北京市海淀區(qū)高三上期末數(shù)學(xué)理

1、2018北京市海淀區(qū)高三（上）期末 數(shù)學(xué)（理科） 2018. 1本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將答題紙交回。第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）復(fù)數(shù) （A）（B）（C）（D）（2）在極坐標(biāo)系中，方程表示的圓為 （A） （B） （C） （D）（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 （A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7（4）設(shè)是不為零的實數(shù)，則“”是“方程表示雙曲線”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要

2、條件（D）既不充分也不必要條件（5）已知直線與圓：相交于，兩點，且為正三角形，則實數(shù)的值為（A）（B） （C）或（D）或 （6）從編號分別為1，2，3，4，5，6的六個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球，則恰有兩個小球編號相鄰的概率為（A）（B）（C）（D）（7）某三棱錐的三視圖如圖所示，則下列說法中： 三棱錐的體積為 三棱錐的四個面全是直角三角形 三棱錐四個面的面積中最大的值是所有正確的說法是（A） （B） （C） （D）（8）已知點為拋物線：的焦點，點為點關(guān)于原點的對稱點，點 在拋物線上，則下列說法錯誤的是（A）使得為等腰三角形的點有且僅有4個（B）使得為直角三角形的點有且僅有4個（C

3、）使得的點有且僅有4個（D）使得的點有且僅有4個 第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）點到雙曲線的漸近線的距離是_ .（10）已知公差為的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則的前100項的和 為 （11）設(shè)拋物線：的頂點為，經(jīng)過拋物線的焦點且垂直于軸的直線和拋物線交于A，B兩點，則 （12）已知展開式中，各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64：1，則 （13）已知正方體的棱長為，是棱的中點，點在底面內(nèi)，點在線段上.若，則長度的最小值為 （14）對任意實數(shù) ，定義集合. 若集合表示的平面區(qū)域是一個三角形，則實數(shù)的取值范圍是 ； 當(dāng)時，若對任意的，有恒成立，且

4、存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）如圖，在DABC中，點在邊上，且，.（）求的值；（）求的值. （16）（本小題13分）據(jù)中國日報網(wǎng)報道：2017年11月13日，TOP500發(fā)布的最新一期全球超級計算機500強榜單顯示，中國超算在前五名中占據(jù)兩席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了國產(chǎn)處理器.為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度，某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進(jìn)行了12次測試，結(jié)果如下：（數(shù)值越小，速度越快，單位是MIPS）測試1測試2測試3測試4測試5測試6測試7測試8測試9測

5、試10測試11測試12品牌3691041121746614品牌2854258155121021（）從品牌的12次測試結(jié)果中，隨機抽取一次，求測試結(jié)果小于7的概率；（）在12次測試中，隨機抽取三次，記為品牌的測試結(jié)果大于品牌的測試結(jié)果 的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 ；（）經(jīng)過了解，前6次測試是打開含有文字與表格的文件，后6次測試是打開含有文字 與圖片的文件.請你依據(jù)表中數(shù)據(jù)，運用所學(xué)的統(tǒng)計知識，對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進(jìn)行評價.（17）（本小題14分）如圖1，梯形中，為中點.將沿翻折到的位置， 使如圖2.（）求證：平面平面；（）求與平面所成角的正弦值；（）設(shè)、分別為和的中點，試比較三

6、棱錐和三棱錐（圖中未畫出）的體積大小，并說明理由. 圖1 圖2（18）（本小題13分） 已知橢圓：，點. （）求橢圓的短軸長與離心率；（）過（1，0）的直線與橢圓相交于、兩點，設(shè)的中點為，判斷與的大小，并證明你的結(jié)論.（19）（本小題14分）已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程； （）當(dāng)時，求證：函數(shù)有且只有一個零點；（）當(dāng)時，寫出函數(shù)的零點的個數(shù).（只需寫出結(jié)論）（20）（本小題13分）無窮數(shù)列滿足：為正整數(shù)，且對任意正整數(shù)n，為前n項中等于的項的個數(shù).（）若，請寫出數(shù)列的前7項；（）求證：對于任意正整數(shù)M，必存在，使得；（）求證：“”是“存在，當(dāng)時，恒有成立”的充要條件.數(shù)學(xué)試題答案一、選擇

7、題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678選項ADBADCDC二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.(有兩空的小題第一空3分)（9）（10）5050（11）2（12）6（13）（14） 三、解答題: 本大題共6小題，共80分.15. （本小題13分）解：（）如圖所示，.1分故， .2分 設(shè)，則，. 在中，由余弦定理 .3分 即， .4分解得，即. .5分（）方法一. 在中，由，得，故 .7分 在中，由正弦定理 即，故， .10分由，得， .11分 13分方法二. 在中，由余弦定理 .8分 由，故 故 .11分 故 13分 方法三：， 8分因為，所以11分所以13

8、分16. （本小題13分）（）從品牌的12次測試中，測試結(jié)果打開速度小于7的文件有：測試1、2、5、6、9、10、11，共7次設(shè)該測試結(jié)果打開速度小于7為事件，因此 .3分（）12次測試中，品牌的測試結(jié)果大于品牌的測試結(jié)果的次數(shù)有：測試1、3、4、5、7、8，共6次隨機變量所有可能的取值為：0，1，2，3 .7分隨機變量的分布列為0123 .8分 .10分（）本題為開放問題，答案不唯一，在此給出評價標(biāo)準(zhǔn)，并給出可能出現(xiàn)的答案情況，閱卷時按照標(biāo)準(zhǔn)酌情給分.給出明確結(jié)論，1分；結(jié)合已有數(shù)據(jù)，能夠運用以下8個標(biāo)準(zhǔn)中的任何一個陳述得出該結(jié)論的理由，2分.13分.標(biāo)準(zhǔn)1: 會用前6次測試品牌A、品牌B的

9、測試結(jié)果的平均值與后6次測試品牌A、品牌B的測試結(jié)果的平均值進(jìn)行闡述（這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的測試結(jié)果的平均值均小于打開含有文字和圖片的文件的測試結(jié)果平均值；這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的平均速度均快于打開含有文字和圖片的文件的平均速度）標(biāo)準(zhǔn)2: 會用前6次測試品牌A、品牌B的測試結(jié)果的方差與后6次測試品牌A、品牌B的測試結(jié)果的方差進(jìn)行闡述（這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的測試結(jié)果的方差均小于打開含有文字和圖片的文件的測試結(jié)果的方差；這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件速度的波動均小于打開含有文字和圖片的文件速度的波動）標(biāo)準(zhǔn)3：會用品牌A前6

10、次測試結(jié)果的平均值、后6次測試結(jié)果的平均值與品牌B前6次測試結(jié)果的平均值、后6次測試結(jié)果的平均值進(jìn)行闡述（品牌A前6次測試結(jié)果的平均值大于品牌B前6次測試結(jié)果的平均值，品牌A后6次測試結(jié)果的平均值小于品牌B后6次測試結(jié)果的平均值，品牌A打開含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打開含有文字和圖形的文件的速度快于品牌B）標(biāo)準(zhǔn)4：會用品牌A前6次測試結(jié)果的方差、后6次測試結(jié)果的方差與品牌B前6次測試結(jié)果的方差、后6次測試結(jié)果的方差進(jìn)行闡述（品牌A前6次測試結(jié)果的方差大于品牌B前6次測試結(jié)果的方差，品牌A后6次測試結(jié)果的方差小于品牌B后6次測試結(jié)果的方差，品牌A打開含有文字和表格的文件的速度波

11、動大于品牌B，品牌A打開含有文字和圖形的文件的速度波動小于品牌B）標(biāo)準(zhǔn)5：會用品牌A這12次測試結(jié)果的平均值與品牌B這12次測試結(jié)果的平均值進(jìn)行闡述（品牌A這12次測試結(jié)果的平均值小于品牌B這12次測試結(jié)果的平均值，品牌A打開文件的平均速度快于B）標(biāo)準(zhǔn)6：會用品牌A這12次測試結(jié)果的方差與品牌B這12次測試結(jié)果的方差進(jìn)行闡述（品牌A這12次測試結(jié)果的方差小于品牌B這12次測試結(jié)果的方差，品牌A打開文件速度的波動小于B）標(biāo)準(zhǔn)7：會用前6次測試中，品牌A測試結(jié)果大于（小于）品牌B測試結(jié)果的次數(shù)、后6次測試中，品牌A測試結(jié)果大于（小于）品牌B測試結(jié)果的次數(shù)進(jìn)行闡述（前6次測試結(jié)果中，品牌A小于品牌B

12、的有2次，占1/3. 后6次測試中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打開含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打開含有文字和圖片的文件的速度快于B）標(biāo)準(zhǔn)8：會用這12次測試中，品牌A測試結(jié)果大于（小于）品牌B測試結(jié)果的次數(shù)進(jìn)行闡述（這12次測試結(jié)果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2. 故品牌A和品牌B打開文件的速度相當(dāng)）參考數(shù)據(jù)期望前6次后6次12次品牌A5.509.837.67品牌B4.3311.838.08品牌A與品牌B4.9210.83方差前6次后6次12次品牌A12.30 27.37 23.15 品牌B5.07 31.77 32.08 品牌A與品牌B8.27 27.

13、97 17. （本小題14分）（）證明：由圖1，梯形中，為中點，故圖2， .1分因為，平面 .2分 所以平面 .3分因為平面，所以平面平面 .4分（） 解一：取中點，連接，. 因為在中，為中點 所以 因為平面平面 平面平面平面所以平面因為在正方形中，、分別為、的中點，所以建系如圖. 則，.5分 ， 設(shè)平面的法向量為，則 ，即，令得， 所以是平面的一個方向量. .7分 .9分所以與平面所成角的正弦值為. .10分（） 解二：在平面內(nèi)作，由平面，建系如圖. 則，. .5分 ， 設(shè)平面的法向量為，則 ，即，令得， 所以是平面的一個方向量. .7分 .9分所以與平面所成角的正弦值為. .10分（）解：

14、三棱錐和三棱錐的體積相等. 理由如下:方法一：由，知，則.11分因為平面， .12分所以平面. .13分故點、到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，所以體積相等. .14分方法二：如圖，取中點，連接，. 因為在中，分別是，的中點，所以 因為在正方形中，分別是，的中點，所以因為，平面，平面 所以平面平面 .11分 因為平面， .12分所以平面 .13分故點、到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，所以體積相等. .14分 法二 法三方法三：如圖，取中點，連接，. 因為在中，分別是，的中點，所以且 因為在正方形中，是的中點，所以且 所以且，故四邊形是平行四邊形，故.11分因為平面，平面， .12分所

15、以平面. .13分故點、到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，所以體積相等. .14分18. （本小題13分）解：（）：，故，有，. .2分 橢圓的短軸長為， .3分離心率為. .5分（）方法1：結(jié)論是：. 當(dāng)直線斜率不存在時，.7分當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線：， ，整理得： .8分 故， .9分 .13分 故，即點在以為直徑的圓內(nèi)，故 （）方法2：結(jié)論是：. 當(dāng)直線斜率不存在時，.7分當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線：， ，整理得： .8分 故， .9分，.10分.11分 .12分 此時， .13分 故19. （本小題14分）（）因為函數(shù)所以 .2分 故， .4分 曲線在處的切線方程為 .5分（）當(dāng)時

16、，令，則 .6分故是上的增函數(shù). .7分 由，.8分故當(dāng)時，當(dāng)時，.即當(dāng)時，當(dāng)時，. 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. .10分函數(shù)的最小值為 由， .11分故有且僅有一個零點. （）當(dāng)時，有兩個零點. .12分當(dāng)時，有一個零點；.13分當(dāng)時，有兩個零點. .14分 20. （本小題13分）（）若，則數(shù)列的前7項為2，1，1，2，2，3，1 3分（）證法一假設(shè)存在正整數(shù)，使得對任意的，. 由題意，故數(shù)列多有個不同的取值5分 考慮數(shù)列的前項： ， 其中至少有項的取值相同，不妨設(shè) 此時有：，矛盾. 故對于任意的正整數(shù)，必存在，使得. 8分（）證法二假設(shè)存在正整數(shù)，使得對任意的，. 由題意，故數(shù)列多有個不同的取值5分 對任意的正整數(shù)，數(shù)列中至多有項的值為，事實上若數(shù)列中至少有項的值為，其項為 此時有：，矛盾. 故數(shù)列至多有項，這與數(shù)列有無窮多項矛盾。故對于任意的正整數(shù)，必存在，使得.8分（）充分性：若，則數(shù)列的項依次為， ，特別地，數(shù)列的通項公式為，即故對任意的（1）若為偶數(shù)，則（2）若為奇數(shù)，則綜上，恒成立，特別地，取有當(dāng)時，恒有成立（10分） 必要性： 方法一假設(shè)存在（），使得“存在，當(dāng)時，恒有成立”則數(shù)列的前項為 ， 后面的項順次為 ，故對任意的，對任意的，取，其中表示不超過的最大整數(shù)，則 ，令，則，此時，有，這與矛盾，故若存在，當(dāng)時，恒有成立，必有 13分方法二 若存