2016年全國高中數學聯賽(四川)初賽試題及答案

1、2016年全國高中數學聯合競賽（四川初賽）（5月22日下午14：3016：30）題 目一二三總成績13141516得 分評卷人復核人考生注意：1、本試卷共三大題（16個小題），全卷滿分140分. 2、用黑（藍）色圓珠筆或鋼筆作答. 3、計算器、通訊工具不準帶入考場. 4、解題書寫不要超過密封線.得 分評卷人 一、單項選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）1、在中，設內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c命題p：B+C=2A,且b+c=2a；，命題q：是正三角形，則命題p是命題q的 【 】 A、充要條件 B、充分不必要條件 C、必要不充分條件6 D、既不是充分條件也不是必要條件2、若i

2、為虛數單位，復數，則的值是 【 】A、-1B、-iC、iD、13、已知函數當時，記的最小值為m，則m的最大值是 【 】A、-2B、0C、D、14、對任意正整數n與k（），表示不超過，且與n互質的正整數的個數，則 【 】 A、11 B、13C、14D、195、設數列滿足： 其中x 表示不超過實數x的最大整數，為前n項和，則的個位數字是 【 】A、1 B、2C、5D、56、已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且,則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是 【 】 A、 B、C、1D、得 分評卷人 二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）7、在的展開式中的系數是 （用具體數字

3、作答）8、若實數構成以2為公比的等比數列，構成等比數列，則的值為 9、已知正四棱錐S-ABCD側棱長為4，ASB=，過點A作截面與側棱SB、SC、SD分別交于E、F、G，則截面AEFG周長的最小值是 10、已知的外心為O，且0,則的值是 11、實數滿足，則的最大值是 12、對于任何集合S，用表示集合S中的元素個數，用n(S)表示集合S的子集個數.若A、B、C是三個有限集，且滿足條件：;則的最大值是 得 分評卷人 三、解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）13、設等比數列的前項和為，且（為常數），記 （1）求數列的前項和； （2）若對于任意的正整數，都有成立，14、已知、為正實數，求

4、證：15、已知拋物線y2=2px過定點C(1,2)，在拋物線上任取不同于點C的一點A，直線AC與直線y=x+3交于點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點B（1）求證：直線AB過定點；（2）求ABC面積的最小值16、已知為實數，函數f(x)=|x2-ax|-lnx，請討論函數f(x)的單調性 2016年全國高中數學聯賽（四川）初賽試題參考答案及評分標準說明：1、評閱試卷時，請依據評分標準.選擇題和填空題只設5分和0分兩檔；其它各題的評閱，請嚴格按照評分標準規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次. 2、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評閱時可參考本評分標準適當劃分檔

5、次評分，5分一個檔次，不要再增加其它中間檔次.一、選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）1、A 2、D 3、C 4、C 5、A 6、B 二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分） 7、180 8、 9、 10、 11、 12、2015 三、解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）13、設等比數列的前項和為，且（為常數），記 （1）求數列的前項和； （2）若對于任意的正整數，都有成立，求實數的最大值解：（1）由條件易知,又由得 5分于是故，因此 由-得：，故所以，數列的前項和為 10分(2) 因為，構造，則， 15分于是嚴格單增，則的最小值為，即實數的最大值是 20

6、分14、已知、為正實數，求證：證明：（1）先證： 等價于證明：， 令，由不等式知結論成立 5分 （2）再證： （*）由于不等式是輪換對稱的，不妨設，則當時，結論顯然成立；當時，令，則， 10分故均大于0. 不等式（*）變?yōu)椋?只需證：， 15分 注意到：，則, 同理：，所以，原不等式成立 20分15、已知拋物線y2=2px過定點C(1,2)，在拋物線上任取不同于點C的一點A，直線AC與直線y=x+3交于點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點B（1）求證：直線AB過定點；（2）求ABC面積的最小值解：（1）由拋物線y2=2px過定點C(1,2)，可得拋物線方程為y2=4x設點A坐標為(,y0)(

7、 y02)，則直線AC的方程為y-2=(x-1)，即y-2=(x-1)，與y=x+3聯立解得P點坐標為(,) 5分所以B點坐標為(,)當=12時，A坐標為(3,y0)，B點坐標為(3,)，直線AB過定點Q(3,2)當12時，直線AB的方程為y- y0=(x-)，化簡得，y- y0=(4x-)，（或：y- y0=( x-)，）易得，直線AB也過定點Q(3,2) 10分法2：由拋物線y2=2px過定點C(1,2)，可得拋物線方程為y2=4x設直線AB的方程為x=my+a，與拋物線方程聯立得，y2-4my-4a=0設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4a，P點坐標為

8、B(y2-3,y2)，因為AP過定點C，所以=，又x1=my1+a，所以(m-1)y1y2-(2m-4)y1+(a+1)y2-2a-6=0 5分將y1y2=-4a，y2=4m-y1代入上式，得(-2m+3-a)y1+(2a+4m-6)=0即(-2m+3-a)(y1-2)=0因此式對任意y12都成立，所以-2m+3-a=0，即3=2m+a，因此直線x=my+a過定點Q(3,2) 10分（2）由（1）可設直線AB的方程為x-3=m(y-2)，與拋物線方程聯立得y2-4my+4(2m-3)=0則y1+y2=4m，y1y2=4(2m-3)，SABC=|CQ|×|y1-y2|=|y1-y2|=

9、4 所以當m=1時，ABC面積的最小值為4 20分16、已知為實數，函數f(x)=|x2-ax|-lnx，請討論函數f(x)的單調性解：由條件知函數的定義域為（1) 若a0，則f(x)= x2-ax-lnx， 于是，令，得，所以，在(0,)上單調遞減，在(,+)上單調遞增5分 （2）若a0，則f(x)= ， 先討論g(x)=x2-ax-lnx (xa)的單調性 g (x)=2x-a-=令g (x)=0，得x=0，當a，即a1時，g(x)在(a,)上單調遞減，在(,+)上單調遞增；當a，即a1時，g(x)在(a,+)上單調遞增 10分 再討論當a0時，h(x)=-x2+ax-lnx (0xa)的單調性h (x)=-2x+a-=當D=a2-80，即0a時，h (x)0，h(x)在(0, a)上單調遞減；當D=a2-80，即a時，令h(x)= 0，得a，所以h(x)在(0,)，(,a)上單調遞減，在(,)上單調遞增