第四章 統(tǒng)計估值

1、返回第四章 統(tǒng)計估值第第4.1節(jié)節(jié) 數理統(tǒng)計學中的基本概念數理統(tǒng)計學中的基本概念第第4.2節(jié)節(jié) 分布密度的近似求法分布密度的近似求法第第4.3節(jié)節(jié) 期望與方差的點估計期望與方差的點估計第第4.4節(jié)節(jié) 期望、方差的區(qū)間估計及期望、方差的區(qū)間估計及Excel實現實現第第4.5節(jié)節(jié) 點估計法點估計法返回返回第第4.1節(jié)節(jié) 數理統(tǒng)計學中的基本概念數理統(tǒng)計學中的基本概念 數理統(tǒng)計的任務數理統(tǒng)計的任務: 觀察現象,收集資料,創(chuàng) 建方法,分析推斷。 統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷: 伴隨著一定概率的推測。其特點是:由“部分”推斷“整體”。 總體總體:研究對象的全體(整體)。個體個體:每一個研究對象。實際上是對總體的一次觀

2、察。有限總體有限總體無限總體無限總體返回返回 樣本樣本: 由部分個體構成的集合。經常說,來自(或取自 )某總體的樣本。樣本具有二重性樣本具有二重性: 在抽樣前,它是隨機向量,在抽樣后,它是數值向量(隨機向量的取值)。樣本選擇方式樣本選擇方式:(1)有放回抽樣.特別特別,樣本容量總體數量時, 無放回抽樣可近似看作有放回抽樣.簡單隨機樣本簡單隨機樣本(s.r.s): 具有兩個特點的樣本: 代表性(組成樣本的每個個體與總體同分布), 獨立性 (組成樣本的個體間相互獨立)。 樣本容量樣本容量: 樣本中所含個體的個數。返回如如,檢驗一批燈泡的質量,從中選擇100只,則總體總體:這批燈泡(有限總體)個體個

3、體:這批燈泡中的每一只 樣本樣本:抽取的100只燈泡(簡單隨機樣本)樣本容量樣本容量:100樣本檢驗值樣本檢驗值: x1,x2,x100定義定義:設X為一隨機變量,X1,X2,Xn是一組獨立且與獨立且與X同分同分布布的隨機變量,稱X為總體總體;(X1,X2,Xn)為來自總體X的簡單隨機樣本;n為樣本容量樣本容量;每一個Xi(i=1,2,n)稱為樣本的一個觀測值;在依次觀測中,樣本的具體觀測值x1,x2,xn稱為樣本值樣本值.XX1,X2,X100100樣本值注意注意:樣本是一組獨立同主體分布的隨機變量樣本是一組獨立同主體分布的隨機變量.返回總體總體選擇個體選擇個體樣本樣本觀測樣本觀測樣本樣本觀

4、察值樣本觀察值(數據數據)數據處理數據處理樣本有關結論樣本有關結論統(tǒng)計的一般步驟統(tǒng)計的一般步驟:推斷總體性質推斷總體性質 統(tǒng)計統(tǒng)計量量為了集中簡單隨機樣本所帶來的總體信息,考慮樣本的函數,且不含任何未知參數,這樣的“不含未知未知參數的樣本的函數”稱為統(tǒng)計量。返回 是來自總體例例4.1.1 設nXXX,21),(2N 未知,則( )不是統(tǒng)計量。的s.r.s,其中已知,n2122221n1i2Xn1n1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX62X5X)(4)X(X3)(X2X1i 統(tǒng)計量和抽樣分布統(tǒng)計量和抽樣分布定義定義: :設X1,X2,Xn是來自總體X的一個樣本,g(X1,X2,Xn)是

5、n維隨機變量函數,若g中除樣本函數外不含任何未知參數,則稱g(X1,X2,Xn)為統(tǒng)計量統(tǒng)計量.統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布抽樣分布.返回 樣本均值 常用統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量: 樣本方差(修正) 樣本標準差 樣本k階原點矩 樣本k階中心矩n1iiXn1Xn1i2i2)XX(1n1Sn1i2i)XX(1n1Sn1ikikXn1mn1ikik)XX(n1M返回1)(zz 例例4.1.24.1.2 設XN(0,1), 分別為0.05,0.025,0.25,求X關于的上側分位數.X(x) 標準正態(tài)分布及其上側分位數標準正態(tài)分布及其上側分位數定義定義:設XN(0,1),對任意0)=,則稱為標準正態(tài)分布的水平上側

6、分位數水平上側分位數,記為z解解:=0.05時,95. 0)(05. 0 z反查表得:z0.05=1.64類似可得:z0.025=1.96, z0.25=0.69z返回 分布及其性質分布及其性質21.1.定義定義: : 稱 n 個相互獨立同標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和X的分布為自由度為 n 的 分布,記作2)n(X2(2 ) X1,X2,Xk獨立,Xi (ni),(i=1,2,k),則2)n.nn(Xk212k1ii 2. 2.性質性質: : (1) X 1,X2,Xn獨立,XiN(0,1),(i=1,2,n),則 )n(X2n1i2i(3)X為總體, X1,X2,Xn為來自總體的簡單隨機樣

7、本,則 )1n(S)1n(222返回 例例4.1.3 設 是來自總體 的s.r.s,則 服從( )分布。nXXX,21),(2NniXi12)( 例例4.1.4 (983) 設 是取自總體 N (0,4) 的s.r.s, 當a= , b= 時, ).2(2X243221)43()2(XXbXXaX4321,XXXX解解(1)服從)n(2(2)由題意得)1 ,0(N)X4X3(b)1 ,0(N)X2X(a43211)X4X3(bD1)X2X(aD4321a =1/20b=1/100返回3. 的密度曲線)(2nXf(x)n=1n=4n=10隨著n的增大,密度曲線逐漸趨于平緩,對稱.返回4. 分布的

8、右側(上側)分位數2定義定義:設 ,對于給定的(0)=,則稱為自由度為n的 分布的水平上側分位數,記為)n(X22)n(2Xf(x)n(2查表求上側分位數查表求上側分位數:(1)若P(X)=,則)n(2(1)若P(X1)=0.025, P(X2)=0.05,求1,2.2解解: )10(2025. 01查表得:483.201)10(295. 02查表得:940. 32返回t 分布及其性質分布及其性質1.1.定義定義 設隨機變量 ,隨機變量 ,Y 且它們互相獨立,則稱隨機變量的分布為自由度是 n 的t 分布,記作) 1 , 0( NX)(2n).(ntTnYXT/2.性質性質:則），（若,NX)1

9、(2)1ntn/SX（返回 特點特點: 關于y軸對稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標準正態(tài)密度曲線.3.t3.t分布的密度曲線分布的密度曲線: :Xf(x)返回)n(t4. t分布的上側分位數分布的上側分位數:Xf(x) 設Xt(n),對于給定(0)=,則稱為t(n)分布的水平上側分位數, 記為:)n(t例例4.1.6. 設Xt(15),求(1)=0.005的上側分位數;解解(1)=t0.005(15),查表得 =2.947t(n)返回 例例4.1.7. 設 是來自總體nXX,1),(2N的s.r.s, 分別是樣本均值和樣本方差,證明:隨機變量2,SX) 1()(ntTSXn例例4

10、.1.8(993) 設 是來自正態(tài)總體 X 的s.r.s,91,XX SYYiiZYXSXXXYXXY)(297222129873126161121,)(),(),(證明:統(tǒng)計量 Zt (2)返回例例4.1.9(994) 設 是來自總體nXX,1 的s.r.s, 是樣本均值,記),(2NXniinniinniinniinXSXSXXSXXS1212412112312122121121)(,)(,)(,)(則服從自由度為 n-1 的 t 分布的隨機變量是( )nSXnSXnSXnSXTTTT/1/1/4321返回 的s.r.s,而 分別是其樣本均值和樣本方差; 是取自總體 的s.r.s,而 分別

11、是其樣本均值和樣本方差;且這兩組樣本相互獨立,證明:隨機變量 2,YSY例例4.1.10 設 是取自總體2,XSX),2, 1(1niXi),(211N), 2 , 1(2njYj),(222N)2(2111)()(2121nntTnnSYXp其中:2) 1() 1(2212221nnSnSnpYXS(不妨稱為合樣本方差)。返回 例例4.1.11(974) 設隨機變量 X 和 Y 相互獨立且都服從正態(tài)分布 ,而和 分別是來自總體 X 和 Y 的 s.r.s,則統(tǒng)計量 服從( )分布,參數為( ).)9 ,0(N91,XX 91,YY 29Y21Y9X1XUt t9 9解解:),1 ,0(NX9

12、1X91ii)1 ,0(N3Yi故)9(Y91)3Y(Y291i2i91i2i 與 獨立,YX所以 )9( t9/YXU 返回F 分布及其性質分布及其性質1.1.定義定義 設隨機變量 隨機變量 且它們相互獨立,則稱隨機變量 的分布為自由度是 的 F 分布。記作),(12nX),(22nY21/nYnXF ),(21nn),(21nnFF2.性質性質:),(1),() 1 (1221nnFFnnFX則若(2) 設X1,X2, 和Y1,Y2, 分別是來自總體1nX2nY則的樣本和),2n ,n(),(NY),(NX21222211)1n , 1n(F/S/SF2122222121返回3.F3.F分

13、布的密度曲線分布的密度曲線4.F4.F分布的上側分布的上側( (右側右側) )分位數分位數Xf(x)設X , 對于給定(0)=,則稱為F分布的水平上側分位數,記為:)n ,n(F21)n ,n(F21)n ,n(F215.5.上側分位數的計算上側分位數的計算(1)若P(F)=,則)n ,n(F21(2)若P(F)=(比較大),則P(1/F1/)=1-,)n ,n(FX21),(1121nnF故),(1121nnF返回例例4.1.124.1.12 設F (24,15),分別求滿足.025. 0)3(;95. 0)2(;025. 0) 1 (的FPFPFP解解 (1)=F0.025(24,15)=

14、2.29(2)P(X)=0.05, 所以=F0.05(24,15)=2.70(3)P(X)=0.975,比較大,P(1/X1/)=0.02544. 2)24,15(F1025. 0所以=0.41返回 抽樣分布基本定理抽樣分布基本定理設 是來自總體 的 s.r.s,分別是樣本均值和樣本方差,則 nXXX,21),(2N2, SX),(NX2);1n(S )1n(222)1 ,0(Nn/X)1n( tn/SX返回 設XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互獨立,從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,樣本均值和樣本方差分別記為.S,Y;S,X2221)n,(NY),n,(NX22221211,

15、)YX(E21222121nnYDXD)YX(D)nn,(NYX22212121)1 , 0(Nnn)()YX(22212121返回設1,21nXXX為取自總體),(211NX的樣本，2,21nYYY是取自總體),(222NY的樣本，且兩組樣本相互獨立，則可證明：)1n , 1n(F)1 ,0(Nnn)(YX21SS2221212122222121返回當2221時，記2) 1() 1(212222112nnSnSnSp，則可證明：)2nn( tn1n1S)(YX2121p21返回3Excel實現實現(1) 利用Excel計算樣本均值、樣本方差、樣本標準差 Step1 在Excel數據編輯窗口中

16、，建立數據文件Step2 計算樣本平均調用 AVERAGE 函數： Step3 計算樣本方差調用 VAR 函數Step4 計算樣本標準差調用 STDEV 函數：4.1.0返回(2) 利用利用Excel計算四大分布的分位數計算四大分布的分位數 計算標準正態(tài)分布的上側分位數)1(NORMSINVz 計算)(2n的上側分位數)n ,(CHIINV)n(2 計算)(nt的上側分位數)n,2(TINV)n(t 計算),(21nnF的上側分位數)n ,n ,(FINV)n ,n(F2121返回 1. 頻率柱形圖頻率柱形圖(frequency histogram)首先, 對樣本值nxxx,21升序排列為 n

17、xxx21 , 稱1xxRn為樣本極差;其次, 選取a(略小于1x)和b(略大于nx), 則所有的樣本值全部落入區(qū)間,(ba內, 分該區(qū)間為m等份bcacmiccmii111, 2 , 1,(, 稱每一等份的長度mabh為組距;然后, 統(tǒng)計樣本值落入各等份的頻數in, 并求出頻率nnfii;最后, 在直角坐標平面以“組序號”為橫軸, 以if為縱軸畫柱形圖, 即得到頻率柱形圖. 畫平滑直線圖即得到總體X的密度近似曲線.第第4.2節(jié)節(jié) 分布密度的近似求法分布密度的近似求法返回 2.2. Excel實現實現Step1 樣本值輸入Excel數據編輯窗口并升序排列Step2 確定hmba,并將a輸入單元

18、格1B中, 選定單元格mBB :1, 依次單擊“編輯” 、“填充” 、 “序列”指令，在步長框輸入h, 單擊“確定”;Step3 選定單元格11:mCC, 輸入頻數分布公式Step4 計算11:mDD,計算公式為頻率 nCDiiStep5 以組別為橫軸, 以各組頻率為縱軸, 畫柱形圖Step6 按“圖形向導”工具, 選“自定義類型” 、 “平滑直線圖” 、“下一步” 、 “系列”, 通過刪除或填加直到滿意后單擊“完成” ，即得到密度近似曲線.4.2.0返回XP(),XE(),XN(,2)用所獲得的樣本值去估計參數取值稱為參數估計參數估計.參參數數估估計計點估計點估計區(qū)間估計區(qū)間估計用某一數值作

19、為用某一數值作為參數的近似值參數的近似值在要求的精度范圍內在要求的精度范圍內指出參數所在的區(qū)間指出參數所在的區(qū)間 數理統(tǒng)計的主要任務之一是依據樣本推斷總體數理統(tǒng)計的主要任務之一是依據樣本推斷總體.推斷的基本內容包括兩個方面推斷的基本內容包括兩個方面:一是依據樣本尋找一是依據樣本尋找總體未知參數的近似值和近似范圍總體未知參數的近似值和近似范圍;二是依據樣本二是依據樣本對總體未知參數的某種假設作出真?zhèn)闻袛鄬傮w未知參數的某種假設作出真?zhèn)闻袛?本章先本章先介紹求近似值和近似范圍的方法介紹求近似值和近似范圍的方法.第第4.3節(jié)節(jié) 期望與方差的點估計期望與方差的點估計返回 1. 點估計點估計 1.1.定

20、義定義設總體X分布函數為F(x;1,2,m), i為未知參數(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來自該總體的s.r.s,若以統(tǒng)計量 =i(x1,x2,xn)作為i的近似值,則稱 為i的估計值估計值( (抽樣后抽樣后) ),也稱 為i的估計量估計量( (抽樣前抽樣前) ).由于近似值(實數)與實數軸的點一一對應,姑且又稱 為i的點估計(量或值).iiii即即:選擇統(tǒng)計量選擇統(tǒng)計量估計量帶入樣本值帶入樣本值估計值X分布為F(x;)待估返回 容易明白容易明白,對同一個未知參數對同一個未知參數,采用不同的采用不同的方法找到的點估計可能不同方法找到的點估計可能不同,那么那么,自然要問自然要問:究究竟是

21、用哪一個更竟是用哪一個更“好好”些呢些呢?這里介紹三個評這里介紹三個評價標準價標準. 2. 估計量優(yōu)良性的評價標準估計量優(yōu)良性的評價標準標準一標準一:無偏性 設 為的一個點估計,若 則稱 為的一個無偏估計無偏估計.,)(E注意注意:無偏估計不是唯一存在.標準二標準二:有效性(方差最小性) 設 和 是 的兩個無偏估計,若 則稱 比 更有效2)()(21DD112返回例例4.3.1.設X1,X2,X3為來自總體X的簡單隨機樣 本,EX=,DX=2,驗證下列統(tǒng)計量哪個更有效.32133212211X31X32X21,X31X31X31,X21X21解解:X21X21EE21165EX65EX31EX

22、32EX21E3213,EXEX31EX31EX31E321221EX21EX21=EX=X21X21DD21121DX41DX41=DX/2=2/2同理, 3/DX91DX91DX91D23212所以21,為無偏估計量,DD212更有效.返回是來自X的s.r.s,試證: 為 的無偏估計,且 比 更有效.)nk( ,X ,Xk1iik121)(XE12nXX,1例例4.3.2 設總體X X 的方差存在證明證明:n1ii1)Xn1(EXEEinEXn1k1ii2)Xk1(EEikEXk1n1ii1)Xn1(DXDDi2DXnn1n2k1ii2)Xk1(DDi2DXkk1k2,21DD樣本樣本容量

23、容量越大越大,樣本樣本均值均值估計估計值越值越精確精確.返回注意注意 例例4.3.3 設 是參數的兩個互相獨立的無偏估計量,且 ,找出常數 使 也是的無偏估計,并使它在所有這種形狀的估計量中的方差最小.21,)(2)(21DD21,kk2211kk 類似地,設 是參數的兩個無偏估計量, 的相關系數為,可找出正數 使 也是的無偏估計,并使它在所有這種形狀的估計量中方差最小21,21222211,)(,)(DD21,kk2211kk返回標準三標準三:相合性(一致性) 設統(tǒng)計量 是未知參數 的點估 計量,樣本容量為 n ,若對任意 ,則稱 為 的相合 估計,又稱一致估計.1limpn, 0 相合性表

24、明相合性表明: :當樣本容量充分大時當樣本容量充分大時, ,事件事件“相合估計量充分接近被估計未知參數的概率相合估計量充分接近被估計未知參數的概率”接近于接近于1,1,換言之換言之, ,當樣本容量充分大時當樣本容量充分大時, ,事件事件“相合估計量與被估未知參數偏離較大相合估計量與被估未知參數偏離較大”的概的概率接近于零率接近于零. .以后以后, ,將概率很小的事件被稱為小將概率很小的事件被稱為小概率事件概率事件. .返回獨立同分布, 和 分別為樣本均值和樣本方差,則( ), 1()(,)(2niXDXEiiX2SnXX,1例例4.3.44.3.4 設 n 個隨機變量 是 的無偏估計量 不是

25、的無偏估計量S2S2 與 相互獨立 是 的相合估計量(即一致估計量)SXX返回 在實際中在實際中,常常以樣本均值作為總體均值的常常以樣本均值作為總體均值的點估計點估計,以樣本方差作為總體方差的點估計以樣本方差作為總體方差的點估計.3.期望和方差的點估計期望和方差的點估計期望的點估計期望的點估計:選擇估計量選擇估計量n1iiXn1X(1)無偏性(2)樣本容量越大,估計值 越有效方差的點估計方差的點估計:選擇估計量選擇估計量n1i2i2)XX(1n1S(無偏估計量)標準差的點估計標準差的點估計:選擇估計量選擇估計量n1i2i)XX(1n1S(非無偏估計量)注意注意:n1i2i20)XX(n1S(非

26、無偏估計量)返回例例4.3.54.3.5驗證: 是總體X方差的一個無偏估計; 不是方差的無偏估計.n1i2i2)XX(1n1Sn1i2i20)XX(n1S解:)X(nE)X(E1n1ES2n1i2i2n1i2i)XX(n1i2i2i)XXX2X(2n1iin1i2iXnXX2X2n1i2iXnX)X(E1nnEX1nn22)XE(XD)EX(DX1nn22XDDX1nnnDXDX1nn=DX所以,S2為DX的無偏估計量.ES2=DX,Sn1nS220故220ESn1nESDXn1n 所以, 不是DX的無偏估計量.20S返回 點估計有使用方便、直觀等優(yōu)點點估計有使用方便、直觀等優(yōu)點,但他但他并沒

27、有提供關于估計精度的任何信息并沒有提供關于估計精度的任何信息,為此為此提出了未知參數的區(qū)間估計法提出了未知參數的區(qū)間估計法. 如如:對明年小麥的畝產量作出估計為: 即即:若設X表示明年畝產量,則估計結果為P(800X1000)=80%明年小麥畝產量八成為明年小麥畝產量八成為800-1000斤斤.區(qū)間估計區(qū)間估計第第 4.4 節(jié)節(jié) 期望、方差的區(qū)間估計及期望、方差的區(qū)間估計及Excel實現實現返回1. 區(qū)間估計的定義區(qū)間估計的定義設總體分布中含有未知參數 ,根據來自該總體的s.r.s ,如果能夠找到兩個統(tǒng)計量 ,使得隨機區(qū)間 包含 達到一定的把握,那么,便稱該隨機區(qū)間為未知參數的區(qū)間估計區(qū)間估計

28、.即 當 成立時, 稱概率 為置信度或置信水平置信度或置信水平; 稱 為置信系數置信系數; 稱區(qū)間 是 的置信度為 的置信區(qū)間置信區(qū)間; ; 分別稱為分別稱為置信下限置信下限和和置信上限置信上限. .21,),(21,121P) 10 (1)%1 (100),(21121,返回注意注意:點估計給出的是未知參數的一個近似值;區(qū)間估計給出的是未知參數的一個近似范圍,并且知道這個范圍包含未知參數值的可靠程度. 例例4.4.1 總體均值 的95%置信區(qū)間的意義是( )這個區(qū)間平均含總體的95%的值這個區(qū)間平均含樣本的95%的值這個區(qū)間有95%的機會含 的真值這個區(qū)間有95%的機會含樣本均值.返回例例4

29、.4.2 總體分布中未知參數 的 置信區(qū)間為 ,則在下列說法中,正確的說法有( )個),(2112 3 4 5說法1: 以概率 包含 ; 說法2: 以概率 落入 ; 說法3: 不包含 的概率為 ; 說法4: 以 的概率落在 之外; 說法5: 以 估計 所在范圍時,所犯錯誤的概率為),(211),(211),(21),(21),(21返回例例4.4.3.設總體XN(,2),其中 2已知,X1,X2,Xn為X 的 一個樣本,求一個區(qū)間,使之以1-的 概率 包含的真值.解解(1)選擇包含選擇包含的分布已知函數的分布已知函數:nXZ/(2)構造構造Z的的 一個一個1-區(qū)間區(qū)間:不妨設P(|Z|)=1-

30、,則2z21)(2 z為Z的/2上側分位數即1)/(22znXzP)1 ,0(N(3)變形得到變形得到的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:1)(22nzXnzXP所求1-置信區(qū)間為),(22nzXnzX返回 /2 /2X(x)1-=z/2-P(|Z|)=1- 置信區(qū)間不是唯一的.對于同一個置信度,可以有不同的置信區(qū)間.置信度相同時,當然置信區(qū)間越短越好.一般來說,置信區(qū)間取成對稱區(qū)間或概率對稱區(qū)間.注意注意:1-返回2. 求置信區(qū)間的方法與步驟求置信區(qū)間的方法與步驟: 第一步第一步 構造一個含未知參數的分布已知的隨機變量(樣本的函數)Z,Z中除待估參數外不含其它任何未知參數,一般是從未知參數的點估計著手

31、,再進行加工來構造; 第二步第二步 對給定的置信度 ,根據Z的分布定出滿足 的a,b(叫分位數或臨界點);11bZaP 第三步第三步 利用不等式變形,求出未知參數的 置信區(qū)間.1返回3.3.一個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計一個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計: : (1)選擇包含選擇包含的分布已知函數的分布已知函數:(2)構造構造Z的的 一個一個1-區(qū)間區(qū)間:1)/(22znXzPnXZ/)1 ,0(N (3)變形得到變形得到的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:),(22nzXnzX設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，1）2已知已知,求求的自信度為的自信度為1-置信區(qū)間：置信區(qū)間：21)(2

32、 z返回例例4.4.4.設總體XN( ,0.92),X1,X2,X 9為來自總體的簡單隨機樣本，樣本均值為5，求的置信度為95%的置信區(qū)間。解解:由題意得:, 5 . 0,9 . 0, 5X22這是方差已知的總體均值的區(qū)間估計，結果為),(22nzXnzX其中n=9975. 0)(2zz0.025=1.96,代入得nzX24.412,nzX25.588,所求置信區(qū)間為(4.412，5.588)返回設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，2）2未知未知,求求的置信度為的置信度為1-置信區(qū)間：置信區(qū)間： (1)選擇包含選擇包含的分布已知函數的分布已知函數:(2)構造構造T的的 一個一個

33、1-區(qū)間區(qū)間: (3)變形得到變形得到的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:n/SXT)1n( t) 1n (t2/Xf(x)/2/21)1n(t|T(|P2/1nS)1n(tXnS)1n(tXP2/2/)nS)1n(tX,nS)1n(tX(2/2/1-返回例例4.4.5設正態(tài)總體的方差為1, 根據取自該總體的容量為100的樣本計算得到樣本均值為5, 求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間.Excel求置信區(qū)間使用 CONFIDENCE 函數, 其語法格式如下:CONFIDENCE(, n) = 2zn置信下限為: X CONFIDENCE(, n)置信上限為: X CONFIDENCE(, n)4.4.

34、5返回4.4.6例例4.4.6 某種零件的重量服從正態(tài)分布. 現從中抽取容量為16的樣本, 其觀測到的重量(單位: 千克)分別為4.8, 4.7, 5.0, 5.2, 4.7, 4.9, 5.0, 5.0, 4.6, 4.7, 5.0, 5.1, 4.7,4.5, 4.9, 4.9. 需要估計零件平均重量, 求平均重量的區(qū)間估計, 置信系數是0.95.返回設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，3）求）求2置信度為置信度為1-的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：(1) 總體均值總體均值已知已知2的無偏估計為niinX1212)(, 且)(222nnQ, 對給定的, 由于 1)()(22122n

35、QnP,解不等式 )()(22122nQn, 可得2的置信度為1的置信區(qū)間是:)n()X(,)n()X(21n1i2i2n1i2i22返回Xf(x) (a)選擇包含選擇包含2的分布已知函數的分布已知函數: (c)變形得到變形得到2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:222) 1(Sn)1n(21221P/2/21-121-/2)1n(22) 1n(2121)1n(S)1n()1n(P2222212)S)1n(,S)1n()1n(2122)1n(222 (2) 總體均值總體均值未知未知(b)構造構造 的的 一個一個1-區(qū)間區(qū)間:2返回例例4.4.7 投資的回收利用率常常用來衡量投資的風險. 隨機地調查了2

36、6個年回收利潤率(%), 標準差(%). 設回收利潤率為正態(tài)分布, 求它的方差的區(qū)間估計(置信系數為0.95).4.4.7返回4.4.兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計: :設原總體XN(1,12),改變后的總體Y N(2,22),X, Y相互獨立,從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,樣本均值和樣本方差分別記為.,;,2221SYSX1) 12, 22已知已知, 1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:) 1 , 0 (/)()(22212121NnnYXZ (1)選擇包含選擇包含1- 2的分布已知函數的分布已知函數:(2)構造構造Z的的 一個一個1-區(qū)間區(qū)間: (3)變形得到

37、變形得到1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:1)(22zZzP)(,)(22212122221212nnzYXnnzYX21)(2 z返回2) 12,=22=2, 2未知未知,1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:) 2(/ 1/ 1)()(212121nntnnSYXTP (1)選擇包含選擇包含1- 2的分布已知函數的分布已知函數:(2)構造構造T的的 一個一個1-區(qū)間區(qū)間: (3)變形得到變形得到1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:)11) 2()(,11) 2()(21212121nnSnntYXnnSnntYXPP1)2nn(t|T(|P21返回(三三) 當當21和和22均未知均未知, 但但 nnn21, 1-2的區(qū)間估計的區(qū)間估計令iiiYXZ, 則),(222121NZi,將nZZZ,21視為取自總體),(222121NZ的樣本,可得1-2的置信度為1的置信區(qū)間是)1n(tnSZ),1n(tnSZ(22zz其中 niinzZZSYXZ12112)(,3)返回例例 4.4.84.4.8某工廠利用兩條自動化流水線灌裝番茄醬, 分別從兩條流水線上抽取隨機樣本:1221,XXX和1721,YYY, 計算出6 .10X(克), 5