高等數(shù)學(xué)A-第1章-8-2(數(shù)列的極限)

1、中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A1.2 1.2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限1.2.1 數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念 1.2.2 數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)1.2 1.2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限1.2.1 數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念 數(shù)列的定義數(shù)列的定義數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義實(shí)例與描述性定義實(shí)例與描述性定義數(shù)列極限的精確定義數(shù)列極限的精確定義數(shù)列極限的幾何解釋數(shù)列極限的幾何解釋用定義驗(yàn)證數(shù)列極限用定義驗(yàn)證數(shù)列極限步驟步驟數(shù)列的極限習(xí)例數(shù)列的極限習(xí)例1-61.2.2 數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)極限的唯一性極限的唯一性 收斂數(shù)

2、列的有界性收斂數(shù)列的有界性收斂數(shù)列的保號(hào)性收斂數(shù)列的保號(hào)性 收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系系數(shù)列極限數(shù)列極限概念的引入概念的引入一、數(shù)列極限一、數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”(1)(1)割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS(2)(2)截丈問(wèn)題：截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”1. 數(shù)列的定義數(shù)列的定義按一定順序排列的

3、無(wú)窮多個(gè)數(shù)按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù),21nxxx .,nnxx或或記為記為稱為無(wú)窮數(shù)列稱為無(wú)窮數(shù)列.項(xiàng)項(xiàng)稱稱為為數(shù)數(shù)列列的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)或或通通項(xiàng)項(xiàng)第第nxn例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33,3 從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列是以自然數(shù)為自變量的整標(biāo)函數(shù)從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列是以自然數(shù)為自變量的整標(biāo)函數(shù))(nfxn 從幾何上看，數(shù)列是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)從幾何上看，數(shù)列是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn).1x2x3x4xnxx數(shù)列的單調(diào)性數(shù)列的單調(diào)性: ;,21單單增增則則

4、稱稱若若nnxxxx .,21單單減減則則稱稱若若nnxxxx 數(shù)列的有界性數(shù)列的有界性: .,;, 0無(wú)無(wú)界界則則稱稱不不存存在在若若這這樣樣的的有有界界則則稱稱都都有有使使得得對(duì)對(duì)一一切切若若存存在在nnnnxMxMxxM 實(shí)例分析與描述性定義實(shí)例分析與描述性定義 nxnn1)1(1 )1( nxn )2(1)1( )3( nnx思考思考1:當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn1無(wú)限接近無(wú)限接近nx無(wú)限增大無(wú)限增大nx不不確確定定上上跳跳動(dòng)動(dòng)在在,1, 1 nx思考思考2:“無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什

5、么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它它.,1 1來(lái)來(lái)度度量量的的接接近近程程度度可可用用與與 nnxx .1,1就就越越接接近近與與越越小小nnxx 2. 數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義 1nxnnn11)1(1 . 1,1,就就越越接接近近從從而而越越小小越越大大當(dāng)當(dāng)可可見(jiàn)見(jiàn)nxnn,10011 nx要要使使;100 n只只要要,100011 nx要使要使;1000 n只要只要,1000011 nx要要使使;10000 n只要只要,1成立成立要使要使 nx).1( Nn只要只要,1,1, 0 nxNnN時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng) .1,無(wú)無(wú)限限接接近近無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)此此時(shí)時(shí)達(dá)達(dá)到到

6、了了nxn定義定義)(N ,axn及及常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)列列, 0, 0成成立立時(shí)時(shí)有有當(dāng)當(dāng)若若 axNnNn記記為為收收斂斂于于的的極極限限或或稱稱是是數(shù)數(shù)列列則則稱稱.axxannaxnn lim)( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)或或 naxn數(shù)列極限的精確定義數(shù)列極限的精確定義 注意注意:;)1(的的無(wú)無(wú)限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式axaxnn ;, ,)2(都都不不能能說(shuō)說(shuō)明明這這種種無(wú)無(wú)限限性性因因?yàn)闉槿稳魏魏我灰粋€(gè)個(gè)確確定定的的數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)就就要要引引進(jìn)進(jìn)任任意意小小的的正正接接近近的的無(wú)無(wú)限限性性與與要要描描述述 axn;, ;:)3(N確確定定是是否否存存在在對(duì)對(duì)指指定定的的定定另另一一

7、方方面面給給定定后后相相對(duì)對(duì)穩(wěn)穩(wěn)一一方方面面任任意意具具有有兩兩重重性性 ;),(,)4(唯唯一一確確定定但但并并不不由由可可記記為為的的指指定定而而確確定定隨隨 NN(5)數(shù)列極限的定義沒(méi)有給出求極限的方法，只能驗(yàn)證數(shù)列極限的定義沒(méi)有給出求極限的方法，只能驗(yàn)證.數(shù)列極限的幾何解釋數(shù)列極限的幾何解釋 , axNnn時(shí)時(shí)由由 axaNnn時(shí)時(shí)有有可可得得.),(21鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)的的都落在都落在的的即所有下標(biāo)大于即所有下標(biāo)大于 axxxNNNn x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa, ),(21Nxxxaa外只有有限項(xiàng)外只有有限項(xiàng)這樣在這樣在 而在其內(nèi)有無(wú)窮多項(xiàng)而在其內(nèi)有無(wú)窮多項(xiàng). 且隨著

8、且隨著 越小，越小，N 越大，則在越大，則在(a ，a )外的項(xiàng)就越多，但不管怎么多都只可能是外的項(xiàng)就越多，但不管怎么多都只可能是有限項(xiàng)有限項(xiàng). 步驟步驟:)(| )1(naxn 放大并化簡(jiǎn)放大并化簡(jiǎn),| , 0)2( axn要要使使,)( n只只要要),( Nn 解解得得 .1)( , 1)( ,)( NNNNNN或或或或取取(3)得出結(jié)論得出結(jié)論: .,成成立立有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) axNnn.limaxnn 3. 用定義驗(yàn)證數(shù)列極限用定義驗(yàn)證數(shù)列極限,)( n由由用數(shù)列極限的定義驗(yàn)證下列數(shù)列的極限：用數(shù)列極限的定義驗(yàn)證下列數(shù)列的極限：11)1(lim . 1 nnnn證證明明例例0sinlim

9、. 2 nnn證證明明例例. 1, 0lim . 3 qqnn其中其中證明證明例例32361lim . 4 nnn證證明明例例21)(lim .52 nnnn證證明明例例.0lim ,0lim , .6 nnnnnnyxyx證證明明有有界界設(shè)設(shè)例例,1 n只只要要.1 n即即,1 N取取, 1)1( , 1成成立立有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnNnn. 1)1(lim1 nnnn. 11)1(lim . 1 nnnn證證明明例例證明證明:,11)1( 1nnnn , 0 ,1)1( 1 nnn要要使使. 0sinlim . 2 nnn證證明明例例證明證明:,1sin0sinnnnnn , 0 ,0sin

10、nn要要使使,1 n只只要要,1 n即即,1 N取取, 0sin , 成立成立有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnNn0sinlimnnn. 1, 0lim . 3 qqnn其中其中證明證明例例證明證明: .0時(shí)時(shí)結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立 q, 0 , nq只要只要,0 nq要要使使,lnln qn即即,lnlnqn ,lnlnqN 取取, 0 , 成成立立有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nqNn. 0lim nnq,0時(shí)時(shí) q,0 nnqq . 32361lim . 4 nnn證證明明例例證明證明: nnn2310)3(2361 ,5n , 0 ,)3(2361 nn要要使使,5 n只只要要.5 n即即,5 N取取, )3(2

11、361 ,成成立立有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnNn32361limnnn.21)(lim . 52 nnnn證證明明例例證明證明: 212122 nnnnnnn)(222nnnnnn 22)(2nnnn n21 , 0 212nnn要要使使,21 n只要只要.21 n即即,21 N取取, 21 ,2成成立立有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnNn21)(lim2 nnnn例例6. 0lim , 0lim , nnnnnnyxyx證明證明有界有界設(shè)設(shè)證明證明:0, , 有界有界nx . , , 0MxxMnn 都都有有對(duì)對(duì)于于 , 0lim nny又又. , , 0, 0MyNnNMn 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于.0 MMyx

12、yxnnnn. 0lim nnnyx定理定理1(極限的唯一性極限的唯一性) 如果一數(shù)列收斂，那么它的極限唯一如果一數(shù)列收斂，那么它的極限唯一. ,lim , lim babxaxnnnn 則則即即若若證明：證明：用反證法用反證法. 假設(shè)：假設(shè)：. 不妨設(shè) , 且,lim,limbababxaxnnnn于是有取, 02/ )(ab,2 , ,011 axNnNn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),2 , ,022 bxNnNn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 則則有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)取取 , ,max 21NnNNN .22)()(abaxbxaxxbabnnnn. ba 4. 數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)這一矛盾證明了這一矛盾證明了:定理定理

13、2(有界性有界性) 收斂數(shù)列必有界收斂數(shù)列必有界. 證明證明: ,limaxnn 1 , , 0, 1 axNnNn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)取取, Nn 對(duì)于對(duì)于aaaxaaxxnnn 1)( 1 , ,., max 1axxMN 取取. , Mxxnn 都都有有對(duì)對(duì)于于一一切切. 是是有有界界的的nx推論：無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散推論：無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.定理定理3(收斂數(shù)列的保號(hào)性收斂數(shù)列的保號(hào)性)證明證明:,limaxnn 2/ , , 0, 02/ aaxNnNan有時(shí)當(dāng)取 ),0 或( 0且 ,lim 如果aaaxnn). 0或( 0都有 , 當(dāng) , 0整數(shù)那么nnxxNnN時(shí)存在不妨假設(shè)不妨假設(shè) ，0a

14、022naaxa , 時(shí)從而，當(dāng)Nn 推論：推論：如果數(shù)列從某項(xiàng)起有如果數(shù)列從某項(xiàng)起有 ，且，且 ,axnnlim) 0或( 0nnxx). 0或( 0aa那么有.lim ,lim axaxknknn 則則即即若若定理定理4 .,aaxn于于則則它它的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列收收斂斂收收斂斂于于若若數(shù)數(shù)列列注意注意:(1)定理定理1的幾何解釋：的幾何解釋： .,),(, ),(,為為極極限限即即不不以以的的有有限限個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)只只有有則則在在限限個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)無(wú)無(wú)的的后后的的內(nèi)內(nèi)有有下下標(biāo)標(biāo)大大于于在在為為極極限限若若數(shù)數(shù)列列以以bxbUxNaUann (2)定理定理2為必要條件定理，反過(guò)來(lái)，有界數(shù)列不一定收斂為必要條