)在這個(gè)時(shí)間內(nèi)未被擊落，也就不能夠再被擊落了。不難留意到，損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如記s為系統(tǒng)中效力臺(tái)的個(gè)數(shù)，那么當(dāng)K=s時(shí)，混合制即成為損失制；當(dāng)K=時(shí)，混合制即成為等待制。(K為系統(tǒng)中可包容的顧客數(shù))(2)排隊(duì)規(guī)那么當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，

9、假設(shè)一切效力臺(tái)都被占用且又允許排隊(duì)，那么該顧客將進(jìn)入隊(duì)列等待。例如，排隊(duì)等待售票，缺點(diǎn)設(shè)備等待維修等。效力臺(tái)對(duì)顧客進(jìn)展效力所遵照的規(guī)那么通常有：先到先效力FCFS后到先效力LCFS優(yōu)先權(quán)PS隨機(jī)效力倉(cāng)庫(kù)中迭放的鋼材，后迭放上去的都先被領(lǐng)走，就屬于這種情況。即當(dāng)效力臺(tái)空閑時(shí)，不按照排隊(duì)序列而隨意指定某個(gè)顧客去接受效力，如交換臺(tái)接通呼叫就是一例。3效力機(jī)制排隊(duì)系統(tǒng)的效力機(jī)制可以從以下3方面來描畫： 效力臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成方式。 從數(shù)量上說，效力臺(tái)有單效力臺(tái)和多效力臺(tái)之分。從構(gòu)成 方式上看，效力臺(tái)有： 單隊(duì)單效力臺(tái)式； 單隊(duì)多效力臺(tái)并聯(lián)式； 多隊(duì)多效力臺(tái)并聯(lián)式； 單隊(duì)多效力臺(tái)串聯(lián)式； 單隊(duì)多效力臺(tái)并串聯(lián)混

10、合式 以及多隊(duì)多效力臺(tái)并串聯(lián)混合式等等。(2) 效力方式。這是指在某一時(shí)辰接受效力的顧客數(shù)，它有單個(gè)效力和成批效力兩種。如公共汽車一次就可裝載一批乘客就屬于成批效力。(3) 效力時(shí)間的分布普通來說，在多數(shù)情況下，對(duì)每一個(gè)顧客的效力時(shí)間是一隨機(jī)變量，其概率分布有定長(zhǎng)分布、負(fù)指數(shù)分布、K階愛爾朗分布、普通分布(一切顧客的效力時(shí)間都是獨(dú)立同分布的)等等。三、排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示肯道爾D.G.Kendall分類：X / Y / Z / A / B /C 其中： X 顧客到達(dá)的分布； Y 效力時(shí)間的分布； Z 效力臺(tái)數(shù)； A 系統(tǒng)容量； B 顧客源的個(gè)體數(shù)。 C 效力規(guī)那么表示分布的符號(hào)：M-負(fù)指數(shù)分布或

11、泊松輸入；D-定長(zhǎng)分布；Ek-k階愛爾朗分布；GI-普通獨(dú)立隨機(jī)分布；G-普通隨機(jī)分布 例如：某排隊(duì)問題為MMSFCFS，那么表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布(泊松流)；效力時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布；有s(s1)個(gè)效力臺(tái)；系統(tǒng)等待空間容量無限(等待制)；顧客源無限，采用先到先效力規(guī)那么。某些情況下，排隊(duì)問題僅用上述表達(dá)方式中的前3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)符號(hào)。如不特別闡明那么均了解為系統(tǒng)等待空間容量無限；顧客源無限，先到先效力，單個(gè)效力的等待制系統(tǒng)四、排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量目的 評(píng)價(jià)排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)劣。下面給出的這些數(shù)量目的普通都是和系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)辰有關(guān)的隨機(jī)變量，求這些隨機(jī)變量的瞬時(shí)分布普通是很困難的。為了分析上的簡(jiǎn)便

12、，并留意到相當(dāng)一部分排隊(duì)系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)了一定時(shí)間后，都會(huì)趨于一個(gè)平衡形狀(或稱平穩(wěn)形狀)。在平衡形狀下，隊(duì)長(zhǎng)的分布、等待時(shí)間的分布和忙期的分布都和系統(tǒng)所處的時(shí)辰無關(guān)，而且系統(tǒng)的初始形狀的影響也會(huì)消逝。因此，我們?cè)诒菊轮袑⒅饕懻撆c系統(tǒng)所處時(shí)辰無關(guān)的性質(zhì)，即統(tǒng)計(jì)平衡性質(zhì)。1、隊(duì)長(zhǎng)與排隊(duì)長(zhǎng)、隊(duì)長(zhǎng)與排隊(duì)長(zhǎng)(1)隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng):系統(tǒng)中的顧客數(shù)系統(tǒng)中的顧客數(shù)n；N(t)-N-L(2)排隊(duì)長(zhǎng)排隊(duì)長(zhǎng):系統(tǒng)中排隊(duì)等待效力的顧客數(shù)系統(tǒng)中排隊(duì)等待效力的顧客數(shù);Nq(t)-Nq-Lq2、逗留時(shí)間與等待時(shí)間、逗留時(shí)間與等待時(shí)間(1)逗留時(shí)間逗留時(shí)間:指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的全部停留時(shí)間；指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的全部停留時(shí)間；T(t)-

13、T-W(2)等待時(shí)間等待時(shí)間:指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的排隊(duì)等待時(shí)間；指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的排隊(duì)等待時(shí)間；Tq(t)-Tq-Wq這四項(xiàng)主要性能目的(又稱主要任務(wù)目的)的值越小，闡明系統(tǒng)排隊(duì)越少，等待時(shí)間越少，因此系統(tǒng)性能越好。顯然，它們是顧客與效力系統(tǒng)的管理者都很關(guān)注的。2、忙期和閑期、忙期和閑期(1)忙期忙期:是指從顧客到達(dá)空閑著的效力機(jī)構(gòu)起，到效力機(jī)構(gòu)再次是指從顧客到達(dá)空閑著的效力機(jī)構(gòu)起，到效力機(jī)構(gòu)再次成為空閑止的這段時(shí)間，即效力機(jī)構(gòu)延續(xù)忙的時(shí)間。成為空閑止的這段時(shí)間，即效力機(jī)構(gòu)延續(xù)忙的時(shí)間。(2)閑期閑期:與忙期相對(duì)的是閑期，即效力機(jī)構(gòu)延續(xù)堅(jiān)持空閑的時(shí)間。與忙期相對(duì)的是閑期，即效力機(jī)構(gòu)延續(xù)堅(jiān)持空

14、閑的時(shí)間。在排隊(duì)系統(tǒng)中，忙期和閑期總是交替出現(xiàn)的。BBII3、其他相關(guān)目的、其他相關(guān)目的(1)忙期效力量：指一個(gè)忙期內(nèi)系統(tǒng)平均完成忙期效力量：指一個(gè)忙期內(nèi)系統(tǒng)平均完成效力的顧客數(shù)；效力的顧客數(shù)；(2)損失率損失率:指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)，未接受效力指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)，未接受效力而離去的概率而離去的概率;對(duì)損失制或系統(tǒng)容量有限而言對(duì)損失制或系統(tǒng)容量有限而言(3)效力強(qiáng)度：效力強(qiáng)度：=/s；根據(jù)前面的商定，我們將主要分析系統(tǒng)的平穩(wěn)分布。于是記：Pn ：當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)統(tǒng)計(jì)平衡時(shí)處于形狀n的概率pn(t)n :當(dāng)系統(tǒng)處于形狀n時(shí)，新來顧客的平均到達(dá)率(單位 時(shí)間內(nèi)來到系統(tǒng)的平均顧客數(shù))n：當(dāng)系統(tǒng)處于形狀n時(shí)，

15、整個(gè)系統(tǒng)的平均效力率。 單位時(shí)間內(nèi)可以效力完的顧客數(shù)當(dāng)n為常數(shù)時(shí)，記為；當(dāng)每個(gè)效力臺(tái)的平均效力率為常數(shù)時(shí)，記每個(gè)效力臺(tái)的效力率為。S表示系統(tǒng)中并行的效力臺(tái)數(shù)那么當(dāng)ns時(shí)，有ns ,于是令 = /s ， 稱為效力強(qiáng)度 traffic intensity負(fù)指數(shù)分布密度函數(shù)0for t00 )(tforetftT均值1)(TE方差21)(TVar隨機(jī)變量 T分布函數(shù)tetTP1)(fT(t)t1)(TE)()0(ttTtPtTPfT(t)tttfT(t) 是一個(gè)嚴(yán)厲下降函數(shù)第二節(jié) 生滅過程和Poisson過程一、生滅過程簡(jiǎn)介一類非常重要其廣泛存在的排隊(duì)系統(tǒng)是生滅過程排隊(duì)系統(tǒng)。生滅過程是一類特殊的隨機(jī)

16、過程，在生物學(xué)、物理學(xué)、運(yùn)籌學(xué)中有廣泛的運(yùn)用。定義定義1設(shè)設(shè)N(t)，t0為一個(gè)隨機(jī)過程。為一個(gè)隨機(jī)過程。如如N(t)的概率分布具有以下性質(zhì)：的概率分布具有以下性質(zhì)：1假設(shè)假設(shè)N(t)=n，那么從時(shí)辰，那么從時(shí)辰t起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)辰止起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)辰止的時(shí)的時(shí)間服從參數(shù)為間服從參數(shù)為n的負(fù)指數(shù)分布，的負(fù)指數(shù)分布，n=0，1，2，。2假設(shè)假設(shè)N(t)=n，那么從時(shí)辰，那么從時(shí)辰t起到下一個(gè)顧客離去時(shí)辰止起到下一個(gè)顧客離去時(shí)辰止的時(shí)間服從參數(shù)為的時(shí)間服從參數(shù)為n的負(fù)指數(shù)分布，的負(fù)指數(shù)分布，n=0，1，2，。3同一時(shí)辰只需一個(gè)顧客到達(dá)或離去。同一時(shí)辰只需一個(gè)顧客到達(dá)或離去。那么稱設(shè)那么稱設(shè)

17、N(t)，t0為一個(gè)生滅過程。為一個(gè)生滅過程。v顧客到達(dá)“生；v顧客分開“滅顧客到達(dá)顧客到達(dá)顧客離去顧客離去n ， n ，生滅過程表示圖：為求平穩(wěn)分布，思索系統(tǒng)在 t+t 時(shí)辰能夠處的任一形狀n的概率。形狀轉(zhuǎn)移圖形狀轉(zhuǎn)移圖普通說來，得到 是比較困難的，因此通常是求當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)平穩(wěn)形狀后的形狀分布，記為 , n=0,1,2 ( )( )( )nN tp tP N tn的分布np方式 T時(shí)刻狀態(tài)概率（t,t+t）內(nèi)發(fā)生的事件發(fā)生的概率1nPn(t)無到達(dá)，無離去 （1-nt） (1-nt) 2n -1Pn-1(t)到達(dá)一個(gè)，無離去 n-1t (1-n-1t) 3n +1Pn+1(t)無到達(dá)，離去一個(gè)

18、(1-n+1t) n+1t 4nPn(t)到達(dá)一個(gè)，離去一個(gè) (nt) (nt) 各種方式發(fā)生概率表各種方式發(fā)生概率表方式1，2，3，4互不相容且完備，于是：111111()( ) (1)(1)( ) ()(1)( ) (1)()( ) ()()nnnnnnnnnnnnnP ttP tttPtttPtttP ttt 0()()( )limnnntdP ttP ttP td tt1111( )( )()( )nnnnnnnPtP tPtt2項(xiàng)都變?yōu)榱沩?xiàng)都變?yōu)榱銓?duì)上式求導(dǎo)有：當(dāng)n=0時(shí)，只需方式1和3，4發(fā)生，且方式1中無離去的概率為1，那么:00011( )( )( )dP tP tP tdt

19、我們假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)態(tài)的，即與時(shí)辰無關(guān)，于是可得：( )0ndPtdt00110PP1111()0nnnnnnnPPPn=1,2,3.00110PP0101()PP0011122()0PPP1111122()0PPP012011122()PPP 繼續(xù)迭代：120011.nnnnnPP記12011.nnnnnC那么平穩(wěn)形狀的分布為：0nnPC P如何求P0?由概率分布的要求：01nnP0111nnCP有：0111nnPC于是：小結(jié)120011.nnnnnPP 0111nnPC系統(tǒng)到達(dá)平穩(wěn)形狀后的形狀分布-Pn舉例某小型超市有一個(gè)收款臺(tái)。交款顧客以每小時(shí)30人的負(fù)指數(shù)分布到達(dá)。當(dāng)收款臺(tái)前只需一名顧客時(shí)

20、，有一名收款員單獨(dú)效力，收款時(shí)間為平均1.5min的負(fù)指數(shù)分布；當(dāng)有2名或以上顧客時(shí)，將添加一名助手共同為顧客效力，收款時(shí)間將縮短至平均1min的負(fù)指數(shù)分布。求 收款臺(tái)前有n 名顧客的概率Pn01.30/nh人16040/1.5h人260.60/1nh人解： 1011112.303 1( ).(40)(60)4 2nnnnnnC n=1,2.0111113111.( )42nnnnPC=那么有由級(jí)數(shù)可知：11nna q當(dāng)|q| 0稱為過程N(yùn)(t)的強(qiáng)度，而o(t)為當(dāng)t-0時(shí)關(guān)于t 的高階無窮小。( ,) 1()P N t tttot 00( )( )( , )( ),0N tN tN t t

21、N t t 表示在時(shí)間間隔0,t內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)注：2 獨(dú)立性恣意兩個(gè)不相交區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)情況相互獨(dú)立3 普通性在 t, t+t 內(nèi)多于一個(gè)顧客到達(dá)的概率為()ot亦即對(duì)于充分小的t，在 t, t+t 內(nèi)出現(xiàn)2個(gè)或2個(gè)以上質(zhì)點(diǎn)的概率與出現(xiàn)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率相比可以忽略不計(jì)。那么稱 N(t), t 0 為Poisson過程強(qiáng)度為 。()otj=2P N(t, t+ t)=j定理1 設(shè)N(t)為時(shí)間 0, t 內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，那么 N(t), t 0 為Poisson過程的充分必要條件是：()( )!nttP N tnenn=1,2定理1闡明，假設(shè)顧客的到達(dá)為Poisson流的話，那么到達(dá)顧客數(shù)的分

22、布恰為Poisson分布。舉例顧客按泊松流到達(dá)餐廳，平均每小時(shí)20人，在上午11：07餐廳內(nèi)有18人試求：到11：12餐廳內(nèi)有20名顧客的概率分析：依題意知 20 人/小時(shí)()( )!nttP N tnen由公式可知：21(20)121(20)112 ()20.2623122!P Ne在1/12h內(nèi)到達(dá)顧客2人的概率為：但無論是從Poisson過程的定義，還是根據(jù)其概率分布去對(duì)顧客的到達(dá)情況進(jìn)展分析，都有許多不便之處。實(shí)踐問題中比較容易得到和進(jìn)展分析的往往是顧客相繼到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)辰，或相繼到達(dá)的時(shí)間間隔。定理2設(shè)N(t)為時(shí)間 0, t 內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，那么 N(t), t 0 為參數(shù)為的P

23、oisson過程的充分必要條件是：相續(xù)到達(dá)時(shí)間間隔服從相互獨(dú)立的參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。定理2闡明，顧客相續(xù)到達(dá)時(shí)間間隔服從相互獨(dú)立的參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，與到達(dá)過程為參數(shù)的Poisson過程是等價(jià)的。舉例某排隊(duì)系統(tǒng)，顧客到達(dá)為泊松流，平均1人/h。假設(shè)有一名顧客于中午12點(diǎn)到達(dá)該排隊(duì)系統(tǒng)情況下。試求：下一名分別于下午1點(diǎn)前、12點(diǎn)間、2點(diǎn)后到達(dá)的概率。分析：因顧客到達(dá)為泊松流，那么闡明顧客到達(dá)時(shí)間間隔T服從負(fù)指數(shù)分布，故T的概率密度fT(t)為：0( )00tTetftt1因下一名顧客在下午1:00前到達(dá)，有 0 T 1,那么1100(01)0.6321ttPTe dte 2下一名顧客在下午1:0

24、02:00之間到達(dá)，即 1 T 2,那么2200(2)1(2)11 0.1353ttP TP Te dte 第三節(jié) M/M/s等待制排隊(duì)模型一、單效力臺(tái)模型M/M/1/ 是指：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，效力臺(tái)數(shù)為1，效力時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無限，允許無限排隊(duì)。1、隊(duì)長(zhǎng)的分布由n =( n=0，1，2，) n =( n=0，1，2，)記 = / 并設(shè) 4)；(7)在六天任務(wù)日內(nèi)系統(tǒng)中沒有顧客的小時(shí)數(shù)； (8)假設(shè)決議當(dāng)顧客平均逗留時(shí)間超越半個(gè)小時(shí)時(shí)，就應(yīng)添加一個(gè)售票窗口，試問這相當(dāng)于要求顧客的平均到達(dá)率是原有的幾倍？舉例解：按題意可知=24人人/小時(shí)，小時(shí)，=40

25、人人/小時(shí)，小時(shí)，=/=0.61010 .4P21 . 5 ()1L人31W0.0625 =3.75 L小時(shí)分鐘4220.91()qL 人5W0.03752.25qqL小時(shí)分鐘6550110.0781p 4nn=0p(L 4)=1-p7因每天系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的小時(shí)數(shù)為8p0=3.2小時(shí),故一周六天任務(wù)日內(nèi)沒有顧客的小時(shí)數(shù)為6*3.2=19.2小時(shí).8當(dāng)1112W時(shí)1=38,于是138/241.583、忙期和閑期在平衡形狀下，忙期B和閑期I普通均為隨機(jī)變量，求它們的分布比較費(fèi)事。因此我們普通思索平均忙期 和平均閑期 BI由于忙期和閑期出現(xiàn)的概率分布為和1 ,所以在一段時(shí)間內(nèi)可以以為忙期和閑期的總長(zhǎng)度之比為:1又由于忙期和閑期是交替出現(xiàn)的，所以在充分長(zhǎng)的時(shí)間里，它們出現(xiàn)的平均次數(shù)應(yīng)是一樣的。于是，忙期的平均長(zhǎng)度 和閑期的平均長(zhǎng)度 之比也應(yīng)是BI:11BI1BI又由于在到達(dá)為Poisson流時(shí)，根據(jù)負(fù)指數(shù)分布的無記憶性和到達(dá)與效力相互獨(dú)立的假設(shè)，容易證明從系統(tǒng)空閑時(shí)辰起到下一個(gè)顧客到達(dá)