數(shù)乘向量參考PPT課件

1、復(fù)習(xí)1:向量的加法BA如圖如圖, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a+b.a+b.bao.a+bbaABba+ba1.向量加法三角形法則:2.向量加法平行四邊形法則:特點特點:首尾相接，首尾連首尾相接，首尾連特點特點:共起點共起點第1頁/共15頁復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)2:向量的減法向量的減法o.BAa-b如圖如圖, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a-b.a-b.aba-bo.BAab特點：特點：共起點，連終點，方向指向被減數(shù)共起點，連終點，方向指向被減數(shù)第2頁/共15頁實際背景實際背景表示，試畫出該向量。用秒的位移對應(yīng)的向量那么在同方向上向量，一秒鐘的位移對

2、應(yīng)一物體作勻速直線運動aa33,aa3在物理中位移與速度的關(guān)系：s=vt，力與加速度的關(guān)系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，而時間、質(zhì)量都是數(shù)量第3頁/共15頁講授新課講授新課思考題思考題1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, aaa( a)( a)( a)? a OAa Ba Ca NMQPa a a OCOAABBCaaa 記記:aaa3a即即:OC3a. 同理可得同理可得:PN( a)( a)( a)3a 思考題思考題2: 向量向量 與向量與向量 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? 向量向量 與向量與向量 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向

3、與的方向與 的方向相同的方向相同, 向量向量 的長度是的長度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a . (2)向量向量 的方向與的方向與 的方向相反的方向相反, 向量向量 的長度是的長度是 的的3倍倍,即即3a a 3a a 3a3 a . 第4頁/共15頁特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) =0 =0 或或 a = 0 a = 0 時時, a = 0, a = 0(2) (2) 方向方向 當(dāng)當(dāng)00時時,a,a的方向與的方向與a a方向相同；方向相同； 當(dāng)當(dāng)00時時,a,a的方向與的方向與a a方向相反；方向相反；(1) (1) 長度長度 |a|=|a|=|a|a| 一般地，實數(shù)與向量a的積是一

4、個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘運算，記作a。它的長度和方向規(guī)定如下：第5頁/共15頁結(jié)論:2a+2b2b(2) (2) 已知向量已知向量a,ba,b，求作向量，求作向量2(a+b)2(a+b)和和2a+2b2a+2b，并比較。，并比較。ab結(jié)論: 2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a)a2(a+b)2a3(2a)=6a(2+4)a=2a+4a(1) (1) 根據(jù)定義，求作向量根據(jù)定義，求作向量3(2a)3(2a)和和(6a) (a(6a) (a0) )，并比較。，并比較。(a)=() a 運算律運算律: 設(shè)設(shè)a a、b b為任意向量，為任意向量，、為任意實數(shù)，則有：為任意實數(shù)，則有： (

5、+) a=a+a (a+b)=a+b2(a+b)第6頁/共15頁數(shù)乘向量的運算律：數(shù)乘向量的運算律： aa 結(jié)合律結(jié)合律 aaa 第一分配律第一分配律 baba 第二分配律第二分配律第7頁/共15頁練習(xí)練習(xí)3:解解: (1) : (1) 原式原式 = = (2) (2) 原式原式 = =(3) (3) 原式原式 = =計算：計算：( (口答口答) ) (1) (-3) (1) (-3)4 a4 a (2) 3( a+b) (2) 3( a+b) 2( a-b)-a2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) (3) (2a+3b-c) (3a-2b+c )(3a-2b+c ) (3-2-1)

6、a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c -12a -12a 向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算。向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算。對于任意的向量對于任意的向量 a,b a,b 以及任意實數(shù)以及任意實數(shù) , , ,恒有恒有 (1 1a a2 2b)=b)=1 1a a2 2b b第8頁/共15頁思考思考:判定定理判定定理:當(dāng)當(dāng)a a與與b b同方向時，有同方向時，有b=a;b=a;當(dāng)當(dāng)a a與與b b反方向時，有反方向時，有b

7、=-ab=-a，所以始終有一個實數(shù)所以始終有一個實數(shù)，使，使b=ab=a。1 1、如果、如果 b=a , b=a , 那么，向量那么，向量a a與與b b是否共線？是否共線？2 2、如果非零向量、如果非零向量a a與與b b共線，那么是否有共線，那么是否有，使，使b=a b=a ？ 對于向量對于向量a(a0)a(a0)、b b，如果有一個實數(shù)，如果有一個實數(shù)，使得，使得b=a , b=a , 那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量a a與與b b共線。共線。 若向量若向量a a與與b b共線，共線，a0a0，且向量，且向量b b的長度是的長度是a a的長的長度的度的倍，即

8、有倍，即有|b|=|a|,|b|=|a|,且且第9頁/共15頁2) b 可以是零向量嗎?思考思考:1) a為什么要是非零向量?向量向量b b與與非零向量非零向量a a共線共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實一個實數(shù)數(shù)，使得，使得 b=a.b=a.a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，使得得 b=a ，則向量，則向量b與非零向量與非零向量a共線共線第10頁/共15頁例題例題1:AEDCB解：解： =3 AC=3 AC =3( AB+ BC )=3( AB+ BC ) AB+BC=AC AB+BC=AC =3 AB+3 BC =3 AB+3 BC又又 AE=AD+D

9、EAE=AD+DE ACAC與與AE AE 共線共線如圖，已知如圖，已知AD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3BC，試判斷，試判斷ACAC與與AEAE是否共線是否共線? ?變變：若若B B、C C分別是分別是ADAD、AEAE的三等分點，證明：的三等分點，證明：BCBCDEDE。第11頁/共15頁例題例題2:解：作圖如右解：作圖如右OABC依圖猜想依圖猜想:A:A、B B、C C三點共線三點共線 A A、B B、C C三點共線三點共線. .abbb已知任意兩非零向量已知任意兩非零向量a a、b b，試作試作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3bOA=a+b, OB=a+2b

10、, OC=a+3b。你能判斷你能判斷A A、B B、C C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ba AB=OB-OAAB=OB-OA AC=2ABAC=2AB又又 AC=OC-OAAC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b又又 ABAB與與ACAC有公共點有公共點A A，第12頁/共15頁APBCa例例3 ABC平面內(nèi)的三點，切平面內(nèi)的三點，切A與與B不重合，不重合，P是是平面內(nèi)任意一點，若點平面內(nèi)任意一點，若點C在在AB上，則存在實上，則存在實數(shù)數(shù)，使得，使得 PC= PA+(1- )PB第13頁/共15頁小結(jié)回顧小結(jié)回顧: 二、知識應(yīng)用：二、知識應(yīng)用： 1.1.證明證明 向量共線；向量共線； 2.2.證明證明 三點共線三點共線: AB=BC A,B,C: AB=BC A,B,C三點共線；三點共線； 3.3.證明證明 兩直線平行兩直線平