第六節(jié)方向?qū)?shù)與梯度ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義三、梯度的概念三、梯度的概念一、問題的提出一、問題的提出實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由

2、熱變冷變化最驟烈的方問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向即梯度方向爬行向即梯度方向爬行一、問題的提出一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義回顧函數(shù)回顧函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處關(guān)于處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)定義：的偏導(dǎo)數(shù)定義：),(yxfz ),(000yxPyx,xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000 yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0000000 .),(, ),(軸正向的變化率及軸正向沿是yxyxfyxfyx內(nèi)內(nèi)有有定定義義的的某某一一鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(),(),(000PUyxPyxfz （如圖）（如圖）)cos,cos(00

3、txtxP oyxl),(000yxP 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn) 沿任意方沿任意方向的變化率問題就是方向?qū)?shù)問題向的變化率問題就是方向?qū)?shù)問題),(yxfz 0P.coscos,coscos000 ttyytxxePxOyljie，參數(shù)方程為：參數(shù)方程為：則它的則它的，為方向向量的直線為方向向量的直線且以且以面上過點(diǎn)面上過點(diǎn)是是向量向量為一單位為一單位設(shè)設(shè) ),(bael,)cos,cos(00上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)為為設(shè)設(shè)ltytxP ),(000yyxxPP ,)cos,cos(e ttt |,|0te tPP 表示表示t.0的有向距離到點(diǎn)點(diǎn)PP),()cos,cos(yxftytxf

4、z ,tz 考慮考慮當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，0PPltyxftytxft),()cos,cos(lim0 是否存在？是否存在？1、方向?qū)?shù)的定義、方向?qū)?shù)的定義即即記記為為的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)方方向向沿沿在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)存存在在如如果果極極限限同同方方向向的的單單位位向向量量是是與與是是一一非非零零向向量量域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義，,),(,),()cos,cos(lim,)cos,(cos,),(),()(000000000yxtllflPyxfztyxftytxflelyxPyxfz tyxftytxflftyx),

5、()cos,cos(lim00000)(00 ， 依定義，函數(shù)依定義，函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 沿著沿著 軸正向軸正向 、 軸正向軸正向 的方向?qū)?shù)分別的方向?qū)?shù)分別為為 . . ),(yxfPx)0 , 1 ( iy) 1 , 0( jyxff , 沿著沿著 軸負(fù)向、軸負(fù)向、 軸負(fù)向的方向?qū)?shù)軸負(fù)向的方向?qū)?shù)分別是：分別是： . . xyyxff ,.,的的推推廣廣是是方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)yxfflf 2、方向?qū)?shù)的計(jì)算、方向?qū)?shù)的計(jì)算.,.cos),(cos),(0000),(00的的方方向向角角為為方方向向其其中中或或lyxfyxflfyxyx 證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量

6、可表示為)(),(),( oyfxfyxfyyxxfzyx ,tbytax 取取ttbaofbfatyxftbytaxfyx|)|(),(),(220000 則則yxyxfbfalft ),(00,0 得得令令注：注：(1) 僅由函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)，未必可推出函數(shù)在僅由函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)，未必可推出函數(shù)在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)存在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)存在.,)(),(31yxyxf 例例如如：, 0)0 , 0(,0)0 , 0(yxff則時(shí)時(shí)，但但0 ab.)(lim)0 , 0(),(lim31200)0 , 0( tabttftbtaflftt 此例同時(shí)也說明函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)也未必能推此

7、例同時(shí)也說明函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)也未必能推出函數(shù)在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在出函數(shù)在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在.(2) 函數(shù)在一點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在，函數(shù)在一點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在，也未必在該點(diǎn)處連續(xù)也未必在該點(diǎn)處連續(xù). 000),(2222422yxyxyxyxyxf例例如如：.0,)sin,(cos)0 , 0()0,0(lfel方向?qū)?shù)都存在的處沿任一方向在點(diǎn).)0 , 0(),(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)但但yxf 此例同時(shí)也說明函數(shù)可微并不是函數(shù)沿任一此例同時(shí)也說明函數(shù)可微并不是函數(shù)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在的必要條件方向的方向?qū)?shù)存在的必要條件.例例 2 2 求函數(shù)求函

8、數(shù)yxez2 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 1(P處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn))0 , 1(P到點(diǎn)到點(diǎn))1, 2( Q的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). 解解),21,21( lel同同方方向向的的單單位位向向量量為為與與l)1, 1( PQ這里方向這里方向 即為即為 , , ; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).21)0, 1(lz3、方向?qū)Ш瘮?shù)、方向?qū)Ш瘮?shù) ),(yxfz Dlelf D假設(shè)假設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)任何一點(diǎn)方向內(nèi)任何一點(diǎn)方向 的的方向?qū)?shù)都存在，那么方向?qū)?shù)都存在，那么 是是 上的一個(gè)函數(shù)，上的一個(gè)函數(shù)，稱為方向?qū)Ш瘮?shù)稱為方

9、向?qū)Ш瘮?shù). . 4、推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義、推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,),(),(lim0000000tzyxftcztbytaxft :,),(,),(),(000的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為處沿方向處沿方向點(diǎn)點(diǎn)在在同方向的單位向量同方向的單位向量是與是與是一非零向量是一非零向量的某個(gè)鄰域中有定義的某個(gè)鄰域中有定義在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPulcbaelzyxPzyxful 同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在的方向?qū)?shù)都存在, ,且且),(cbael 則則有：有： .),(),(),(00000000

10、0),(000czyxfbzyxfazyxflfzyxzyx .,.coscoscos),(000的的方方向向角角為為方方向向其其中中或或lffflfzyxzyx .)2 , 2, 3()1 , 0 , 1()ln(422方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)指指向向處處沿沿在在點(diǎn)點(diǎn)：求求例例 BAAzyxu*5、方向?qū)?shù)的幾何意義：、方向?qū)?shù)的幾何意義：lf ),(yxfz l是函數(shù)是函數(shù) 沿方向沿方向 的變化率的變化率, ,),(00yxlf 0)()(),(:00yyaxxbyxfzl 表表示示曲曲線線.tan),(,(0000 斜率斜率的的處的切線相對(duì)于處的切線相對(duì)于在點(diǎn)在點(diǎn)leyxfyx),(

11、bael *6、二階方向?qū)?shù)、二階方向?qū)?shù)lf ),(00yx),(00yxlfl ),(yxf),(00yx22lf 假如假如 在在 沿沿 仍有方向?qū)?shù)仍有方向?qū)?shù) , ,就把它稱為就把它稱為 在在 沿沿 的二階方向的二階方向?qū)?shù)并記作導(dǎo)數(shù)并記作 . .lele沿沿方方向向le的的二二階階方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù): ),(),(220000yxyxlfllf 例例 4 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxf在在區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),方方向向),(bael 證證明明: .22222bfabfaflfyyxyxx 若若在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的近近旁旁022 lf,這這在在幾幾何何上

12、上有有何何意意義義? 二階方向?qū)?shù)幾何意義：二階方向?qū)?shù)幾何意義： ，則說明在，則說明在 的近旁的近旁 的的切線斜率沿切線斜率沿 方向單調(diào)增加，曲線為下凸；方向單調(diào)增加，曲線為下凸； ， 的切線斜率沿的切線斜率沿 方向單調(diào)減少，曲線方向單調(diào)減少，曲線為上凸為上凸. .022 lf),(,(0000yxfyxl le022 lfl le定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx可可微微分分， 稱稱向向量量jyxfiyxfyx),(),(0000 為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處的的梯梯度度(gradient)，記記為為 三、梯度的概念三、梯度的概念1、定義

13、、定義?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問題問題P),(),(grad0000yxfyxf 或或.),(),(),(grad000000jyxfiyxfyxfyx 即即 coscosyxfflf )cos,(cos),( yxffleyxf ),(grad,cos| ),(grad| yxf lf 有最大值有最大值.設(shè)設(shè))cos,(cos le是是方方向向l上上的的單單位位向向量量， .),(grad的的夾夾角角與與為為其其中中l(wèi)eyxf ,1cos時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 方向：方向：f ( x , y ) f ( x , y ) 變化率最大的變化率最大的方向方向模模 :

14、f ( x , y ) : f ( x , y ) 的最大變化率之的最大變化率之值值),(gradyxf2、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系1) 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(grad|yxffyxf . ),(yxfz 0P),(grad00yxf2) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿與梯度處沿與梯度 垂直方向的垂直方向的方向?qū)?shù)等于零方向?qū)?shù)等于零.),(yxfz 0Pll3) 在點(diǎn)在點(diǎn) 沿方向沿方向 的

15、方向?qū)?shù)等于梯度在的方向?qū)?shù)等于梯度在方向方向 上的投影上的投影.),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(gradyxf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P3、梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)、梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)若若三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP可微，可微， .),(),(),(),(grad000000000000kzyxfjzyxfizyxfzy

16、xfzyx 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)蚺c取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值數(shù)的最大值.例例 5 5 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1(處處的的梯梯度度，并并問問在在哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？ 解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kujuiuzyxuzyx ),(grad,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(gradkjiu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.4、梯度應(yīng)用實(shí)例、梯度應(yīng)

17、用實(shí)例?,),(,22100500022方方向向可可最最快快到到達(dá)達(dá)山山頂頂問問沿沿哪哪個(gè)個(gè)處處往往上上爬爬山山若若從從點(diǎn)點(diǎn)表表示示函函數(shù)數(shù)：設(shè)設(shè)一一座座山山峰峰高高度度可可由由例例zyxPyxz ?,),(000到到達(dá)達(dá)山山底底問問沿沿哪哪個(gè)個(gè)方方向向可可最最快快處處下下山山若若從從點(diǎn)點(diǎn)zyxP1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個(gè)向量）（注意梯度是一個(gè)向量）五、小結(jié)五、小結(jié).),(最最快快的的方方向向在在這這點(diǎn)點(diǎn)增增長(zhǎng)長(zhǎng)梯梯度度的的

18、方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxf1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）五、小結(jié)五、小結(jié)二元函數(shù)二元函數(shù) f ( x,y ) f ( x,y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) P( x,y ) P( x,y ) 沿方向沿方向 ( (方向角為方向角為 ) ) 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為: : ,l coscosyxfflf 三元函數(shù)三元函數(shù) f ( x,y,z ) f ( x,y,z ) 在點(diǎn)在點(diǎn) P( x,y,z ) P( x,y,z ) 沿方沿方向向 ( (方向角為方向角為 ) ) 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為: : ,l coscoscoszyxf

19、fflf 2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一個(gè)向量）（注意梯度是一個(gè)向量）.),(最最快快的的方方向向在在這這點(diǎn)點(diǎn)增增長(zhǎng)長(zhǎng)梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxf二元函數(shù)二元函數(shù) f ( x,y ) f ( x,y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) P( x,y ) P( x,y ) 的梯的梯度為度為: :),(, ),(gradyxfyxffyx 三元函數(shù)三元函數(shù) f ( x,y,z ) f ( x,y,z ) 在點(diǎn)在點(diǎn) P( x,y,z ) P( x,y,z ) 的梯的梯度為度為: :),(gradzyxffff 3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可微可微leflf grad.

20、),(的的方方向向在在這這點(diǎn)點(diǎn)增增長(zhǎng)長(zhǎng)最最快快梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxf梯度在方向梯度在方向 上的投影上的投影 . .l討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一一、 填填空空題題: :1 1、 函函數(shù)數(shù)22yxz 在在點(diǎn)點(diǎn))2 , 1(處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn))2 , 1(到到點(diǎn)點(diǎn) )32 , 2( 的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx6