小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)與公式總匯必背

1、. . . 小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)與公式總匯（必背）1和差倍問題22年齡問題的三個(gè)基本特征：3歸一問題的基本特點(diǎn)：4植樹問題5雞兔同籠問題6盈虧問題37牛吃草問題8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律9平均數(shù)10抽屜原理411定義新運(yùn)算12數(shù)列求和13二進(jìn)制與其應(yīng)用514加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)616約數(shù)與倍數(shù)17數(shù)的整除718余數(shù)與其應(yīng)用19余數(shù)、同余與周期20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用821分?jǐn)?shù)大小的比較922分?jǐn)?shù)拆分23完全平方數(shù)24比和比例1025綜合行程26工程問題27邏輯推理1128幾何面積29立體圖形30時(shí)鐘問題快慢表問題1231時(shí)鐘問題鐘面追與32濃度與配比33經(jīng)濟(jì)問題1333經(jīng)濟(jì)問題34簡單方程3

2、5不定方程36循環(huán)小數(shù)141 和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式(和差)÷2=較小數(shù)較小數(shù)差=較大數(shù)和較小數(shù)=較大數(shù)(和差)÷2=較大數(shù)較大數(shù)差=較小數(shù)和較大數(shù)=較小數(shù)和÷(倍數(shù)1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)和小數(shù)=大數(shù)差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2年齡問題的三個(gè)基本特征：兩個(gè)人的年齡差是不變的；兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3歸一問題的

3、基本特點(diǎn)：問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4植樹問題基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹基本公式棵數(shù)=段數(shù)1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)棵距×段數(shù)=總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或

4、者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。基本公式：把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)×總頭數(shù)總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分

5、析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。7牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。基本特點(diǎn)：原草量和新草生長速度是

6、不變的； 關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L量=（較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù) - 較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長時(shí)間-短時(shí)間）；總草量= 較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)- 較長時(shí)間×生長量；8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平年：一年有365天。年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除； 9平均數(shù)基本公式：平均數(shù)=總數(shù)量÷

7、總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以與總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算.基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式10抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下

8、四種情況：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:k=n/m +1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：X表示不超過X的最大整數(shù)。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2； 關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號，這個(gè)新的運(yùn)算符號包含

9、有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每個(gè)新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。12數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示基本

10、思路：等差數(shù)列中涉與五個(gè)量：a1 ,an, d, n, sn,通項(xiàng)公式中涉與四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉與四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。基本公式：通項(xiàng)公式： an = a1+（n1）d；通項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)一1) ×公差；數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d1；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差1；公差公式：d =（ana1）÷（n1）；公差=（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定

11、使用的公式；13二進(jìn)制與其應(yīng)用十進(jìn)制：用09十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=；N=N（其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用01兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2）=

12、 An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+A3×22+A2×21+A1×20注意：An不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種

13、不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2. +mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2. ×mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：

14、直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)1+2+3+（點(diǎn)數(shù)一1）；數(shù)角規(guī)律=1+2+3+（射線數(shù)一1）；數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+行數(shù)×列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)

15、數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<<an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)××(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個(gè)

16、數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6；求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把一樣的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最

17、大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48；18的倍數(shù)有：18、36、54、72；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108；那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作12，18=36；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17數(shù)的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b

18、能整除a，記作b|a。2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因?yàn)榉枴啊?，所以的符號“”；二、整除判斷方法?.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5.能被7整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字

19、和的差能被11整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7.能被13整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18.余數(shù)與其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=qr，且0<r<b,那么r叫做a除

20、以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若a、b除以c的余數(shù)一樣，則c|a-b或c|b-a。a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)一樣，則稱a、b對于模m同余。已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作ab(modm)，讀作a同余于b模m。二、同余的性質(zhì)：自身性：aa(modm)；對稱性：若ab(modm)，則ba(modm)；傳遞性：若ab(modm)，bc(modm)

21、，則a c(modm)；和差性：若ab(mod m)，cd(mod m)，則a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若a b(modm)，cd(modm)，則a×c b×d(modm)；乘方性：若ab(modm)，則anbn(modm)；同倍性:若a b(mod m)，整數(shù)c，則a×c b×c(modm×c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，

22、則Mn(mod 9)或（mod 3）；一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則MY-X或M11-（X-Y）(mod 11)；五、費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-11(mod p)。20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以一樣的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。

23、對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生

24、變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子一樣，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母一樣，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較?；鶞?zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比

25、較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22.分?jǐn)?shù)拆分將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：第一題你要拆1/12（也就是1/A） 先列出12的約（因）數(shù)：1、2、3、4、6、12隨便選兩個(gè)約數(shù) 分為a1 a2 這里我選3、4公式：1/A=A÷a1×（a1+a2）/1+ A÷a2×

26、（a1+a2）/1套入公式：1/12=12÷3×（3+4）/1+ 12÷4×（3+4）/1最后等于：1/12=1/28+1/21第二題就像上面的一樣套入公式計(jì)算，要把第一題的其中一個(gè)答案再拆分就可以了。答案是：1/21+1/84+1/4223完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以3余0或余1；反之不成立。3.除以4余0或余1；反之不成立。4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)

27、。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2= X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2= X2-2XY+Y2費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-11(mod p)。24比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以一樣的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB

28、的商不變時(shí)），則A與B成正比。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.基本公式：路程=速度×時(shí)間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程（請寫出其他公式）追與問題：追與時(shí)間路程差÷速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）×

29、順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=（船速-水速）×逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追與路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追與時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26工程問題基本公式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間工作效率=工作總量÷工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量÷工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量

30、無關(guān)）；假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率與工作時(shí)間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡評：合久必分，分久必合。27邏輯推理基本方法簡介：條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長方形表格中

31、，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析圖表法：當(dāng)兩個(gè)對象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28幾何面積基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不

32、能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1.連輔助線方法2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4.利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29立體圖形名稱圖形特征表面積體積長方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；相對的面相等；12條棱；相對的棱相等；S=2(ab+ah

33、+bh)V=abh=Sh正方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；所有面相等；12條棱；所有棱相等；S=6a2V=a3圓柱體上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開后是長方形；S=S側(cè)+2S底S側(cè)=ChV=Sh圓錐體下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；l:母線，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離；S=S側(cè)+S底S側(cè)=rlV=Sh球體圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。S=4r2V=r330時(shí)鐘問題快慢表問題基本思路：1、按照行程問題中的思維方法解題；2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；31時(shí)鐘問題鐘面追與基本思路：封閉曲線上的追

34、與問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時(shí)針的初始位置； 確定分針與時(shí)針的路程差；基本方法：分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走112分格。度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60 度，即6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60 度，即1/2 度。32濃度與配比經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、

35、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?溶質(zhì)重量+溶劑重量；溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度；濃度=（溶質(zhì)溶液）×100%溶劑=溶液×（1-濃度）理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33經(jīng)濟(jì)問題利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）÷成本×100%；賣價(jià)=成本×（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；成本=賣價(jià)÷（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定；定價(jià)=成本×（1+期

36、望利潤的百分?jǐn)?shù)）；本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金×利率×期數(shù)；含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×（1+增值稅稅率）；34簡單方程代數(shù)式：用運(yùn)算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號連起來。列方程關(guān)鍵問題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)（除0），等式不變。移項(xiàng)：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊；移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。加去括號規(guī)則：在只有加減運(yùn)算的算

37、式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號里面的運(yùn)算符號都不變；如果括號前面是“”號，添、去括號，括號里面的運(yùn)算符號都要改變；括號里面的數(shù)前沒有“+”或“”的，都按有“+”處理。移項(xiàng)關(guān)鍵問題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號規(guī)則。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步驟：去分母；去括號；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；求解；方程組：幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟。消元的方法：加減消元；代入消元。35不定方程一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定

38、方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉與知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達(dá)式；4、確定圍；5、確定特征；6、確定答案；技巧總結(jié)：A、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用圍小的未知數(shù)表示圍大的未知數(shù)；B、消元技巧：消掉圍大的未知數(shù)；36循環(huán)小數(shù)一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的

39、各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)一樣，最后能約分的再約分。混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)一樣，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)一樣。二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。* 1至30的平方1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*

40、7=498*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=16914*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=36120*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=62526*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900* 世界上最神奇的數(shù)字是1除以7的循環(huán)節(jié)：1428571/7=0.142857 142857 142857.它神奇在哪里呢？ 1、我們把它從1乘到6看看

41、142857 X 1 = 142857142857142857 X 2 = 285714 285714142857 X 3 = 428571 428571142857 X 4 = 571428571428142857 X 5 = 714285714285142857 X 6 = 857142 857142同樣的6個(gè)數(shù)字，只是依此調(diào)換了位置，反復(fù)出現(xiàn)。2、我們從1乘到6除以7看看1/7=0.142857. 2/7=0.285714.3/7=0.428571.4/7=0.571428.5/7=0.714285.6/7=0.857142.1，3，5分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的最高位后移，后面的前

42、移。2，4，6分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的前兩位后移，后面的前移。 3、那么把它乘以7是多少呢？我們會(huì)驚人的發(fā)現(xiàn)是9999994、142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7=9+9+95、我們用 142857 乘以142857= 前五位+上后六位的得數(shù)是多少呢？20408 + 122449 = 142857“142857”發(fā)現(xiàn)于埃與金字塔，它確實(shí)是一組神奇的數(shù)字。* 數(shù)學(xué)小故事：神奇美妙的“9 ”九，是我們中華民族所崇拜的數(shù)字，在中國古代人們的觀念中，將天稱為“九天”、“九重”、“九霄”;將地劃為“九州”、“九域  ”;將宗廟稱為“

43、九廟”;道路謂之“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九級”;官為“九品”。在古樂古詩中有九辯、九喜、九歌、九章等。九在中國人的心中竟擁有如此神奇的地位;作為一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，應(yīng)該去深入探索它的本質(zhì)與其它美妙的蘊(yùn)意。易經(jīng)上說，九數(shù)含有吉祥的意思，如果按照“陰陽”來說，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為陰，而九是陽數(shù)中最大的，稱為“極陽數(shù)”。十是一個(gè)完美的數(shù)字，而九接近十而不到十，具有很強(qiáng)的傾向性，一位數(shù)字只有十個(gè)，而九是最大的一個(gè)，故為數(shù)字之極，寓義崇高。也許，就是這個(gè)原因，九有其最多的奇妙特點(diǎn)，最多的趣味性質(zhì)。九有一個(gè)非常奇妙的性質(zhì)，是其它數(shù)字所沒有的。如果要求一個(gè)自然數(shù)除以九的余數(shù)，則只要

44、將這個(gè)數(shù)各位數(shù)字相加，其和如果仍是兩位以上的數(shù)，則再將這個(gè)和的各位數(shù)字相加，最后所得的一位數(shù)，就是這個(gè)自然數(shù)除以九的余數(shù)。九的這一奇妙特點(diǎn)，總使數(shù)學(xué)愛好者十分著迷，許多趣味數(shù)學(xué)游戲，都與九的這一規(guī)律有關(guān)。數(shù)學(xué)老師常用“湊九”法驗(yàn)算學(xué)生的算式是否有誤，而“湊九”法就是采納了這一原理。九的倍數(shù)的各位數(shù)字之和也一定是九的倍數(shù)，可知九的倍數(shù)是一個(gè)非常和諧圓滿的數(shù)系。八位數(shù)12345679，如果將它同九相乘，奇怪的很，其積竟是全由1組成的數(shù)字111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九個(gè)2，乘27(九的3倍)，可得九個(gè)3，直到乘81，就可以得到九個(gè)9.這種整齊統(tǒng)一的特點(diǎn)，給人以多么美妙的印象啊!也

45、許有人要問為什么把8去掉，填上會(huì)有規(guī)律嗎?若把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用九去乘，還有規(guī)律嗎?答案是肯定的。九這個(gè)數(shù)字就是這么神奇，我們來看下列算式：縱觀上面九個(gè)算式，不僅算式的結(jié)果很有規(guī)律，且積的數(shù)字之和都為九。第一個(gè)算式到第九個(gè)算式的變化，更能顯示出奇妙無比的秩序美。如果你隨便找來一個(gè)兩位以上的自然數(shù)，比如是317，將此數(shù)打亂，變成173、731、713吧，我們現(xiàn)在求出新數(shù)與原數(shù)的差，你猜會(huì)有什么結(jié)論?這些差144、414、396竟然全是九的倍數(shù)。在這里，無論是定數(shù)字，還是打亂所找數(shù)字的順序，都是多么的隨心所欲啊!可是在這種繁亂中竟能出現(xiàn)規(guī)律，這種規(guī)律的主宰者卻是九。假如再隨意

46、找一個(gè)兩位以上的數(shù)，比方418，先將它的各位數(shù)字之和求出;用原數(shù)減去其數(shù)字之和(418-18)，其差405也是九的倍數(shù)。下列算式的確是種簡明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的結(jié)果竟然是一個(gè)常數(shù)，且還是九的倍數(shù)，如所選的數(shù)是4位、5位，是否還有規(guī)律呢?我們敢于肯定地說，九的奇妙一定處處再現(xiàn)，無論是多少位，九的統(tǒng)一美的光芒定會(huì)時(shí)時(shí)閃耀。九是一個(gè)神奇的反序數(shù)，在算式1089×9=9801中可知，九乘某一個(gè)數(shù)字，能使其順序正好顛倒過來。從算式123456789×8+9=987654321中也可知，九加某數(shù)也竟能使其順序顛倒;九也是一個(gè)神圣的自補(bǔ)數(shù)，因

47、為92=81，1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001，1+999=103;又99×47=4658，而53+47=102，999×321=320679，而670+321=103，九又是一個(gè)神秘的自生數(shù)，93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一個(gè)奇妙的再植數(shù)，從算式109890×9=989010中看出，9竟然將這個(gè)數(shù)的最高兩位變成最低兩位。九還是有趣的勾股數(shù)中不可缺少的成員：2+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=3×9.啊!九的奇特，操縱著無數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)

48、算和游戲，它不愧為一位偉大的魔術(shù)師。在除法中，九的奇異也使人迷戀?？聪铝械仁剑?/9=0.111，2/9=0.222，8/9=0.888，多有規(guī)律啊!在化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，九又是大顯神手，10是完美的數(shù)字，對于10，9和11是對稱的，這種對稱下也隱藏著許多秘密：1/11=0.09，2/11=0.18，3/11=0.27，9/11=0.81，10/11=0.90，真巧，分母含11的倍數(shù)，化成循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)的兩個(gè)數(shù)竟然也是九的倍數(shù)。九，在代數(shù)的世界里留有神奇的足跡九的有趣性質(zhì)簡直是太多啦!實(shí)在是舉不勝舉。這么獨(dú)特的數(shù)字，難怪人們特別喜歡它，非常崇拜它。正值冬天時(shí)，人們不數(shù)3，也不數(shù)10，偏偏數(shù)

49、九：“頭九不算九;二九凍死狗;三九、四九掩門喚狗;五九、六九水走頭;七九、八九河邊看柳;九九又一九，犁牛遍地走”。重陽節(jié)是雙九，人們十分重視這個(gè)節(jié)日，因?yàn)椤熬旁戮拧奔壹矣?，此時(shí)正是收獲的季節(jié)。唐代詩人孟浩然寫出“待到重陽日，還來就菊花”的詩句，至今一直被文人墨客所稱道。用九來起名的我國古代數(shù)學(xué)家泰九韶，所著的書名是算術(shù)九章，而書中共分九大類，每類又有九道題，他簡直是九的又一個(gè)崇拜者。過去的許多建筑都和“九”這個(gè)數(shù)目有關(guān)。例如，城最早是九個(gè)城門，天安門的城樓是九重樓，故宮四個(gè)角樓的結(jié)構(gòu)是九梁十八柱，皇家建筑物大門上的釘數(shù)是縱九橫九，和故宮的九龍壁，都是九只龍，更有趣的是天壇有個(gè)歷代皇帝祭天的地方

50、，無論是潔白的石欄桿，或是圓臺(tái)上磨平的石塊，其數(shù)目都和九字有關(guān)。在改革之年，我相信人們將會(huì)以九牛二虎之力，去九天  、到九州探寶，朝著九千九百九十九的通天大路奮勇向前。九，這個(gè)數(shù)字王國中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人們最高的崇尚，最好的贊揚(yáng)，最多的欣賞，最有情感的偏愛?？雌饋恚且粋€(gè)很普通的數(shù)，只不過與完美的數(shù)字10差1，只不過是一個(gè)完全平方數(shù)，只不過是一個(gè)最大的個(gè)位數(shù)，但恰恰就這點(diǎn)原因，竟蘊(yùn)藏著變幻無窮的秘密，在你隨時(shí)隨地的數(shù)字運(yùn)算過程中，也許就會(huì)突然發(fā)現(xiàn)九之規(guī)律所在，你會(huì)為此興奮不已，感嘆不盡?？赡阋?，你這也僅僅是在九的奇妙獨(dú)特性質(zhì)的海岸上，拾到的一塊小小的貝殼而已!要

51、真正地全面了解九的神奇，九的美妙，無論是那個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，都必須進(jìn)行艱苦的探索和頑強(qiáng)的鉆研。1 x 8 + 1 = 912 x 8 + 2 =98123 x 8 + 3 = 9871234 x 8 + 4 = 987612345 x 8 + 5 = 98765123456 x 8 + 6 = 9876541234567 x 8 + 7 = 987654312345678 x 8 + 8 = 98765432123456789 x 8 + 9 = 9876543211 x 9 + 2 =1112 x 9 + 3 =111123 x 9 + 4 =11111234 x 9 + 5 =11111123

52、45 x 9 + 6 =111111123456 x 9 + 7 =11111111234567 x 9 + 8 =1111111112345678 x 9 + 9 =111111111123456789 x 9 +10=1111111111很炫，是不是？1 x 1 = 111 x 11 = 121111 x 111 = 123211111 x 1111 = 123432111111 x 11111 = 123454321111111 x 111111 = 123456543211111111 x 1111111 = 2111111111 x 11111111 =4321111111111 x

53、 111111111 =再看看這個(gè)對稱式9 x 9 + 7 = 8898 x 9 + 6 = 888987 x 9 + 5 = 88889876 x 9 + 4 = 8888898765 x 9 + 3 = 888888987654 x 9 + 2 = 88888889876543 x 9 + 1 = 8888888898765432 x 9 + 0 = 888888888*缺8數(shù)12345679實(shí)際上與循環(huán)小數(shù)是一根藤上的瓜，因?yàn)椋?/810.9012345679，缺8數(shù)和1/81的循環(huán)節(jié)有關(guān)。在以上小數(shù)中，為什么別的數(shù)碼都不缺，而唯獨(dú)缺少8呢？ 我們看到，1/811/9×1/9，

54、把1/9化成循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)只有一位，即1/90.111111111 1/9×1/9，即無窮個(gè)1的自乘。不妨先從有限個(gè)1的平方來看： 很明顯，11的平方121，111的平方12321，直到111111111的平方。 但現(xiàn)在是無窮個(gè)1的平方，長長的隊(duì)伍看不到盡頭，怎么辦呢？ 缺8數(shù)隱藏在循環(huán)小數(shù)里利用數(shù)學(xué)歸納法，不難證明，在所有的層次，8都被一一跳過。 那么，缺8數(shù)乘以9的倍數(shù)得到“清一色”就很好理解了，因?yàn)椋?/81×91/90.111111111缺8數(shù)乘以3的倍數(shù)得到“三位一體”也不難理解，因?yàn)椋?/81×31/270.037037037，一開始就出現(xiàn)了三位的

55、循環(huán)節(jié)。缺8數(shù)乘以公差為9的等差數(shù)列時(shí)相當(dāng)于在原有基礎(chǔ)上每位數(shù)加1，自然就出現(xiàn)“走馬燈”了。循環(huán)小數(shù)與循環(huán)群、周期現(xiàn)象的研究方興未艾，缺8數(shù)已引起人們的濃厚興趣與密切關(guān)注。由于計(jì)算機(jī)科學(xué)的蓬勃發(fā)展，人們越來越不滿足于泛泛的幾條性質(zhì)，而更著眼于探索其精微的結(jié)構(gòu)。    缺8數(shù)的精細(xì)結(jié)構(gòu)引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到：12345679×44938271612345679×561728395前一式的數(shù)顛倒過來讀，正好就是后一式的積數(shù)。（雖有微小的差異，即5代以4，而根據(jù)“輪休學(xué)說”，這正是題中應(yīng)有之義）這樣的“回文結(jié)對，攜手并進(jìn)”現(xiàn)象，對（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各對乘數(shù)（每相鄰兩對乘數(shù)的對應(yīng)公差均等于9）也應(yīng)如此。例如：12345679×2227160493812345679×23283950617前一式的數(shù)顛倒過來讀，正好是后一式的積數(shù)。（后一式的2移到后面，并5代以4）走馬燈當(dāng)缺8數(shù)乘以19時(shí)，其乘數(shù)將是234567901，像走馬燈一樣，原先居第二位的數(shù)2卻成了開路先鋒。例如：12345679×1923456790112345679×2