2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川)初賽試題及答案

1、2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽（四川初賽）（5月22日下午14：3016：30）題 目一二三總成績(jī)13141516得 分評(píng)卷人復(fù)核人考生注意：1、本試卷共三大題（16個(gè)小題），全卷滿分140分. 2、用黑（藍(lán)）色圓珠筆或鋼筆作答. 3、計(jì)算器、通訊工具不準(zhǔn)帶入考場(chǎng). 4、解題書寫不要超過密封線.得 分評(píng)卷人 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）1、在中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c命題p：B+C=2A,且b+c=2a；，命題q：是正三角形，則命題p是命題q的 【 】 A、充要條件 B、充分不必要條件 C、必要不充分條件6 D、既不是充分條件也不是必要條件2、若i

2、為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的值是 【 】A、-1B、-iC、iD、13、已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，記的最小值為m，則m的最大值是 【 】A、-2B、0C、D、14、對(duì)任意正整數(shù)n與k（），表示不超過，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，則 【 】 A、11 B、13C、14D、195、設(shè)數(shù)列滿足： 其中x 表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，為前n項(xiàng)和，則的個(gè)位數(shù)字是 【 】A、1 B、2C、5D、56、已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是 【 】 A、 B、C、1D、得 分評(píng)卷人 二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）7、在的展開式中的系數(shù)是 （用具體數(shù)字

3、作答）8、若實(shí)數(shù)構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，構(gòu)成等比數(shù)列，則的值為 9、已知正四棱錐S-ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為4，ASB=，過點(diǎn)A作截面與側(cè)棱SB、SC、SD分別交于E、F、G，則截面AEFG周長(zhǎng)的最小值是 10、已知的外心為O，且0,則的值是 11、實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是 12、對(duì)于任何集合S，用表示集合S中的元素個(gè)數(shù)，用n(S)表示集合S的子集個(gè)數(shù).若A、B、C是三個(gè)有限集，且滿足條件：;則的最大值是 得 分評(píng)卷人 三、解答題（本大題共4個(gè)小題，每小題20分，共80分）13、設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為常數(shù)），記 （1）求數(shù)列的前項(xiàng)和； （2）若對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立，14、已知、為正實(shí)數(shù)，求

4、證：15、已知拋物線y2=2px過定點(diǎn)C(1,2)，在拋物線上任取不同于點(diǎn)C的一點(diǎn)A，直線AC與直線y=x+3交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B（1）求證：直線AB過定點(diǎn)；（2）求ABC面積的最小值16、已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=|x2-ax|-lnx，請(qǐng)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性 2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（四川）初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1、評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).選擇題和填空題只設(shè)5分和0分兩檔；其它各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再增加其它中間檔次. 2、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)閱時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔

5、次評(píng)分，5分一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次.一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）1、A 2、D 3、C 4、C 5、A 6、B 二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分） 7、180 8、 9、 10、 11、 12、2015 三、解答題（本大題共4個(gè)小題，每小題20分，共80分）13、設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為常數(shù)），記 （1）求數(shù)列的前項(xiàng)和； （2）若對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值解：（1）由條件易知,又由得 5分于是故，因此 由-得：，故所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為 10分(2) 因?yàn)?，?gòu)造，則， 15分于是嚴(yán)格單增，則的最小值為，即實(shí)數(shù)的最大值是 20

6、分14、已知、為正實(shí)數(shù)，求證：證明：（1）先證： 等價(jià)于證明：， 令，由不等式知結(jié)論成立 5分 （2）再證： （*）由于不等式是輪換對(duì)稱的，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí)，令，則， 10分故均大于0. 不等式（*）變?yōu)椋?只需證：， 15分 注意到：，則, 同理：，所以，原不等式成立 20分15、已知拋物線y2=2px過定點(diǎn)C(1,2)，在拋物線上任取不同于點(diǎn)C的一點(diǎn)A，直線AC與直線y=x+3交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B（1）求證：直線AB過定點(diǎn)；（2）求ABC面積的最小值解：（1）由拋物線y2=2px過定點(diǎn)C(1,2)，可得拋物線方程為y2=4x設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(,y0)(

7、 y02)，則直線AC的方程為y-2=(x-1)，即y-2=(x-1)，與y=x+3聯(lián)立解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(,) 5分所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(,)當(dāng)=12時(shí)，A坐標(biāo)為(3,y0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,)，直線AB過定點(diǎn)Q(3,2)當(dāng)12時(shí)，直線AB的方程為y- y0=(x-)，化簡(jiǎn)得，y- y0=(4x-)，（或：y- y0=( x-)，）易得，直線AB也過定點(diǎn)Q(3,2) 10分法2：由拋物線y2=2px過定點(diǎn)C(1,2)，可得拋物線方程為y2=4x設(shè)直線AB的方程為x=my+a，與拋物線方程聯(lián)立得，y2-4my-4a=0設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4a，P點(diǎn)坐標(biāo)為

8、B(y2-3,y2)，因?yàn)锳P過定點(diǎn)C，所以=，又x1=my1+a，所以(m-1)y1y2-(2m-4)y1+(a+1)y2-2a-6=0 5分將y1y2=-4a，y2=4m-y1代入上式，得(-2m+3-a)y1+(2a+4m-6)=0即(-2m+3-a)(y1-2)=0因此式對(duì)任意y12都成立，所以-2m+3-a=0，即3=2m+a，因此直線x=my+a過定點(diǎn)Q(3,2) 10分（2）由（1）可設(shè)直線AB的方程為x-3=m(y-2)，與拋物線方程聯(lián)立得y2-4my+4(2m-3)=0則y1+y2=4m，y1y2=4(2m-3)，SABC=|CQ|×|y1-y2|=|y1-y2|=

9、4 所以當(dāng)m=1時(shí)，ABC面積的最小值為4 20分16、已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=|x2-ax|-lnx，請(qǐng)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解：由條件知函數(shù)的定義域?yàn)椋?) 若a0，則f(x)= x2-ax-lnx， 于是，令，得，所以，在(0,)上單調(diào)遞減，在(,+)上單調(diào)遞增5分 （2）若a0，則f(x)= ， 先討論g(x)=x2-ax-lnx (xa)的單調(diào)性 g (x)=2x-a-=令g (x)=0，得x=0，當(dāng)a，即a1時(shí)，g(x)在(a,)上單調(diào)遞減，在(,+)上單調(diào)遞增；當(dāng)a，即a1時(shí)，g(x)在(a,+)上單調(diào)遞增 10分 再討論當(dāng)a0時(shí)，h(x)=-x2+ax-lnx (0xa)的單調(diào)性h (x)=-2x+a-=當(dāng)D=a2-80，即0a時(shí)，h (x)0，h(x)在(0, a)上單調(diào)遞減；當(dāng)D=a2-80，即a時(shí)，令h(x)= 0，得a，所以h(x)在(0,)，(,a)上單調(diào)遞減，在(,)上單調(diào)遞增