動力系統(tǒng)的概念

1、動力系統(tǒng)的概念 這一章是對于事實的調(diào)查，而且來源于應用于全書的動力系統(tǒng)理論。我們的主要目的是為后面的章節(jié)確定固定使用的常用符號和專業(yè)術語，并且回想一些常常在課本的前言中不被討論的理論的一些方面。為了更容易的閱讀，我們保持討論時采用非專業(yè)術語，并盡可能地避免技術上的符號和觀點。然而許多遺漏的細節(jié)可以從研究生使用的動力系統(tǒng)的課本的前言中找到，一些更加先進的課題僅僅在研究性的文章中涉及到。在某些情況下，我們將提供一些在更深的章節(jié)中關于這個主題的參考。另外，我們鼓勵讀者使用附錄A和B作為基于不同的幾何和函數(shù)分析的參考。1.1 流量，映射，動力系統(tǒng)對于任意的集合P，一個變換群中的任意的一個參數(shù)t屬于實數(shù)

2、，如果對于所有的屬于集合P，并且對于任意的 , 屬于實數(shù)都成立,則被稱為一個流。這兩個屬性表明和它的逆是不可以轉(zhuǎn)化的。這一組合叫做基于空間P的一個連續(xù)的動力系統(tǒng)。換句話說，一個連續(xù)的動力系統(tǒng)包括一個可能狀態(tài)集合和唯一決定將來狀態(tài)的當前的狀態(tài)函數(shù)x的變化規(guī)則。通過x這一點的變化軌跡是集合。一個固定點的流是一個點且對于任意的都成立。這個流的一個周期的軌跡就是通過這一點x對于那些存在的正數(shù)T,并且滿足的這樣的軌跡。如果用以上所說的映射族定義只需，且對于所有的t，s滿足和，則叫做半流形。注：半流形通常是不可逆的，動力系統(tǒng)的一個典型的特征是在無窮大的空間中是確定的。當有單獨向映射且存在時，離散動力系統(tǒng)是

3、確定的。這樣的系統(tǒng)還有一些性質(zhì)即通過的迭代次數(shù)可以得出唯一的當前狀態(tài)決定所有的將來狀態(tài)。這時的取值范圍是確定的在集合中，其中。上面離散動力系統(tǒng)的定點是點且的點。k點的周期是對于點有且對于所有的有。對于，的極限集合是確定的，。如果是可逆的，則的極限集合可以定義的關于極限級。 注：連續(xù)型動力系統(tǒng)的一一映射定義與離散型動力系統(tǒng)在相同的拓撲空間中。一一映射不能得到基礎流量的全部性質(zhì)，但是能夠繼承很多相似的特征。 另一個龐加萊映射提供了流的頻閃圖片，它的構造如下：假設是上的一個開集合，是在中一個超曲面（即光滑的維流行）。假設的任意軌道，橫向的相交于一點是不同于的。然后第一個返回時間是確定的對于即。映射

4、叫做第一返回映射或龐加萊映射設聯(lián)系在一起的流量。超曲面通常被稱作相應的龐加萊截面。一一映射和第一返回映射和基礎流和龐加萊截面一樣光滑。 1.2 常微分方程和動力系統(tǒng)這本書大部分敘述的常微分方程形式 (1.1)這里，是一個充分光滑的向量場確定的。集合叫做方程的象空間，同時叫做擴充相空間。 常微分方程叫做獨立存在的如果沒有明確的時間相依性，如下。流量和自治的方程結合起來單參數(shù)變換群，表示為解決的初始狀態(tài)，如下，。根據(jù)常微分方程的基本理論，函數(shù)的像（1.1）的右邊一樣光滑，同時關于也是光滑的。如果依賴于形狀的參數(shù)，那么也是類的隨著關于那些參數(shù)的變量。 非自治的常微分方程不能產(chǎn)生流，因為解明確取決于初

5、始時間且。其結果是，我們可以得到在一般情況下。然而，產(chǎn)生的映射具有兩個參數(shù)的集合存在，解的唯一性能保證和流類似的性能因為 注：在擴充的相空間上擴充的常微分方程，認為流。 和常微分方程（1.1）等價的公式是積分方程 （1.2）作為未知函數(shù)。一些方程承認自治的線性項在它們的右邊，當常微分方程能夠?qū)懗桑拖鄳姆e分方程 (1.3)這個公式可以通過改進非齊次的，線性常微分方程的通解獲得。積分方程是在估計進展的解之間的距離或關于初始條件或參數(shù)的偏導數(shù)非常有用的。例如，一個有連續(xù)獨立解的常微分方程的初始條件能夠涉及到在積分方程（1.2）中，寫作當特定領域，是一個利普希茨常數(shù)然后，通過格朗瓦爾不等式，我們得

6、到，這樣證明要求的連續(xù)性。最后不等式的一個重要結果是如果和，那么 。換句話說，“在有限時間，接近的初始條件停留在接近”例如，在時間尺度上當這種論據(jù)是有用的很多時候在離散化動力學動力系統(tǒng)理論中。例如，它意味著時間T映射的連續(xù)性對于任意在和處連續(xù)的流量。 目前，我們已經(jīng)解決的只有實數(shù)上的常微分方程問題。微分方程的理論確定在一個流形中在局部坐標上是類似的。定義一個獨立的常微分方程在一個流形上，需要一個利普希茨向量場在上，例如，一個利普希茨映射然后和這個向量場相應常微分方程是系統(tǒng)。1.3 liouville定理一個自治的常微分方程流的一個重要的特征是其在體積元素上的作用，例如，不管它是否壓縮，擴大，或

7、保存大量的集合的初始條件。如果表示集合的體積的開集的初始條件，那么下面陳述liouville定理:.這個公式表示隨意發(fā)散的向量場產(chǎn)生大量保持體積的流在上。同樣，有阻尼系統(tǒng)，壓縮拓撲空間的體積。同時，強迫系統(tǒng)，擴展相空間的體積。這些觀察結果對流具有重要的質(zhì)的影響。例如，一個保持體積不變流的不動點不能夠漸進穩(wěn)定。至于在流形上的常微分方程，liouville定理能夠敘述如下。讓作為一個在上體積，和讓作為一個向量場在上。通過公式，我們能夠確定關于的散度。.這里的表示在處的拉回。如果表示體積的，那么我們可以得到。在一個流形上積分形式的其中的含義，見附錄A.18。 1.4 結構穩(wěn)定性和分歧點假定兩個向量場

8、和是確定在一個有邊界的流形上的。這樣的向量場叫做在上的拓撲等效，如果那存在同胚映射，把軌道上的變換到軌道上的保存它們的方向。拓撲等效向量場的例子在圖1.2顯示出來。在緊流形上，一個類的向量場是漸進穩(wěn)定的，如果它是拓撲等價的對于在上的任意其他向量場是在的范圍內(nèi)充分接近于。不嚴格的說，一個向量場是拓撲等價的，如果小的變形不能夠改變它的在本質(zhì)結構上。在二維空間中，貝秀多定理鑒定了漸進穩(wěn)定性的向量場的特征。也就是，讓成為一個封閉的在平面上的磁盤。那么一個類的向量場確定在上是漸進穩(wěn)定的，當且僅當每個平衡點和周期軌道都是雙曲時，從章節(jié)1.13意義上說，沒有連接鞍點的軌線。此外，漸進穩(wěn)定向量場的集合是開集，

9、的向量場是密集的在上。此理論適用于開平面在二維空間的流形中，但是不適用于普通的二流形如二環(huán)面。當一個向量場在一個類的向量場中時可能是漸進不穩(wěn)定，它相對于這個類的一個子集可能變成漸進穩(wěn)定。例如，思考一個純粹虛構的二維空間的哈密爾頓函數(shù)的向量場趨向于一個不動點，它的特征值不為零。這樣一個向量場的所有軌道接近這個不動點的附近，在哈密爾頓函數(shù)承認限度的局部最大值或最小值。明顯地，任意小的擾動都能改變這個不動點到槽中；因此，向量場在原點周圍的任意封閉圓平面是漸進不穩(wěn)定的。然而，對于哈密爾頓函數(shù)本身來說小的攝動可能仍然放棄附近的局部極限值，所以接近不動點的軌道可能會有點輕微的變形，但仍有堅持性。因此，最初

10、的向量場在一個類的哈密爾頓函數(shù)向量場中是漸進穩(wěn)定的。在類向量場的空間中的一個向量場是確定的在上，如果它不是漸進穩(wěn)定的，被稱為一個分叉點。作為一個分歧點，我們指的是通過一個分叉點作為交換參數(shù)在向量場中的一個用參數(shù)表示的族。一個不變的集合附近發(fā)生質(zhì)的改變通常稱作局部分歧點，然而質(zhì)的改變涉及的擴展結構在相空間中叫做全局分歧。更多的了解分歧點的含義，請看Chow and Hale 72,或著Gukenheimer，Holmes145 ,Kuznetsov221。1.5 哈密爾頓系統(tǒng)古典的，精典哈密爾頓系統(tǒng)是眾所周知的存在在物理學中。它們被不同形式的微分方程來描述其中叫做典型變量，類作用叫做系統(tǒng)的哈密爾

11、頓量。整數(shù)是指自由度的數(shù)量。哈密爾頓系統(tǒng)最常出現(xiàn)在用自由度描述的機械系統(tǒng)的運動中。在此背景下，是一個向量的廣義坐標，是一個向量相應的廣義動量。如果，機械系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，例如，僅受和時間無關勢能力，那么哈密爾頓函數(shù)僅僅是機械能量，動能和勢能的和。如果沒有顯式依賴，那么（1.4）的解是守恒的，因為對于單自由度系統(tǒng)，這是我們想象的軌道作為水平面曲線的子集。除了體積保留，一個典型哈密爾頓系統(tǒng)的流有兩個保持性能。首先，它保留了典型辛的特征從的形式，例如，對于，表示的拉回（見附錄A.11）.因此，是一個在流形（）上的辛映射，于是也保存體積。（見附錄A.1+）。因為這種體積可能區(qū)別僅僅在在上標準體積，我們斷

12、定就標準體積的拓撲空間而言，典型哈密爾頓函數(shù)的流是體積保存不變的。換句話說，對于任意,大量集合的初始條件的體積是等于 于大量的圖像集合的體積。超出以上提及的保持性能，寫出動力系統(tǒng)的哈密爾頓形式，其優(yōu)點在整個向量場能夠被一個實函數(shù)復制。此外，哈密爾頓函數(shù)本身告訴你很多哈密爾頓量流。例如，的不動點僅僅是臨界點，例如，的點。不懂點的穩(wěn)定性明顯的取決于影響性能的。如果具有局部最小值或最大值在點，那么是一個穩(wěn)定的不動點，因為這樣運用來決定作為一個李雅普諾夫函數(shù)。 在上，經(jīng)典的哈密爾頓系統(tǒng)的概念能夠推廣的一個辛流形。觀察的結果是對于任意，一個典型的哈密爾頓向量場滿足 ,其中我們用過的公式（A.9）和附錄A

13、里的一些符號。因此，我們可以得到，或相當于 。）（附錄A.16）這最后一個表達式提出在任意維空間辛流形上推廣的哈密爾頓系統(tǒng)。讓我們考慮類的函數(shù).哈密爾頓函數(shù)的向量場和聯(lián)系起來能夠確定向量場 。 我們給出了幾何的定義在圖1.3. 相當于，是具有哈密爾頓變量的哈密爾頓函數(shù)如果 （1.5）對于所有的。最后，微分方程 （1.6）叫做哈密爾頓系統(tǒng)通過哈密爾頓變量生成的在 水平面上的集合，叫做能量面。由隱式函數(shù)定理，如果保持對于所有,是一個流形。在那種情況下是一個的余維數(shù)1一個子流形，叫做常規(guī)能源表面。如果包含能源表面，任意子集叫做等能道。有時的兩個子集包含一樣的能源表面也是提到的等能道 廣義的哈密爾頓系

14、統(tǒng)，擁有經(jīng)典哈密爾頓系統(tǒng)的所有保持性能。例如，過（1.6）的解，哈密爾頓變量被固定，因為我們經(jīng)常在（1.5）用到的。這意味著（1.6）的軌道局限于的能量面。對于辛保存的證明來自通過（1.6）的流量，看亞伯拉罕和馬斯登或者阿諾德。體積的保存遵循附錄A.16。哈密爾頓系統(tǒng)的性能延續(xù)到它們的龐加萊映射。特別是，對于一個維自由度的哈密爾頓系統(tǒng)，如果是一個維的龐加萊截面在一個固定的能量面內(nèi)，那么限制辛的形式是非退化的，相應的龐加萊映射（如果定義）是辛映射。例如，。 讓我們考慮一個映射。變化率沿著一個哈密爾頓向量場的軌跡能夠計算因為是泊松括號由辛形式誘導而來（見附錄A.16）的哈密爾頓系統(tǒng)的首次積分是一個

15、常數(shù)解的函數(shù)，以上公式表明是不變的當且僅當，例如，當且僅當是退化的隨著。一些向量場能夠?qū)懗晒軤栴D形式在開集中，但是沒有在整個的相空間上。例如，思考相空間和坐標和辛的形式。微分方程，容許哈密爾頓函數(shù)在的開子集上，但是這種函數(shù)不能擴展到一個全局性的確定的平穩(wěn)的函數(shù)在上，因為它在中不是周期性的。一般來說，如果對于任意有一個的鄰域，是一個受限于的哈密爾頓變量，在辛流形上的一個向量場叫做局部哈密爾頓量，。注：是一個局部哈密爾頓變量當且僅當單形是閉的對于所有來說。1.6 Poincare-Cartan 積分不變式目前為止我一直認為只有獨立哈密爾頓函數(shù)向量場，但是在經(jīng)典力學中也有人遇到過這樣的微分方程形式

16、 ， 。 （1.7） 這樣一個系統(tǒng)源自一個依賴時間的哈密爾頓變量通過典型的辛形式，正如它的自治系統(tǒng)。然而，一些獨立哈密爾頓系統(tǒng)的保守型能無法對（1.7）滿足。例如，哈密爾頓函數(shù)通常不轉(zhuǎn)換解的方向。 一個重要的保守性能是適用于獨立和不獨立的情況是積分在擴展的相空間的漸進線上。這個積分叫做Poincare-Cartan 積分不變式，制定精確地保守效果是下面的情況。讓作為初始條件處的漸近線。表示曲線的像在流的作用下擴展相空間記為。那么，。簡言之，Poincare-Cartan 積分不變式在擴展的相空間（是沿著隨著常數(shù)平面與“隧道” 交叉的解保守的見圖1.4）。對于一個Poincare-Cartan

17、積分不變式的幾何證明，見，例如，Arnold21 1.7 生成函數(shù) 哈密爾頓函數(shù)方程（1.7）證明是等價于極限化積分，例如，它們來源于條件因此，如果我們改變變量保持規(guī)范的辛結構，那么我們必須有 ， （1.8）是一些標量乘數(shù)，是被轉(zhuǎn)化的哈密爾頓變量，是一個封閉的單形。為了簡單，我們讓 和尋求那就可以保證（1.8）條件，因為閉型是確定在簡單的歐氏空間連接的地區(qū)，我們可以改寫（1.8）如對于一些實值函數(shù)。無解，我們進一步改寫這個方程如其中。這個最終公式結果表明，任何函數(shù)，一種依賴時間變化的變量變換滿足將會導致一個典型的，時間相依的哈密爾頓系統(tǒng)通過哈密爾頓變量 （1.9）由此而論，函數(shù)叫做生成函數(shù)，對

18、于變量的變換利用生成函數(shù)的優(yōu)點是不用必須完成轉(zhuǎn)化為整個哈密爾頓系統(tǒng)的向量場；一種簡單的計算哈密爾頓函數(shù)的方法來自（1.9），源自新的向量場就通過規(guī)范的辛來自。注：對于時間相依轉(zhuǎn)型的哈密爾頓變量僅僅是以新坐標表達初始哈密爾頓量。對于更多的資料關于生成函數(shù)，見Abraham and Marsden或者Arnold。 1.8 無限維的哈密爾頓系統(tǒng) 在這本書的第5章我們將會遇到哈密爾頓系統(tǒng)在函數(shù)空間上是確定的。因為大部分的分析將會限制在無限維流形，這里我們只說最簡單的無限維哈密頓系統(tǒng)。作為一般參考書目，我們推薦Chernoff and Marsden或者Abraham et al.。 把一個不牢固的辛

19、流形模式化在空間上，讓作為一個類的函數(shù)（見附錄B的定義）。一個哈密爾頓函數(shù)向量場是和聯(lián)系起來的向量場是滿足 （1.10）對于所有的因為假定為弱的非退化，在映射上不是必須的，因此可能不存在對于一個固定的函數(shù)。此外，盡管是光滑的，通常是確定的僅僅在的子集上。然而，因為是單射，所以是唯一的當它是確定的。如果被假定為強的非退化的，則哈密爾頓系統(tǒng)的一般形式在是此外，一般不是處處確定的在上。假如流是存在的，在無限維的情況下，能量的性能和通過哈密爾頓系統(tǒng)的流的體積保守也擁有。 或許無限維的哈密爾頓系統(tǒng)最著名的例子是線性波動方程和函數(shù)為了簡單，我們限制，假定在上是周期性的且周期。隨著表達式，方程能夠改寫成如

20、. （1.11）考慮現(xiàn)在的流形和能量函數(shù)和雙形來源于一個辛流形。我們現(xiàn)在計算哈密爾頓向量場和聯(lián)系起來存在的上。運用公式（1.10）和從附錄B.4中-梯度的定義，我們可以寫出因為和是任意的，我們幾乎處處可以得到和。注：是唯一一個在上的向量場，如果我們限制致密的子集。因此，系統(tǒng)（1.11）是哈密爾頓系統(tǒng)和能夠?qū)懗扇缦聨缀跆幪幵谏稀Ｊ聦嵣瞎軤栴D系統(tǒng)存在半群理論的流（見Yosida）。我們最后注解是定義在上意義上的全局分布。 1.9辛約化在經(jīng)典的力學里，一個古老的技術就是通過研究哈密爾頓系統(tǒng)的周期對稱性來減小它的維數(shù)。一個廣義的哈密爾頓系統(tǒng)和普通的連續(xù)的對稱性思想的延伸由辛約化理論給出。下面我們會詳

21、細描述，為了更詳細的知道細節(jié)和結果，我們請讀者參閱參考文獻4Abraham and Marsden和21Arnold是一個辛流形并且是一個李群（附錄A.7）。一個群里的映射：，如果對任意的，是一個辛映射，也就是，則稱為偶對的。任何的子群將會引起在上的流并且符合的向量場是局部漢密爾頓量。這由下面的公式給出，因為，因為是偶對的并且變化微小。我們對這種情況感興趣，在這種情況下，是全局哈密爾頓量并且子群上的函數(shù)可以被認為是哈密爾頓系統(tǒng)作用在上的流。相應的哈密爾頓函數(shù)將會被認為是群函數(shù)里的動量映射，這是由于在經(jīng)典的力學里，循環(huán)對稱的存在性，與角動量相似的角色激發(fā)產(chǎn)生的。為了讓這些想法更加精確，設是一個與

22、辛流型相關的辛函數(shù)，讓是一個從到李代數(shù)映射的對偶空間。我們稱是一個動量映射，如果函數(shù)滿足：，或者更細微地說，。這里是極小數(shù)，和函數(shù)并且指的是對偶空間和中的元素的序列對相關。為了避免介紹更多的注釋，我們把我們的注意力限制在交換群中，也是阿貝爾群，在這個群中，群的乘法是可以交換的。我們在這本書遇到的對稱性都是由阿貝爾對稱群產(chǎn)生的。為了在非阿貝爾群中的函數(shù)下的辛減約化，讀者請參閱我們上面所標注的資源。在阿貝爾李群中，例如或者是，我們可以根據(jù)下面的實行辛約化。假設我們已經(jīng)確定了是李群中的函數(shù)的動量映射?；叵耄簞恿坑成淇梢员幌氤墒侨汉瘮?shù)的哈密爾頓函數(shù)。辛約化的思想包括建立一個新的級別，然后關于群的函數(shù)采

23、取商空間的水平。對任意固定的，被作用的空間被稱做是約化相空間。圖1.5顯示，約化的相空間是一個流形，如果是一個常量并且作用在上的函數(shù)是適當?shù)暮妥杂傻摹?讓作為商的投射，映射任意點到類上對應的群的軌道（見圖1.5）.派生的能夠用來確定向量的等價類在任何切空間也就是說，一個擁有，在中通過的映射僅是向量的等價類。它能夠顯示雙形是定義為是非退化的在上，假如是一個正則值對于和的作用是適當?shù)暮腿我獾脑谏?。在那種情況下，是一個辛流形，能夠作為全部的哈密爾頓流的“模型”。這意味著如果表示哈密爾頓流生成的簡化的哈密爾頓函數(shù) ，在辛流形上，那么在上約化的流與在上的全部哈密爾頓流量交換，例如，。研究在上約化的流使得

24、理解在拓相空間上的動力學更容易。1.10 可積性系統(tǒng) 正如我們所看到的那樣，一個合適對稱群的存在及其相應的守恒量有效地減少了哈密爾頓系統(tǒng)的一個自由度。如果在一個問題中能找到足夠多的自由積分，那么連續(xù)減少最終將會形成單自由度漢密爾頓系統(tǒng)，而它又是可以根據(jù)面積來積分的，例如，用絕對值法求單積分的值。通過對稱群及在減少過程中用到的相應積分而最終形成的一維自由度問題的解決方法可以重新構造全相空間結構。在絕大多數(shù)情況下，大部分的可積相空間中，n維自由度問題可歸結為不變n維圓環(huán)面。 Liouville-Arnold-Jost定理給出了上述論述的一個準確表達式，也就是下面我們將要描述的。（證明見Arnold

25、21,更多關于可積系統(tǒng)的知識見Arnold et al.22）。設是一個有限維辛流型，(1.13)是定義在上的哈密爾頓系統(tǒng)，含有平光滑漢密爾頓量。假設對于（1.13）存在n個積分它們彼此對合，例如，對所有的和成立?？紤]聯(lián)合式并假設n個函數(shù)不依賴于，那么顯然是哈密爾頓系統(tǒng)（1.13）的一個不變流型。此外，如果是簡潔的和關聯(lián)的，那么Liouville-Arnold-Jost定理保證了微分同胚于n維圓環(huán)面。在這種情況下，存在一個接近的作用角度變量其中是個開集，這樣對偶形就可以寫成 并且方程（1.13）變?yōu)樽⒁?，在這些新坐標中，哈密爾頓只依賴于。此外，流是完全可積的，因為解決方案可寫為如果頻率向量的元

26、素理性地獨立于給定的n維圓環(huán)面那么結果是準周期的，并且每一個都形成了圓環(huán)面的稠密子集。但是，如果頻率是理性依賴的，那么所有的j解是周期性的，例如閉軌道形成了圓環(huán)面。這樣的一個圓環(huán)面被稱為諧振的。在一般的可積系統(tǒng)中，諧振圓環(huán)面在相空間中形成了一個零測度的稠密集，與此同時，不是諧振的圓環(huán)面通常會形成滿測度的稠密集。在大多數(shù)情況下可積性的得出比不可積更難建立。對于n維自由度哈密爾頓系統(tǒng)，有一些準則能自動指出n個獨立積分的不存在性。想要查閱這些準則，我們建議讀者查看Kozlov211,那同時給出了漢密爾頓動態(tài)系統(tǒng)幾個方面的詳細介紹。1.11 KAM定理和Whiskered圓環(huán)面可積漢密爾頓系統(tǒng)在它們的

27、相空間中有很多要求。因為很多經(jīng)典力學問題與一些可積系統(tǒng)類似，因此很自然地想到研究圓環(huán)面在小幅度擾動下的積分極限情況。在天體力學中，試圖在近可積系統(tǒng)中建立持久不變圓環(huán)面始于Lindstedt和Deprit。但是，Ponicare注意到，他們對于持久不變圓環(huán)面的擾動系列大體上是發(fā)散的。發(fā)散的原因是小分母的出現(xiàn)，這又歸因于諧振圓環(huán)面。KAM定理是在對形如的近可積漢密爾頓系統(tǒng)中的n維持久不變圓環(huán)面的研究結果中得出的。在定理的早期發(fā)展過程中，漢密爾頓被假定為解析的，然后需要的條件被減弱到2n+1階導數(shù)連續(xù)（見Poschel312或Arnold et al.22）。KAM定理的主要結果是在相空間的有限開集上非退化條件能否被滿足，那么中大量未被擾動的n維圓環(huán)面需