第六節(jié)方向導數與梯度ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 方向導數與梯度方向導數與梯度二、方向導數的定義二、方向導數的定義三、梯度的概念三、梯度的概念一、問題的提出一、問題的提出實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質：應沿由

2、熱變冷變化最驟烈的方問題的實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向即梯度方向爬行向即梯度方向爬行一、問題的提出一、問題的提出二、方向導數的定義二、方向導數的定義回顧函數回顧函數 在點在點 處關于處關于的偏導數定義：的偏導數定義：),(yxfz ),(000yxPyx,xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000 yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0000000 .),(, ),(軸正向的變化率及軸正向沿是yxyxfyxfyx內內有有定定義義的的某某一一鄰鄰域域在在點點設設函函數數)(),(),(000PUyxPyxfz （如圖）（如圖）)cos,cos(00

3、txtxP oyxl),(000yxP 討論函數討論函數 在一點在一點 沿任意方沿任意方向的變化率問題就是方向導數問題向的變化率問題就是方向導數問題),(yxfz 0P.coscos,coscos000 ttyytxxePxOyljie，參數方程為：參數方程為：則它的則它的，為方向向量的直線為方向向量的直線且以且以面上過點面上過點是是向量向量為一單位為一單位設設 ),(bael,)cos,cos(00上任意一點上任意一點為為設設ltytxP ),(000yyxxPP ,)cos,cos(e ttt |,|0te tPP 表示表示t.0的有向距離到點點PP),()cos,cos(yxftytxf

4、z ,tz 考慮考慮當當 沿著沿著 趨于趨于 時，時，0PPltyxftytxft),()cos,cos(lim0 是否存在？是否存在？1、方向導數的定義、方向導數的定義即即記記為為的的方方向向導導數數方方向向沿沿在在點點則則稱稱這這極極限限為為函函數數存存在在如如果果極極限限同同方方向向的的單單位位向向量量是是與與是是一一非非零零向向量量域域內內有有定定義義的的某某個個鄰鄰在在點點設設函函數數定定義義，,),(,),()cos,cos(lim,)cos,(cos,),(),()(000000000yxtllflPyxfztyxftytxflelyxPyxfz tyxftytxflftyx),

5、()cos,cos(lim00000)(00 ， 依定義，函數依定義，函數 在點在點 沿著沿著 軸正向軸正向 、 軸正向軸正向 的方向導數分別的方向導數分別為為 . . ),(yxfPx)0 , 1 ( iy) 1 , 0( jyxff , 沿著沿著 軸負向、軸負向、 軸負向的方向導數軸負向的方向導數分別是：分別是： . . xyyxff ,.,的的推推廣廣是是方方向向導導數數yxfflf 2、方向導數的計算、方向導數的計算.,.cos),(cos),(0000),(00的的方方向向角角為為方方向向其其中中或或lyxfyxflfyxyx 證明證明由于函數可微，則增量可表示為由于函數可微，則增量

6、可表示為)(),(),( oyfxfyxfyyxxfzyx ,tbytax 取取ttbaofbfatyxftbytaxfyx|)|(),(),(220000 則則yxyxfbfalft ),(00,0 得得令令注：注：(1) 僅由函數在一點可偏導，未必可推出函數在僅由函數在一點可偏導，未必可推出函數在該點處沿各方向的方向導數存在該點處沿各方向的方向導數存在.,)(),(31yxyxf 例例如如：, 0)0 , 0(,0)0 , 0(yxff則時時，但但0 ab.)(lim)0 , 0(),(lim31200)0 , 0( tabttftbtaflftt 此例同時也說明函數在一點連續(xù)也未必能推此

7、例同時也說明函數在一點連續(xù)也未必能推出函數在該點處沿各方向的方向導數都存在出函數在該點處沿各方向的方向導數都存在.(2) 函數在一點處沿各方向的方向導數都存在，函數在一點處沿各方向的方向導數都存在，也未必在該點處連續(xù)也未必在該點處連續(xù). 000),(2222422yxyxyxyxyxf例例如如：.0,)sin,(cos)0 , 0()0,0(lfel方向導數都存在的處沿任一方向在點.)0 , 0(),(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點但但yxf 此例同時也說明函數可微并不是函數沿任一此例同時也說明函數可微并不是函數沿任一方向的方向導數存在的必要條件方向的方向導數存在的必要條件.例例 2 2 求函數求函

8、數yxez2 在點在點)0 , 1(P處沿從點處沿從點)0 , 1(P到點到點)1, 2( Q的方向的方向導數的方向的方向導數. 解解),21,21( lel同同方方向向的的單單位位向向量量為為與與l)1, 1( PQ這里方向這里方向 即為即為 , , ; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向導導數數.21)0, 1(lz3、方向導函數、方向導函數 ),(yxfz Dlelf D假設假設 在區(qū)域在區(qū)域 內任何一點方向內任何一點方向 的的方向導數都存在，那么方向導數都存在，那么 是是 上的一個函數，上的一個函數，稱為方向導函數稱為方

9、向導函數. . 4、推廣可得三元函數方向導數的定義、推廣可得三元函數方向導數的定義,),(),(lim0000000tzyxftcztbytaxft :,),(,),(),(000的方向導數為的方向導數為處沿方向處沿方向點點在在同方向的單位向量同方向的單位向量是與是與是一非零向量是一非零向量的某個鄰域中有定義的某個鄰域中有定義在點在點設函數設函數lPulcbaelzyxPzyxful 同理：當函數在此點可微時，那末函數在該點同理：當函數在此點可微時，那末函數在該點沿任意方向沿任意方向l的方向導數都存在的方向導數都存在, ,且且),(cbael 則則有：有： .),(),(),(00000000

10、0),(000czyxfbzyxfazyxflfzyxzyx .,.coscoscos),(000的的方方向向角角為為方方向向其其中中或或lffflfzyxzyx .)2 , 2, 3()1 , 0 , 1()ln(422方方向向的的方方向向導導數數指指向向處處沿沿在在點點：求求例例 BAAzyxu*5、方向導數的幾何意義：、方向導數的幾何意義：lf ),(yxfz l是函數是函數 沿方向沿方向 的變化率的變化率, ,),(00yxlf 0)()(),(:00yyaxxbyxfzl 表表示示曲曲線線.tan),(,(0000 斜率斜率的的處的切線相對于處的切線相對于在點在點leyxfyx),(

11、bael *6、二階方向導數、二階方向導數lf ),(00yx),(00yxlfl ),(yxf),(00yx22lf 假如假如 在在 沿沿 仍有方向導數仍有方向導數 , ,就把它稱為就把它稱為 在在 沿沿 的二階方向的二階方向導數并記作導數并記作 . .lele沿沿方方向向le的的二二階階方方向向導導數數: ),(),(220000yxyxlfllf 例例 4 設設函函數數),(yxf在在區(qū)區(qū)域域 D 內內有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階偏偏導導數數,方方向向),(bael 證證明明: .22222bfabfaflfyyxyxx 若若在在點點),(00yx的的近近旁旁022 lf,這這在在幾幾何何上

12、上有有何何意意義義? 二階方向導數幾何意義：二階方向導數幾何意義： ，則說明在，則說明在 的近旁的近旁 的的切線斜率沿切線斜率沿 方向單調增加，曲線為下凸；方向單調增加，曲線為下凸； ， 的切線斜率沿的切線斜率沿 方向單調減少，曲線方向單調減少，曲線為上凸為上凸. .022 lf),(,(0000yxfyxl le022 lfl le定定義義 設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx可可微微分分， 稱稱向向量量jyxfiyxfyx),(),(0000 為為函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx處處的的梯梯度度(gradient)，記記為為 三、梯度的概念三、梯度的概念1、定義

13、、定義?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數在點函數在點問題問題P),(),(grad0000yxfyxf 或或.),(),(),(grad000000jyxfiyxfyxfyx 即即 coscosyxfflf )cos,(cos),( yxffleyxf ),(grad,cos| ),(grad| yxf lf 有最大值有最大值.設設)cos,(cos le是是方方向向l上上的的單單位位向向量量， .),(grad的的夾夾角角與與為為其其中中l(wèi)eyxf ,1cos時時當當 方向：方向：f ( x , y ) f ( x , y ) 變化率最大的變化率最大的方向方向模模 :

14、f ( x , y ) : f ( x , y ) 的最大變化率之的最大變化率之值值),(gradyxf2、方向導數與梯度的關系、方向導數與梯度的關系1) 函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向一致向與取得最大方向導數的方向一致,而它的模為而它的模為方向導數的最大值梯度的模為方向導數的最大值梯度的模為 22| ),(grad|yxffyxf . ),(yxfz 0P),(grad00yxf2) 在點在點 處沿與梯度處沿與梯度 垂直方向的垂直方向的方向導數等于零方向導數等于零.),(yxfz 0Pll3) 在點在點 沿方向沿方向 的

15、方向導數等于梯度在的方向導數等于梯度在方向方向 上的投影上的投影.),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(gradyxf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P3、梯度的概念可以推廣到三元函數、梯度的概念可以推廣到三元函數若若三元函數三元函數),(zyxfu 在點在點),(000zyxP可微，可微， .),(),(),(),(grad000000000000kzyxfjzyxfizyxfzy

16、xfzyx 類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值數的最大值.例例 5 5 求求函函數數 yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1(處處的的梯梯度度，并并問問在在哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？ 解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kujuiuzyxuzyx ),(grad,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(gradkjiu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.4、梯度應用實例、梯度應

17、用實例?,),(,22100500022方方向向可可最最快快到到達達山山頂頂問問沿沿哪哪個個處處往往上上爬爬山山若若從從點點表表示示函函數數：設設一一座座山山峰峰高高度度可可由由例例zyxPyxz ?,),(000到到達達山山底底問問沿沿哪哪個個方方向向可可最最快快處處下下山山若若從從點點zyxP1、方向導數的概念、方向導數的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向導數與梯度的關系、方向導數與梯度的關系（注意方向導數與一般所說偏導數的區(qū)別）（注意方向導數與一般所說偏導數的區(qū)別）（注意梯度是一個向量）（注意梯度是一個向量）五、小結五、小結.),(最最快快的的方方向向在在這這點點增增長長梯梯度度的的

18、方方向向就就是是函函數數yxf1、方向導數的概念、方向導數的概念（注意方向導數與一般所說偏導數的區(qū)別）（注意方向導數與一般所說偏導數的區(qū)別）五、小結五、小結二元函數二元函數 f ( x,y ) f ( x,y ) 在點在點 P( x,y ) P( x,y ) 沿方向沿方向 ( (方向角為方向角為 ) ) 的方向導數為的方向導數為: : ,l coscosyxfflf 三元函數三元函數 f ( x,y,z ) f ( x,y,z ) 在點在點 P( x,y,z ) P( x,y,z ) 沿方沿方向向 ( (方向角為方向角為 ) ) 的方向導數為的方向導數為: : ,l coscoscoszyxf

19、fflf 2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一個向量）（注意梯度是一個向量）.),(最最快快的的方方向向在在這這點點增增長長梯梯度度的的方方向向就就是是函函數數yxf二元函數二元函數 f ( x,y ) f ( x,y ) 在點在點 P( x,y ) P( x,y ) 的梯的梯度為度為: :),(, ),(gradyxfyxffyx 三元函數三元函數 f ( x,y,z ) f ( x,y,z ) 在點在點 P( x,y,z ) P( x,y,z ) 的梯的梯度為度為: :),(gradzyxffff 3. 關系關系方向導數存在方向導數存在偏導數存在偏導數存在可微可微leflf grad.

20、),(的的方方向向在在這這點點增增長長最最快快梯梯度度的的方方向向就就是是函函數數yxf梯度在方向梯度在方向 上的投影上的投影 . .l討論函數討論函數22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點處的偏導數是否存在？方向導數是否存在？點處的偏導數是否存在？方向導數是否存在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個偏導數均不存在故兩個偏導數均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向導導數數, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向導導數數均均存存在在且且相相等等.一一、 填填空空題題: :1 1、 函函數數22yxz 在在點點)2 , 1(處處沿沿從從點點)2 , 1(到到點點 )32 , 2( 的的方方向向的的方方向向導導數數為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設設xyzyxzyxf 22232),(zyx6